Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/22

$y_{1},\ j_{\mu _{1}}y_{1},\ j_{\mu _{2}}y_{1},\ \ldots ,\ j_{\mu _{m-1}}y_{1},$

‎гдѣ $j_{\mu _{1}},\ j_{\mu _{2}},\ \ldots ,\ j_{\mu _{m-1}}$ суть корни изъ 1 степеней соотвѣтственно равныхъ:

$\mu _{1},\ \mu _{2},\ \ldots ,\ \mu _{m-1}.$

‎Всѣ эти числа $\mu _{i}$, какъ мы видѣли, должны быть дѣлителями числа $m$. Пусть наименьшее кратное чиселъ $\mu _{i}$ есть $\mu$. Число $\mu$ будетъ тоже дѣлителемъ числа $m$; слѣдовательно оно будетъ или меньше $m$, или равно $m$. Обозначимъ первообразный корень степени $\mu$ изъ 1 буквою $j$; тогда количества $j_{\mu _{i}}$ выразятся, какъ степени взятаго первообразнаго корня $j$:

$j^{\alpha _{1}},\ j^{\alpha _{2}},\ \ldots ,\ j^{\alpha _{m-1}}.$

‎Число этихъ количествъ равно $m-1$ и всѣ они различны между собою и отличны отъ 1. Это показываетъ:

1) что числа

$\alpha _{1},\ \alpha _{2},\ \ldots ,\ \alpha _{m-1}$

‎представляютъ собою рядъ натуральныхъ чиселъ:

$1,\ 2,\ 3,\ \ldots ,\ m-1,$

‎только, быть можетъ, въ измѣненномъ порядкѣ;

2) что степень $\mu$ должна равняться $m$.

Итакъ, $j$ есть первообразный корень степени $m$ изъ 1.

Корни (3) при сдѣланномъ предположеніи, представляются въ такомъ видѣ:

$y_{1},\ jy_{1},\ j^{2}y_{1},\ \ldots ,\ j^{m-1}y_{1}.$

‎А это значитъ, что уравненіе (1) есть уравненіе двучленное:

$y^{m}=y_{1}^{m},$

‎гдѣ $y_{1}^{m}$ есть раціональная функція $z$.

Такъ какъ взятое уравненіе (1) было не двучленное, то мы пришли къ противорѣчію.

Теорема доказана.

Тот же текст в современной орфографии

$y_{1},\ j_{\mu _{1}}y_{1},\ j_{\mu _{2}}y_{1},\ \ldots ,\ j_{\mu _{m-1}}y_{1},$

‎где $j_{\mu _{1}},\ j_{\mu _{2}},\ \ldots ,\ j_{\mu _{m-1}}$ суть корни из 1 степеней соответственно равных:

$\mu _{1},\ \mu _{2},\ \ldots ,\ \mu _{m-1}.$

‎Все эти числа $\mu _{i}$, как мы видели, должны быть делителями числа $m$. Пусть наименьшее кратное чисел $\mu _{i}$ есть $\mu$. Число $\mu$ будет тоже делителем числа $m$; следовательно оно будет или меньше $m$, или равно $m$. Обозначим первообразный корень степени $\mu$ из 1 буквой $j$; тогда количества $j_{\mu _{i}}$ выразятся как степени взятого первообразного корня $j$:

$j^{\alpha _{1}},\ j^{\alpha _{2}},\ \ldots ,\ j^{\alpha _{m-1}}.$

‎Число этих количеств равно $m-1$, и все они различны между собой и отличны от 1. Это показывает:

1) что числа

$\alpha _{1},\ \alpha _{2},\ \ldots ,\ \alpha _{m-1}$

‎представляют собой ряд натуральных чисел:

$1,\ 2,\ 3,\ \ldots ,\ m-1,$

‎только, быть может, в измененном порядке;

2) что степень $\mu$ должна равняться $m$.

Итак, $j$ есть первообразный корень степени $m$ из 1.

Корни (3), при сделанном предположении, представляются в таком виде:

$y_{1},\ jy_{1},\ j^{2}y_{1},\ \ldots ,\ j^{m-1}y_{1}.$

‎А это значит, что уравнение (1) есть уравнение двучленное:

$y^{m}=y_{1}^{m},$

‎где $y_{1}^{m}$ есть рациональная функция $z$.

Так как взятое уравнение (1) было не двучленное, то мы пришли к противоречию.

Теорема доказана.