Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/56

Теорема 21. При $N=n$ уравненіе (93) неприводимо и тождественно съ уравненіемъ (83). При $N={\frac {n}{2}}$ уравненіе (93) распадается на два неприводимыхъ уравненія степени ${\frac {n}{2}}$; эти два уравненія тождественны какъ между собою, такъ и съ уравненіемъ (83).^[1]

I. Пусть $N=n$. Въ этомъ случаѣ уравненіе (93) имѣетъ общій корень съ неприводимымъ уравненіемъ (83), и степени обоихъ уравненій одинаковы. Слѣдовательно они между собою тождественны.

II. Пусть $N={\frac {n}{2}}$. Въ этомъ случаѣ, какъ мы знаемъ, каждой парѣ значеній функцій $\eta ',\ \eta ''$ соотвѣтствуетъ другая пара значеній, разнящихся отъ нихъ только знакими.

Корнями уравненія (93) служатъ величины отношеній всѣхъ паръ значеній $\eta ',\ \eta ''$ между собою. Ясно, что всѣ корни уравненія (93) попарно равны между собою. Уравненіе (93) распадается на два тождественныхъ между собою уравненія степени ${\frac {n}{2}}$. Это возможно только въ томъ случаѣ, если $\mu _{1}$ и $\mu$ суть числа четныя, а раціональная функція ${\mathfrak {R}}(z)$ есть точный квадратъ:

$\mu _{1}=2\lambda _{1},\ \mu =2\lambda ,\ {\mathfrak {R}}(z)=R(z),$

(94)

‎гдѣ $R(z)$ есть нѣкоторая раціональная функція $z$.

При выполненіи этихъ условій уравненіе (93) распадается на два одинаковыхъ уравненія:

${\frac {H^{\lambda }(u)}{f^{\lambda }(u)}}=R(z).$

(95)

‎Это уравненіе степени $N={\frac {n}{2}}$ неприводимо и тождественно съ уравненіемъ (83), что видно изъ такихъ же соображеній, которыя мы привели при разсмотрѣніи предъидущаго случая.

1. Корректную формулировку теоремы см. в [[../../Поправка/ДО|Поправке]]. — Примѣчаніе редактора Викитеки.

Тот же текст в современной орфографии

Теорема 21. При $N=n$ уравнение (93) неприводимо и тождественно с уравнением (83). При $N={\frac {n}{2}}$ уравнение (93) распадается на два неприводимых уравнения степени ${\frac {n}{2}}$; эти два уравнения тождественны как между собой, так и с уравнением (83).^[1]

I. Пусть $N=n$. В этом случае уравнение (93) имеет общий корень с неприводимым уравнением (83), и степени обоих уравнений одинаковы. Следовательно они между собой тождественны.

II. Пусть $N={\frac {n}{2}}$. В этом случае, как мы знаем, каждой паре значений функций $\eta ',\ \eta ''$ соответствует другая пара значений, разнящихся от них только знакими.

Корнями уравнения (93) служат величины отношений всех пар значений $\eta ',\ \eta ''$ между собой. Ясно, что все корни уравнения (93) попарно равны между собой. Уравнение (93) распадается на два тождественных между собой уравнения степени ${\frac {n}{2}}$. Это возможно только в том случае, если $\mu _{1}$ и $\mu$ суть числа четные, а рациональная функция ${\mathfrak {R}}(z)$ есть точный квадрат:

$\mu _{1}=2\lambda _{1},\ \mu =2\lambda ,\ {\mathfrak {R}}(z)=R(z),$

(94)

‎где $R(z)$ есть некоторая рациональная функция $z$.

При выполнении этих условий уравнение (93) распадается на два одинаковых уравнения:

${\frac {H^{\lambda }(u)}{f^{\lambda }(u)}}=R(z).$

(95)

‎Это уравнение степени $N={\frac {n}{2}}$ неприводимо и тождественно с уравнением (83), что видно из таких же соображений, которые мы привели при рассмотрении предыдущего случая.

1. Корректную формулировку теоремы см. в Поправке. — Примѣчаніе редактора Викитеки.