Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/299

Въ этомъ случаѣ указанный выше пріемъ можетъ быть упрощенъ.

Положивъ:

$H=Y^{m}={\bar {\omega }}(z,\;u),$

(78)

‎мы преобразуемъ уравненіе (57) раціональною подстановкою:

$H={\bar {\omega }}(z,\;u).$

(79)

‎Найдя результатъ этого преобразованія:

$\psi _{1}(H,\;z)=0,$

(80)

‎и замѣнивъ $H$ величиною $Y^{m}$, находимъ уравненіе:

$\psi _{1}(Y^{m},\;z)=0.$

(81)

‎или, что то же, искомое уравненіе:

$\psi (Y,\;z)=0.$

(40)

‎Уравненія, разсмотрѣнныя нами въ [[../../Глава I/ДО|главахъ I]] и [[../../Глава VIII/ДО|VIII]] получаются изъ уравненія (57) преобразованіемъ вида:

$y={\sqrt {\dfrac {T(u)R(z)}{f(u)H(u){\dfrac {dR(z)}{dz}}}}}e^{-{\frac {1}{2}}\int p_{1}\,dz}.$

‎Это—преобразованіе вида (77).

---

Изъ сказаннаго выше слѣдуетъ, что наибольшую важность представляетъ раціональное преобразованіе уравненія (57). Поэтому въ дальнѣйшихъ нашихъ изслѣдованіяхъ мы будемъ говорить исключительно о раціональныхъ преобразованіяхъ уравненія (57).

Итакъ, пусть $\omega$ есть раціональная функція $z$ и $u$.

Мы сказали, что функція:

$\omega (z,\;u)$

‎подъ вліяніемъ подстановокъ группы $G$ порядка $N$ пріобрѣтаетъ $l$ различныхъ значеній.

Тот же текст в современной орфографии

В этом случае указанный выше прием может быть упрощен.

Положив:

$H=Y^{m}={\bar {\omega }}(z,\;u),$

(78)

‎мы преобразуем уравнение (57) рациональной подстановкой:

$H={\bar {\omega }}(z,\;u).$

(79)

‎Найдя результат этого преобразования:

$\psi _{1}(H,\;z)=0,$

(80)

‎и заменив $H$ величиной $Y^{m}$, находим уравнение:

$\psi _{1}(Y^{m},\;z)=0.$

(81)

‎или, что то же, искомое уравнение:

$\psi (Y,\;z)=0.$

(40)

‎Уравнения, рассмотренные нами в главах I и VIII получаются из уравнения (57) преобразованием вида:

$y={\sqrt {\dfrac {T(u)R(z)}{f(u)H(u){\dfrac {dR(z)}{dz}}}}}e^{-{\frac {1}{2}}\int p_{1}\,dz}.$

‎Это — преобразование вида (77).

---

Из сказанного выше следует, что наибольшую важность представляет рациональное преобразование уравнения (57). Поэтому в дальнейших наших исследованиях мы будем говорить исключительно о рациональных преобразованиях уравнения (57).

Итак, пусть $\omega$ есть рациональная функция $z$ и $u$.

Мы сказали, что функция:

$\omega (z,\;u)$

‎под влиянием подстановок группы $G$ порядка $N$ приобретает $l$ различных значений.