Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/45

Дѣлая обходы вокругъ точки $\alpha _{i}$, мы увидимъ, что $\eta _{1}$ принимаетъ такія значенія:

$e^{2\pi r_{1}i}\eta _{1},\ e^{4\pi r_{1}i}\eta _{1},\ e^{6\pi r_{1}i}\eta _{1},\ \ldots$

‎Въ числѣ корней составляемаго уравненія находятся такіе корни, которые разнятся отъ корня $\eta _{1}$ постоянными множителями:

$e^{2\pi r_{1}i},\ e^{4\pi r_{1}i},\ e^{6\pi r_{1}i},\ \ldots$

‎Приведенная система корней будетъ содержать въ себѣ менѣе, нежели $n$ корней, соотвѣтствующая первичная форма будетъ степени ниже $n$.

Теорема доказана.

Теорема 15. Если степень первичной формы $f(\eta ',\ \eta '')$ выше 2, то индексъ ея не можетъ равняться 2.

Если индексъ первичной формы равенъ 2, то степень ея равна ${\frac {n}{2}}$. Докажемъ, что всегда можно построить первичную форму степени ниже ${\frac {n}{2}}$, если степень формы $f(\eta ',\ \eta '')$ не равна 2.

Возьмемъ снова тѣ два частныхъ интеграла $\eta ',\ \eta ''$ уравненія (21), которые въ области критической точки разлагаются въ ряды вида:

$\left.{\begin{matrix}\eta _{1}=(z-\alpha _{i})^{r_{1}}\varphi _{1}(z-\alpha _{i}),\\\eta _{2}=(z-\alpha _{i})^{r_{2}}\varphi _{2}(z-\alpha _{i}),\end{matrix}}\right\}$

(68)

‎гдѣ показатели степени $r_{1},\ r_{2}$ суть корни опредѣляющаго уравненія Фукса:

$r(r-1)+M_{i}=0.$

(24)

‎Для того, чтобы функціи $\eta ',\ \eta ''$ были алгебраическія, необходимо, чтобы корни уравненія (24) были раціональны.

Тот же текст в современной орфографии

Делая обходы вокруг точки $\alpha _{i}$, мы увидим, что $\eta _{1}$ принимает такие значения:

$e^{2\pi r_{1}i}\eta _{1},\ e^{4\pi r_{1}i}\eta _{1},\ e^{6\pi r_{1}i}\eta _{1},\ \ldots$

‎В числе корней составляемого уравнения находятся такие корни, которые разнятся от корня $\eta _{1}$ постоянными множителями:

$e^{2\pi r_{1}i},\ e^{4\pi r_{1}i},\ e^{6\pi r_{1}i},\ \ldots$

‎Приведенная система корней будет содержать в себе менее, нежели $n$ корней, соответствующая первичная форма будет степени ниже $n$.

Теорема доказана.

Теорема 15. Если степень первичной формы $f(\eta ',\ \eta '')$ выше 2, то индекс ее не может равняться 2.

Если индекс первичной формы равен 2, то степень ее равна ${\frac {n}{2}}$. Докажем, что всегда можно построить первичную форму степени ниже ${\frac {n}{2}}$, если степень формы $f(\eta ',\ \eta '')$ не равна 2.

Возьмем снова те два частных интеграла $\eta ',\ \eta ''$ уравнения (21), которые в области критической точки разлагаются в ряды вида:

$\left.{\begin{matrix}\eta _{1}=(z-\alpha _{i})^{r_{1}}\varphi _{1}(z-\alpha _{i}),\\\eta _{2}=(z-\alpha _{i})^{r_{2}}\varphi _{2}(z-\alpha _{i}),\end{matrix}}\right\}$

(68)

‎где показатели степени $r_{1},\ r_{2}$ суть корни определяющего уравнения Фукса:

$r(r-1)+M_{i}=0.$

(24)

‎Для того, чтобы функции $\eta ',\ \eta ''$ были алгебраические, необходимо, чтобы корни уравнения (24) были рациональны.