Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/322

$S^{0}=1,\ S,\ S^{2},$

‎находимъ:

$\zeta _{0}=u+{\frac {1}{u}},\ \zeta _{1}=\varepsilon u+{\frac {\varepsilon ^{2}}{u}},\ \zeta _{2}=\varepsilon ^{2}u+{\frac {\varepsilon }{u}}.$

(52)

‎Эти три значенія различны между собою и исчерпываютъ всѣ корни уравненія (48).

Подстановки, которыя мы обозначали буквами:

$\sigma _{1},\ \sigma _{2},\ldots \ \sigma _{l-1}$

‎въ данномъ случаѣ суть:

$S,\ S^{2}.$

‎Подстановка $S$ преобразуетъ величины $\zeta _{0},\ \zeta _{1},\ \zeta _{2}$ въ ${\bar {\zeta }}_{0},\ {\bar {\zeta }}_{1},\ {\bar {\zeta }}_{2}$, при чемъ:

${\bar {\zeta }}_{0}=\zeta _{1},\ {\bar {\zeta }}_{1}=\zeta _{2},\ {\bar {\zeta }}_{1}=\zeta _{0}.$

(53)

‎Слѣдовательно основная субституція $\sigma$ группы $\Gamma$ уравненія (48) такова:

$\sigma =(\zeta _{0},\;\zeta _{1},\;\zeta _{2}).$

(54)

‎Подстановка ${\mathfrak {T}}$ преобразуетъ величины $\zeta _{0},\ \zeta _{1},\ \zeta _{2}$ въ ${\bar {\bar {\zeta }}}_{0},\ {\bar {\bar {\zeta }}}_{1},\ {\bar {\bar {\zeta }}}_{2}$, при чемъ:

${\bar {\bar {\zeta }}}_{0}=\zeta _{0},\ {\bar {\bar {\zeta }}}_{1}=\zeta _{2},\ {\bar {\bar {\zeta }}}_{2}=\zeta _{1}.$

(55)

‎Слѣдовательно основная субституція $\tau$ группы $\Gamma$ уравненія (48) такова:

$\tau =(\zeta _{0})(\zeta _{1},\;\zeta _{2}).$

(56)

‎Корни уравненія (50) разнятся отъ корней уравненія (48) только постояннымъ множителемъ $h$. Группы этихъ уравненій одинаковы.

Основныя субституціи группы уравненія (50) таковы:

$\left.{\begin{array}{l}\Sigma =(Y_{0},\;Y_{1},\;Y_{2}),\\T=(Y_{0})(Y_{1},\;Y_{2}).\end{array}}\right\}$

(57)

Тот же текст в современной орфографии

$S^{0}=1,\ S,\ S^{2},$

‎находим:

$\zeta _{0}=u+{\frac {1}{u}},\ \zeta _{1}=\varepsilon u+{\frac {\varepsilon ^{2}}{u}},\ \zeta _{2}=\varepsilon ^{2}u+{\frac {\varepsilon }{u}}.$

(52)

‎Эти три значения различны между собой и исчерпывают все корни уравнения (48).

Подстановки, которые мы обозначали буквами:

$\sigma _{1},\ \sigma _{2},\ \ldots ,\ \sigma _{l-1}$

‎в данном случае суть:

$S,\ S^{2}.$

‎Подстановка $S$ преобразует величины $\zeta _{0},\ \zeta _{1},\ \zeta _{2}$ в ${\bar {\zeta }}_{0},\ {\bar {\zeta }}_{1},\ {\bar {\zeta }}_{2}$, причем:

${\bar {\zeta }}_{0}=\zeta _{1},\ {\bar {\zeta }}_{1}=\zeta _{2},\ {\bar {\zeta }}_{1}=\zeta _{0}.$

(53)

‎Следовательно, основная субституция $\sigma$ группы $\Gamma$ уравнения (48) такова:

$\sigma =(\zeta _{0},\;\zeta _{1},\;\zeta _{2}).$

(54)

‎Подстановка ${\mathfrak {T}}$ преобразует величины $\zeta _{0},\ \zeta _{1},\ \zeta _{2}$ в ${\bar {\bar {\zeta }}}_{0},\ {\bar {\bar {\zeta }}}_{1},\ {\bar {\bar {\zeta }}}_{2}$, причем:

${\bar {\bar {\zeta }}}_{0}=\zeta _{0},\ {\bar {\bar {\zeta }}}_{1}=\zeta _{2},\ {\bar {\bar {\zeta }}}_{2}=\zeta _{1}.$

(55)

‎Следовательно, основная субституция $\tau$ группы $\Gamma$ уравнения (48) такова:

$\tau =(\zeta _{0})(\zeta _{1},\;\zeta _{2}).$

(56)

‎Корни уравнения (50) разнятся от корней уравнения (48) только постоянным множителем $h$. Группы этих уравнений одинаковы.

Основные субституции группы уравнения (50) таковы:

$\left.{\begin{array}{l}\Sigma =(Y_{0},\;Y_{1},\;Y_{2}),\\T=(Y_{0})(Y_{1},\;Y_{2}).\end{array}}\right\}$

(57)