Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/59

‎Пользуясь теоремою Ліувилля:

$y_{2}{\frac {dy_{1}}{dz}}-y_{1}{\frac {dy_{2}}{dz}}=Ce^{-\int p_{1}\,dz},$

‎приводимъ уравненіе (99) къ такому виду:

${\frac {Ce^{-\int p_{1}\,dz}}{y_{2}^{2}}}={\frac {du}{dz}},$

‎откуда:

$y_{2}={\frac {\sqrt {C}}{\sqrt {\dfrac {du}{dz}}}}e^{-{\frac {1}{2}}\int p_{1}\,dz}.$

(100)

‎Изъ равенствъ (98') и (100) находимъ:

$y_{1}={\frac {u{\sqrt {C}}}{\sqrt {\dfrac {du}{dz}}}}e^{-{\frac {1}{2}}\int p_{1}\,dz}.$

(101)

‎Для нахожденія производной ${\frac {du}{dz}}$ дифференцируемъ уравненіе (95):

${\frac {H^{\lambda _{1}-1}(u)}{f^{\lambda +1}(u)}}\left\{\lambda _{1}f(u){\frac {dH(u)}{du}}-\lambda H(u){\frac {df(u)}{du}}\right\}{\frac {du}{dz}}={\frac {dR(z)}{dz}}.$

(102)

‎Полагая:

$\lambda _{1}f(u){\frac {dH(u)}{du}}-\lambda H(u){\frac {df(u)}{du}}=NT(u),$[1]

(103)

‎находимъ:

1. Бинарная форма $T(\eta ',\ \eta '')$, соотвѣтствующая многочлену $T(u)$, есть функціональный опредѣлитель формъ $f(\eta ',\ \eta '')$ и $H(\eta ',\ \eta '')$. Отсюда слѣдуетъ, что форма $T(\eta ',\ \eta '')$ есть коваріантъ первичной формы $f(\eta ',\ \eta '')$ и потому равна радикалу изъ раціональной функціи перемѣннаго $z$. Впослѣдствіи мы часто будемъ пользоваться многочленомъ $T(u)$.

Тот же текст в современной орфографии

‎Пользуясь теоремой Лиувилля:

$y_{2}{\frac {dy_{1}}{dz}}-y_{1}{\frac {dy_{2}}{dz}}=Ce^{-\int p_{1}\,dz},$

‎приводим уравнение (99) к такому виду:

${\frac {Ce^{-\int p_{1}\,dz}}{y_{2}^{2}}}={\frac {du}{dz}},$

‎откуда:

$y_{2}={\frac {\sqrt {C}}{\sqrt {\dfrac {du}{dz}}}}e^{-{\frac {1}{2}}\int p_{1}\,dz}.$

(100)

‎Из равенств (98') и (100) находим:

$y_{1}={\frac {u{\sqrt {C}}}{\sqrt {\dfrac {du}{dz}}}}e^{-{\frac {1}{2}}\int p_{1}\,dz}.$

(101)

‎Для нахождения производной ${\frac {du}{dz}}$ дифференцируем уравнение (95):

${\frac {H^{\lambda _{1}-1}(u)}{f^{\lambda +1}(u)}}\left\{\lambda _{1}f(u){\frac {dH(u)}{du}}-\lambda H(u){\frac {df(u)}{du}}\right\}{\frac {du}{dz}}={\frac {dR(z)}{dz}}.$

(102)

‎Полагая:

$\lambda _{1}f(u){\frac {dH(u)}{du}}-\lambda H(u){\frac {df(u)}{du}}=NT(u),$[1]

(103)

‎находим:

1. Бинарная форма $T(\eta ',\ \eta '')$, соответствующая многочлену $T(u)$, есть функциональный определитель форм $f(\eta ',\ \eta '')$ и $H(\eta ',\ \eta '')$. Отсюда следует, что форма $T(\eta ',\ \eta '')$ есть ковариант первичной формы $f(\eta ',\ \eta '')$ и потому равна радикалу из рациональной функции переменной $z$. Впоследствии мы часто будем пользоваться многочленом $T(u)$.