Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/20

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+p_{1}{\frac {dy}{dx}}+p_{2}y=0,$

(2)

‎гдѣ коэффиціенты $p_{1}$ и $p_{2}$ суть раціональныя алгебраическія функціи $z$.

Пусть уравненіе (1) неприводимо и, кромѣ того, не двучленное, потому что двучленное уравненіе всегда способно удовлетворяться частными интегралами нѣкотораго линейнаго дифференціальнаго уравненія 2-го порядка и имѣетъ совершенно иной характеръ сравнительно съ другими уравненіями изучаемаго нами класса. Вслѣдствіе этого мы его временно совершенно устраняемъ съ тѣмъ, чтобы впослѣдствіи пополнить наше изложеніе указаніемъ на его особенности.

Обозначимъ корни уравненія (1) такъ:

$y_{1},\ y_{2},\ \ldots ,\ y_{m},$

(3)

‎Это суть нѣкоторыя функціи $z$.

Докажемъ, что имѣетъ мѣсто:

Теорема 1^[1]. Если отношеніе двухъ количествъ ряда (3) постоянно, то оно равно радикалу нѣкоторой степени изъ 1.

Пусть:

${\mathit {\Phi }}(y,\ z)=a_{0}y^{m}+a_{1}y^{m-1}+\ldots +a_{m-1}y+a_{m},$

(4)

‎гдѣ

$a_{0},\ a_{1},\ \ldots ,\ a_{m}$

‎суть раціональныя алгебраическія функціи $z$, и пусть

${\frac {y_{2}}{y_{1}}}=c$

‎гдѣ $c$ постоянное.

1. Эта теорема и слѣдующія за нею теоремы параграфа 1 и отчасти параграфа 2 заимствованы мною въ мемуарѣ Фукса: Ueber die linearen Differentialgleihungen Zweiter Ordnung, welche algebraische Integrale besitzen, und eine neue Anwendung der Invariantentheorie. Журналъ Крелля т. 81 стр. 97.

Тот же текст в современной орфографии

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+p_{1}{\frac {dy}{dx}}+p_{2}y=0,$

(2)

‎где коэффициенты $p_{1}$ и $p_{2}$ суть рациональные алгебраические функции $z$.

Пусть уравнение (1) неприводимо и, кроме того, не двучленное, потому что двучленное уравнение всегда способно удовлетворяться частными интегралами некоторого линейного дифференциального уравнения 2-го порядка и имеет совершенно иной характер сравнительно с другими уравнениями изучаемого нами класса. Вследствие этого мы его временно совершенно устраняем с тем, чтобы впоследствии пополнить наше изложение указанием на его особенности.

Обозначим корни уравнения (1) так:

$y_{1},\ y_{2},\ \ldots ,\ y_{m},$

(3)

‎Это суть некоторые функции $z$.

Докажем, что имеет место:

Теорема 1^[1]. Если отношение двух количеств ряда (3) постоянно, то оно равно радикалу некоторой степени из 1.

Пусть:

${\mathit {\Phi }}(y,\ z)=a_{0}y^{m}+a_{1}y^{m-1}+\ldots +a_{m-1}y+a_{m},$

(4)

‎где

$a_{0},\ a_{1},\ \ldots ,\ a_{m}$

‎суть рациональные алгебраические функции $z$, и пусть

${\frac {y_{2}}{y_{1}}}=c$

‎где $c$ — постоянное.

1. Эта теорема и следующие за ней теоремы параграфа 1 и отчасти параграфа 2 заимствованы мной из мемуара Фукса: Über die linearen Differentialgleihungen Zweiter Ordnung, welche algebraische Integrale besitzen, und eine neue Anwendung der Invariantentheorie. Журнал Крелле, т. 81, стр. 97.