Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/255

Отсюда заключаемъ, что уравненіе (8) должно имѣть одинъ изъ четырехъ видовъ, соотвѣтствующихъ формамъ (41).

Индексы формъ (41) таковы:

$\mu =2\lambda ,\ \mu _{1}=2\lambda _{1},\ \mu _{2}=2\lambda _{2},\ \mu _{3}=2.$

(42)

‎Въ началѣ [[../../Глава I/ДО#§2|§ 2]] мы видѣли, что уравненіе (8) содержитъ неизвѣстное $\eta$ исключительно въ степеняхъ, дѣлящихся на индексъ соотвѣтствующей первичной формы.

Пусть уравненіе (8) соотвѣтствуетъ первичной формѣ:

${\mathfrak {F}}(\eta ',\;\eta '')$

‎степени $\nu '$, индекса $\mu '$.

Тогда уравненіе (8) будетъ таково:

$\eta ^{n}+A_{\mu '}\eta ^{n-\mu '}+A_{2\mu '}\eta ^{n-2\mu '}+\ldots +A_{n-\mu '}\eta ^{\mu '}+A_{n}=0,$

(43)

‎гдѣ:

$A_{\mu '},\ A_{2\mu '},\ldots \ A_{n-\mu '},\ A_{n}$

(44)

‎суть раціональныя функціи $z$.

Посмотримъ, какъ найти выраженія этихъ функцій.

Коэффиціенты (44) суть цѣлыя, однородныя, симметрическія функціи корней уравненія (43), или, что то же, уравненія (8). Выразивъ ихъ, какъ функціи корней и вставивъ затѣмъ выраженія этихъ корней чрезъ интегралы $\eta ',\ \eta ''$, мы представимъ каждый изъ коэффиціентовъ (44) въ видѣ цѣлой однородной бинарной формы съ аргументами $\eta ',\ \eta ''$:

$A_{k\mu '}(\eta ',\;\eta ''),$ гдѣ $k=1,\ 2,\ 3,\ \ldots ,\ \nu '.$

(45)

‎Всѣ формы (45) инваріанты по отношенію къ группамъ бинарныхъ линейныхъ подстановокъ, испытываемыхъ величинами $\eta ',\ \eta ''$ при всевозможныхъ обходахъ на плоскости перемѣннаго $z$.

Это слѣдуетъ изъ того, что коэффиціенты (44) могутъ быть представлены въ видѣ раціональныхъ функцій перемѣннаго $z$.

Что касается коэффиціента

Тот же текст в современной орфографии

Отсюда заключаем, что уравнение (8) должно иметь один из четырех видов, соответствующих формам (41).

Индексы форм (41) таковы:

$\mu =2\lambda ,\ \mu _{1}=2\lambda _{1},\ \mu _{2}=2\lambda _{2},\ \mu _{3}=2.$

(42)

‎В начале § 2 мы видели, что уравнение (8) содержит неизвестную $\eta$ исключительно в степенях, делящихся на индекс соответствующей первичной формы.

Пусть уравнение (8) соответствует первичной форме:

${\mathfrak {F}}(\eta ',\;\eta '')$

‎степени $\nu '$, индекса $\mu '$.

Тогда уравнение (8) будет таково:

$\eta ^{n}+A_{\mu '}\eta ^{n-\mu '}+A_{2\mu '}\eta ^{n-2\mu '}+\ldots +A_{n-\mu '}\eta ^{\mu '}+A_{n}=0,$

(43)

‎где:

$A_{\mu '},\ A_{2\mu '},\ \ldots ,\ A_{n-\mu '},\ A_{n}$

(44)

‎суть рациональные функции $z$.

Посмотрим, как найти выражения этих функций.

Коэффициенты (44) суть целые, однородные, симметрические функции корней уравнения (43), или, что то же самое, уравнения (8). Выразив их, как функции корней и вставив затем выражения этих корней через интегралы $\eta ',\ \eta ''$, мы представим каждый из коэффициентов (44) в виде целой однородной бинарной формы с аргументами $\eta ',\ \eta ''$:

$A_{k\mu '}(\eta ',\;\eta ''),$ где $k=1,\ 2,\ 3,\ \ldots ,\ \nu '.$

(45)

‎Все формы (45) инварианты по отношению к группам бинарных линейных подстановок, испытываемых величинами $\eta ',\ \eta ''$ при всевозможных обходах на плоскости переменной $z$.

Это следует из того, что коэффициенты (44) могут быть представлены в виде рациональных функций переменной $z$.

Что касается коэффициента