Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/305

$\zeta =\psi (\zeta \,').$

(7)

‎Преобразуя уравненіе (3) подстановкою (1), находимъ уравненіе степени $l$ относительно $\zeta$:

$F_{1}(\zeta ):F_{2}(\zeta ):F(\zeta )=z:z-1:1.$

(4)

‎Преобразуя уравненіе (3) подстановкою (6), находимъ уравненіе степени $ll\,'$ относительно $\zeta \,'$:

$F'_{1}(\zeta \,'):F'_{2}(\zeta \,'):F'(\zeta \,')=z:z-1:1.$

(8)

‎Изъ уравненій (4), (8), (7) слѣдуетъ, что:

$F'_{1}(\zeta \,'):F'_{2}(\zeta \,'):F'[\psi (\zeta \,')]=F_{1}[\psi (\zeta \,')]:F_{2}[\psi (\zeta \,')]:F[\psi (\zeta \,')].$

(9)

‎Иными словами, уравненіе (8) можетъ быть получено изъ уравненія (4), если мы въ уравненіи (4) вмѣсто $\zeta$ вставимъ раціональную функцію $\psi (\zeta \,')$ степени $l\,'$ относительно $\zeta \,'$, при чемъ, понятно, степень его относительно неизвѣстнаго повышается въ $l\,'$ разъ.

Интересъ представляетъ только уравненіе (4), ибо, внося въ него вмѣсто $\zeta$ различныя функціи новаго неизвѣстнаго $\zeta \,'$, мы можемъ получить сколько угодно уравненій вида (9).

Отсюда слѣдуетъ, что составляя резольвенты уравненія (3), мы можемъ ограничиться разсмотрѣніемъ тѣхъ изъ нихъ, которыя соотвѣтствуютъ наиболѣе широкимъ подгруппамъ группы $G$ уравненія (3).

Посмотримъ, какова группа Галуа для уравненія (4).

Слѣдуя обозначеніямъ [[../../Глава IX/ДО|главы IX]], мы положимъ, что подстановки подгруппы $g$ таковы:

$s_{0}=1,\ s_{1},\ s_{2},\ldots \ s_{n-1}.$

(10)

‎Подстановки группы $G$ могутъ быть расположены въ таблицѣ:

$\left.{\begin{array}{lllll}s_{0}=1,&s_{1},&s_{2},&\ldots &s_{n-1},\\s_{0}\sigma _{1}=\sigma _{1},&s_{1}\sigma _{1},&s_{2}\sigma _{1},&\ldots &s_{n-1}\sigma _{1},\\s_{0}\sigma _{2}=\sigma _{2},&s_{1}\sigma _{2},&s_{2}\sigma _{2},&\ldots &s_{n-1}\sigma _{2},\\\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots &\cdots \cdots &\cdots \cdots &\cdots &\cdots \cdots \cdots \\\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots &\cdots \cdots &\cdots \cdots &\cdots &\cdots \cdots \cdots \\s_{0}\sigma _{l-1}=\sigma _{l-1},&s_{1}\sigma _{l-1},&s_{2}\sigma _{l-1},&\ldots &s_{n-1}\sigma _{l-1},\\\end{array}}\right\}$

(11)

Тот же текст в современной орфографии

$\zeta =\psi (\zeta \,').$

(7)

‎Преобразуя уравнение (3) подстановкой (1), находим уравнение степени $l$ относительно $\zeta$:

$F_{1}(\zeta ):F_{2}(\zeta ):F(\zeta )=z:z-1:1.$

(4)

‎Преобразуя уравнение (3) подстановкой (6), находим уравнение степени $ll\,'$ относительно $\zeta \,'$:

$F'_{1}(\zeta \,'):F'_{2}(\zeta \,'):F'(\zeta \,')=z:z-1:1.$

(8)

‎Из уравнений (4), (8), (7) следует, что:

$F'_{1}(\zeta \,'):F'_{2}(\zeta \,'):F'[\psi (\zeta \,')]=F_{1}[\psi (\zeta \,')]:F_{2}[\psi (\zeta \,')]:F[\psi (\zeta \,')].$

(9)

‎Иными словами, уравнение (8) может быть получено из уравнения (4), если мы в уравнении (4) вместо $\zeta$ вставим рациональную функцию $\psi (\zeta \,')$ степени $l\,'$ относительно $\zeta \,'$, причем, понятно, степень его относительно неизвестной повышается в $l\,'$ раз.

Интерес представляет только уравнение (4), ибо, внося в него вместо $\zeta$ различные функции новой неизвестной $\zeta \,'$, мы можем получить сколько угодно уравнений вида (9).

Отсюда следует, что составляя резольвенты уравнения (3), мы можем ограничиться рассмотрением тех из них, которые соответствуют наиболее широким подгруппам группы $G$ уравнения (3).

Посмотрим, какова группа Галуа для уравнения (4).

Следуя обозначениям главы IX, мы положим, что подстановки подгруппы $g$ таковы:

$s_{0}=1,\ s_{1},\ s_{2},\ \ldots ,\ s_{n-1}.$

(10)

‎Подстановки группы $G$ могут быть расположены в таблице:

$\left.{\begin{array}{lllll}s_{0}=1,&s_{1},&s_{2},&\ldots &s_{n-1},\\s_{0}\sigma _{1}=\sigma _{1},&s_{1}\sigma _{1},&s_{2}\sigma _{1},&\ldots &s_{n-1}\sigma _{1},\\s_{0}\sigma _{2}=\sigma _{2},&s_{1}\sigma _{2},&s_{2}\sigma _{2},&\ldots &s_{n-1}\sigma _{2},\\\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots &\cdots \cdots &\cdots \cdots &\cdots &\cdots \cdots \cdots \\\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots &\cdots \cdots &\cdots \cdots &\cdots &\cdots \cdots \cdots \\s_{0}\sigma _{l-1}=\sigma _{l-1},&s_{1}\sigma _{l-1},&s_{2}\sigma _{l-1},&\ldots &s_{n-1}\sigma _{l-1},\\\end{array}}\right\}$

(11)