Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/109

$u=s\left({\frac {1}{\lambda _{1}}},\;{\frac {1}{\lambda }},\;{\frac {1}{\lambda _{2}}},\;z\right),$

(52)

‎или короче:

$u=s(z).$

(53)

‎Остальные частные интегралы уравненія (50) суть линейныя функціи $u$, какъ мы знаемъ изъ [[../../Глава II/ДО#Теорема 5|теоремы 5]] [[../../Глава II/ДО|главы II]].

Изъ [[../../Глава II/ДО#Теорема 11|теоремы 11]] [[../../Глава II/ДО|главы II]] видно, что функція $s(z)$ есть отношеніе частныхъ интеграловъ гипергеометрическаго уравненія (44), при чемъ коэффиціенты $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma$ этого уравненія опредѣляются формулами (51).

Отсюда слѣдуетъ, что свойства функціи $s(z)$ тѣсно связаны со свойствами гипергеометрическихъ функцій.

Теорема 1. Функція $s(z)$ многозначна и всѣ значенія ея связаны между собою линейно.

Это слѣдуетъ изъ того, что интегралъ уравненія (50)—функція многозначная и общій интегралъ этого уравненія выражается черезъ любой частный интегралъ линейно. Слѣдовательно послѣ обхода около критической точки функція

$u=s(z)$

(53)

‎перейдетъ въ

${\bar {u}}={\bar {s}}(z),$

(54)

‎при чемъ:

${\bar {u}}={\frac {au+b}{cu+d}},$

(55)

‎гдѣ $a,\ b,\ c,\ d$—нѣкоторыя постоянныя числа. Линейныя подстановки, соотвѣтствующія всевозможнымъ обходамъ около критическихъ точекъ, образуютъ группу. Эта группа—безконечнаго порядка, если число значеній функціи $s(z)$ безконечно велико. Если же число значеній функціи $s(z)$ конечно, то порядокъ группы будетъ, понятно, конченъ, и въ этомъ случаѣ, какъ мы увидимъ, функція $s(z)$ будетъ, необходимо, алгебраическою.

Теорема 2. Функція $s(z)$ имѣетъ три критическія точки: 0, 1, $\infty$.

Тот же текст в современной орфографии

$u=s\left({\frac {1}{\lambda _{1}}},\;{\frac {1}{\lambda }},\;{\frac {1}{\lambda _{2}}},\;z\right),$

(52)

‎или короче:

$u=s(z).$

(53)

‎Остальные частные интегралы уравнения (50) суть линейные функции $u$, как мы знаем из теоремы 5 главы II.

Из теоремы 11 главы II видно, что функция $s(z)$ есть отношение частных интегралов гипергеометрического уравнения (44), причем коэффициенты $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma$ этого уравнения определяются формулами (51).

Отсюда следует, что свойства функции $s(z)$ тесно связаны со свойствами гипергеометрических функций.

Теорема 1. Функция $s(z)$ многозначна и все значения ее связаны между собой линейно.

Это следует из того, что интеграл уравнения (50) — функция многозначная и общий интеграл этого уравнения выражается через любой частный интеграл линейно. Следовательно после обхода около критической точки функция

$u=s(z)$

(53)

‎перейдет в

${\bar {u}}={\bar {s}}(z),$

(54)

‎причем:

${\bar {u}}={\frac {au+b}{cu+d}},$

(55)

‎где $a,\ b,\ c,\ d$ — некоторые постоянные числа. Линейные подстановки, соответствующие всевозможным обходам около критических точек, образуют группу. Эта группа — бесконечного порядка, если число значений функции $s(z)$ бесконечно велико. Если же число значений функции $s(z)$ конечно, то порядок группы будет, понятно, кончен, и в этом случае, как мы увидим, функция $s(z)$ будет, необходимо, алгебраической.

Теорема 2. Функция $s(z)$ имеет три критические точки: 0, 1, $\infty$.