Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/274

ГЛАВА IX.

Общая задача объ алгебраическихъ уравненіяхъ, разрѣшимыхъ въ гипергеометрическихъ функціяхъ.

Результаты, полученные нами въ [[../../Глава I/ДО|главахъ I]]—[[../../Глава VII/ДО|VII]], даютъ возможность довольно просто рѣшить главную задачу нашей работы: найти виды и способы рѣшенія алгебраическихъ уравненій, разрѣшимыхъ въ гипергеометрическихъ функціяхъ. Въ настоящей главѣ мы разсмотримъ, къ какимъ болѣе частнымъ вопросамъ приводится рѣшеніе этой общей задачи и каковы пріемы рѣшенія этихъ вопросовъ.

Но прежде чѣмъ приступить къ этой задачѣ намъ необходимо нѣсколько пополнить то изложеніе свойствъ группъ линейныхъ подстановокъ, которое приведено въ [[../../Глава III/ДО|главахъ III]] и [[../../Глава IV/ДО|IV]], и ознакомиться съ понятіемъ объ аутоморфныхъ функціяхъ и съ главнѣйшими свойствами этихъ функцій.

§ 38. Нѣкоторыя свойства группъ линейныхъ подстановокъ.

Пусть дана группа линейныхъ подстановокъ:

$S_{0}=1,\ S_{1},\ S_{2},\ldots \ S_{N-1}.$

(1)

‎Порядокъ ея $N$ можетъ быть конечнымъ или безконечно большимъ числомъ.

Отмѣтимъ гдѣ либо на плоскости перемѣннаго $u$ произвольную точку $u_{0}$. Совершивъ надъ количествомъ $u_{0}$ подстановки группы (1), мы получимъ $N$ точекъ на плоскости:

$u_{0},\ u_{1},\ u_{2},\ldots \ u_{N-1}.$

(2)

‎Точки эти эквивалентны между собою относительно подстановокъ группы (1). Число ихъ конечно или безконечно велико,

Тот же текст в современной орфографии

ГЛАВА IX.

Общая задача об алгебраических уравнениях, разрешимых в гипергеометрических функциях.

Результаты, полученные нами в главах I—VII, дают возможность довольно просто решить главную задачу нашей работы: найти виды и способы решения алгебраических уравнений, разрешимых в гипергеометрических функциях. В настоящей главе мы рассмотрим, к каким более частным вопросам приводится решение этой общей задачи и каковы приемы решения этих вопросов.

Но прежде чем приступить к этой задаче, нам необходимо несколько пополнить то изложение свойств групп линейных подстановок, которое приведено в главах III и IV, и ознакомиться с понятием об автоморфных функциях и с главнейшими свойствами этих функций.

§ 38. Некоторые свойства групп линейных подстановок.

Пусть дана группа линейных подстановок:

$S_{0}=1,\ S_{1},\ S_{2},\ \ldots ,\ S_{N-1}.$

(1)

‎Порядок ее $N$ может быть конечным или бесконечно большим числом.

Отметим где-либо на плоскости переменной $u$ произвольную точку $u_{0}$. Совершив над количеством $u_{0}$ подстановки группы (1), мы получим $N$ точек на плоскости:

$u_{0},\ u_{1},\ u_{2},\ \ldots ,\ u_{N-1}.$

(2)

‎Точки эти эквивалентны между собой относительно подстановок группы (1). Число их конечно или бесконечно велико,