Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/306

‎гдѣ

$\sigma _{1},\ \sigma _{2},\ldots \ \sigma _{l-1}$

(12)

‎суть различныя между собою и извѣстнымъ образомъ выбранныя подстановки группы $G$, не входящія въ группу $g$.

Подъ вліяніемъ подстановокъ:

$\sigma _{0}=1,\ \sigma _{1},\ \sigma _{2},\ldots \ \sigma _{l-1}$

(13)

‎функція

$\zeta =A_{g}(u).$

(1)

‎пріобрѣтаетъ $l$ различныхъ между собою значеній:

$\zeta _{0}=1,\ \zeta _{1},\ \zeta _{2},\ldots \ \zeta _{l-1}.$

(14)

‎Эти $l$ значеній суть какъ разъ всѣ тѣ значенія, которыя функція (1) пріобрѣтаетъ подъ вліяніемъ подстановокъ группы $G$. Это суть $l$ корней уравненія (4). Каждой линейной подстановкѣ $S$ группы $G$ соотвѣтствуетъ нѣкоторая перестановка, совершаемая надъ $l$ корнями (14) уравненія (4).

Мы будемъ называть эти перестановки, совершаемыя надъ $l$ корнями (14) уравненія (3), субституціями въ отличіе отъ линейныхъ подстановокъ группъ $G$ и $g$.

Найдемъ $N$ субституцій надъ количествами (14), соотвѣтствующихъ $N$ линейнымъ подстановкамъ группы $G$. Обозначимъ эту совокупность субституцій буквою $\Gamma$.

Докажемъ слѣдующую теорему:

Теорема 1. Совокупность субституцій $\Gamma$ есть группа Галуа для уравненія (4).

Субституціи группы $\Gamma$ суть всевозможныя субституціи, испытываемыя величинами (14) при обходахъ на плоскости перемѣннаго $z$. Отсюда слѣдуетъ, что онѣ образуютъ группу.

Всякая функція величинъ (14), инваріантная относительно субституцій группы $\Gamma$, будучи выражена черезъ $u$, есть функція аутоморфная относительно подстановокъ группы $G$ и поэтому выражается раціонально черезъ $z$. На оборотъ: всякая раціонально извѣстная функція величинъ (14) есть раціональная функція $z$, будучи выражена черезъ $u$, она

Тот же текст в современной орфографии

‎где

$\sigma _{1},\ \sigma _{2},\ \ldots ,\ \sigma _{l-1}$

(12)

‎суть различные между собой и известным образом выбранные подстановки группы $G$, не входящие в группу $g$.

Под влиянием подстановок:

$\sigma _{0}=1,\ \sigma _{1},\ \sigma _{2},\ \ldots ,\ \sigma _{l-1}$

(13)

‎функция

$\zeta =A_{g}(u).$

(1)

‎приобретает $l$ различных между собой значений:

$\zeta _{0}=1,\ \zeta _{1},\ \zeta _{2},\ \ldots ,\ \zeta _{l-1}.$

(14)

‎Эти $l$ значений суть как раз все те значения, которые функция (1) приобретает под влиянием подстановок группы $G$. Это суть $l$ корней уравнения (4). Каждой линейной подстановке $S$ группы $G$ соответствует некоторая перестановка, совершаемая над $l$ корнями (14) уравнения (4).

Мы будем называть эти перестановки, совершаемые над $l$ корнями (14) уравнения (3), субституциями в отличие от линейных подстановок групп $G$ и $g$.

Найдем $N$ субституций над количествами (14), соответствующих $N$ линейным подстановкам группы $G$. Обозначим эту совокупность субституций буквой $\Gamma$.

Докажем следующую теорему:

Теорема 1. Совокупность субституций $\Gamma$ есть группа Галуа для уравнения (4).

Субституции группы $\Gamma$ суть всевозможные субституции, испытываемые величинами (14) при обходах на плоскости переменной $z$. Отсюда следует, что они образуют группу.

Всякая функция величин (14), инвариантная относительно субституций группы $\Gamma$, будучи выражена через $u$, есть функция автоморфная относительно подстановок группы $G$ и поэтому выражается рационально через $z$. Наоборот: всякая рационально известная функция величин (14) есть рациональная функция $z$, будучи выражена через $u$, она