Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/323

§ 44. Резольвента уравненія тетраэдрическаго типа.

Мы видѣли въ § 42, что изъ числа резольвентъ тетраэдрическаго уравненія представляетъ интересъ только та резольвента, которая соотвѣтствуетъ циклической подгруппѣ 3-го порядка.

Возьмемъ тетраэдрическое уравненіе во второй нормальной формѣ:

${\begin{matrix}(2{\sqrt {2}}u^{3}+1)^{3}:(u^{6}+5{\sqrt {2}}u^{3}-1)^{2}:-(u^{3}-{\sqrt {2}})^{3}u^{3}=\\=z:z-1:1.\end{matrix}}$

(58)

‎Основныя подстановки группы этого уравненія таковы:

$\left.{\begin{array}{l}S(u)=\varepsilon u,\ {\mathfrak {T}}(u)={\dfrac {{\sqrt {2}}-u}{{\sqrt {2}}u+1}},\\{\text{гдѣ }}\varepsilon =e^{\frac {2\pi i}{3}}.\end{array}}\right\}$

(59)

‎Основная подстановка циклической подгруппы 3-го порядка есть $S$.

Функція аутоморфная относительно подстановокъ этой группы есть:

$\zeta =u^{3}.$

(60)

‎Преобразуя уравненіе (58) подстановкою (60), находимъ:

$(2{\sqrt {2}}\zeta +1)^{3}:(\zeta ^{2}+5{\sqrt {2}}\zeta -1)^{2}:-(\zeta -{\sqrt {2}})^{3}\zeta =z:z-1:1.$

(61)

‎Такова резольвента 4-ой степени тетраэдрическаго уравненія.

Посмотримъ, какова группа $\Gamma$ этого уравненія.

Совершивъ надъ функціей (60) подстановки:

$1,\ {\mathfrak {T}},\ {\mathfrak {T}}S,\ {\mathfrak {T}}S^{2},$

(62)

‎находимъ:

Тот же текст в современной орфографии

§ 44. Резольвента уравнения тетраэдрического типа.

Мы видели в § 42, что из числа резольвент тетраэдрического уравнения представляет интерес только та резольвента, которая соответствует циклической подгруппе 3-го порядка.

Возьмем тетраэдрическое уравнение во второй нормальной форме:

${\begin{matrix}(2{\sqrt {2}}u^{3}+1)^{3}:(u^{6}+5{\sqrt {2}}u^{3}-1)^{2}:-(u^{3}-{\sqrt {2}})^{3}u^{3}=\\=z:z-1:1.\end{matrix}}$

(58)

‎Основные подстановки группы этого уравнения таковы:

$\left.{\begin{array}{l}S(u)=\varepsilon u,\ {\mathfrak {T}}(u)={\dfrac {{\sqrt {2}}-u}{{\sqrt {2}}u+1}},\\{\text{где }}\varepsilon =e^{\frac {2\pi i}{3}}.\end{array}}\right\}$

(59)

‎Основная подстановка циклической подгруппы 3-го порядка есть $S$.

Функция автоморфная относительно подстановок этой группы есть:

$\zeta =u^{3}.$

(60)

‎Преобразуя уравнение (58) подстановкой (60), находим:

$(2{\sqrt {2}}\zeta +1)^{3}:(\zeta ^{2}+5{\sqrt {2}}\zeta -1)^{2}:-(\zeta -{\sqrt {2}})^{3}\zeta =z:z-1:1.$

(61)

‎Такова резольвента 4-ой степени тетраэдрического уравнения.

Посмотрим, какова группа $\Gamma$ этого уравнения.

Совершив над функцией (60) подстановки:

$1,\ {\mathfrak {T}},\ {\mathfrak {T}}S,\ {\mathfrak {T}}S^{2},$

(62)

‎находим: