Алгебраические уравнения, разрешимые в гипергеометрических функциях (Лахтин)/ДО

Алгебраические уравнения, разрешимые в гипергеометрических функциях
авторъ Лахтинъ Л. К.

Опубл.: 1893 год. Источникъ: Математический сборник, т. 16:4 (1893), стр. 597—812 (главы I—VI) и 17:1 (1893), стр. 1—216 (главы VII—XI)

Алгебраическія уравненія, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функціяхъ.

---

Л. К. Лахтина.

---

(Читано въ засѣданіяхъ Математическаго Общества 15 сентября и 20 октября 1892 года).

---

ОГЛАВЛЕНІЕ.

Т. XVI.

Стран.^[1]

Введеніе  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

597

Глава I. Свойства алгебраическихъ уравненій, имѣющихъ корнями частные интегралы линейнаго дифференціальнаго уравненія втораго порядка.

§ 1. Основныя свойства  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

615

§ 2. Первичныя формы  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

631

§ 3. Уравненія, которымъ удовлетворяютъ отношенія корней уравненій разсматриваемаго класса  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

648

§ 4. Случай, когда дифференціальное уравненіе имѣетъ первичную форму второй степени  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

657

Глава II. Свойства алгебраическихъ уравненій, имѣющихъ корнями отношенія частныхъ интеграловъ линейнаго дифференціальнаго уравненія 2-го порядка.

§ 5. Основныя свойства  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

661

§ 6. Дифференціальное уравненіе 3-го порядка, которому удовлетворяютъ корни алгебраическаго уравненія изучаемаго класса  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

681

§ 7. Двучленное уравненіе  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

688

Глава III. О функціяхъ Шварца.

§ 8. Линейное преобразованіе на плоскости комплекснаго перемѣннаго  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

690

§ 9. Нѣкоторыя теоремы теоріи гипергеометрическихъ функцій  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

701

§ 10. Основныя свойства функцій Шварца  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

703

§ 11. Свойства сѣти треугольниковъ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

717

§ 12. Построеніе четырехъ типовъ сѣти треугольниковъ, у которыхъ сумма внутреннихъ угловъ больше $\pi$  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

724

Глава IV. Конечныя группы линейныхъ подстановокъ.

§ 13. Общіе пріемы вычисленія подстановокъ группы, соотвѣтствующей данной сѣти треугольниковъ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

730

§ 14. Геометрическія представленія для группъ конечныхъ порядковъ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

736

§ 15. Группа двупирамидная  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

743

§ 16. Группа тетраэдрическая  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

746

§ 17. Группа октаэдрическая  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

753

§ 18. Группа икосаэдрическая  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

758

§ 19. Циклическая группа конечнаго порядка  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

762

§ 20. Конечныя группы бинарныхъ линейныхъ подстановокъ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

764

Глава V. Нормальные виды алгебраическихъ уравненій, имѣющихъ корнями отношенія частныхъ интеграловъ линейнаго дифференціальнаго уравненія втораго порядка.

§ 21. Общіе пріемы вычисленія коэффиціентовъ уравненія, соотвѣтствующаго данной группѣ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

773

§ 22. Уравненіе двупирамидное  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

776

§ 23. Уравненіе тетраэдрическое  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

778

§ 24. Уравненіе октаэдрическое  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

783

§ 25. Уравненіе икосаэдрическое  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

787

Глава VI. Инваріантныя свойства первичныхъ формъ $f(y',\ y'')$, $H(y',\ y'')$, $T(y',\ y'')$. Соотношенія между первичными функціями различныхъ типовъ.

§ 26. Коваріантъ $(f,\ f)^{4}$ первичной формы наинисшей степени $f(y',\ y'')$  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

788

§ 27. Выраженіе формы, инваріантной по отношенію къ бинарнымъ линейнымъ подстановкамъ конечной группы, черезъ первичныя формы: $f(y',\ y'')$, $H(y',\ y'')$, $T(y',\ y'')$  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

796

§ 28. Тождества, связывающія между собою первичныя функціи $f(u)$, $H(u)$, $T(u)$ различныхъ типовъ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

804

Т. XVII.

Стран.^[2]

Глава VII. Рѣшеніе уравненій, имѣющихъ корнями отношенія частныхъ интеграловъ линейнаго дифференціальнаго уравненія 2-го порядка.

§ 29. Критерій для рѣшенія вопроса о томъ, не служатъ ли корни даннаго алгебраическаго уравненія отношеніями частныхъ интеграловъ линейнаго дифференціальнаго уравненія 2-го порядка  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

§ 30. Приведеніе уравненія къ нормальному виду  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

§ 31. Рѣшеніе въ радикалахъ уравненій: двупирамиднаго, тетраэдрическаго и октаэдрическаго  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

§ 32. Невозможность рѣшенія икосаэдрическаго уравненія въ радикалахъ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

§ 33. Рѣшеніе уравненій изучаемаго класса въ гипергеометрическихъ функціяхъ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

Глава VIII. Алгебраическія уравненія, имѣющія корнями частные интегралы линейнаго дифференціальнаго уравненія 2-го порядка.

§ 34. Предварительныя замѣчанія  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

§ 35. Выраженія первичныхъ формъ $f(\eta _{1},\ \eta _{2})$, $H(\eta _{1},\ \eta _{2})$, $T(\eta _{1},\ \eta _{2})$ въ видѣ радикаловъ изъ раціональныхъ функцій перемѣннаго $z$  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

§ 36. Внѣшній видъ уравненій, имѣющихъ корнями частные интегралы дифференціальнаго уравненія вида: ${\frac {d^{2}\eta }{dz^{2}}}=P\eta$  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

§ 37. Алгебраическія уравненія, имѣющія корнями частные интегралы гипергеометрическихъ дифференціальныхъ уравненій  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

Глава IX. Общая задача объ алгебраическихъ уравненіяхъ, разрѣшимыхъ въ гипергеометрическихъ функціяхъ.

§ 38. Нѣкоторыя свойства группъ линейныхъ подстановокъ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

§ 39. Понятіе объ аутоморфныхъ функціяхъ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

§ 40. Упрощеніе общей задачи объ алгебраическихъ уравненіяхъ, разрѣшимыхъ въ гипергеометрическихъ функціяхъ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

Глава X. Резольвенты уравненій, имѣющихъ группу линейныхъ подстановокъ.

§ 41. Свойства резольвентъ уравненій, имѣющихъ группу линейныхъ подстановокъ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87

§ 42. Подгруппы конечныхъ порядковъ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

95

§ 43. Резольвента уравненія двупирамиднаго типа  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

103

§ 44. Резольвента уравненія тетраэдрическаго типа  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

107

§ 45. Резольвенты уравненія октаэдрическаго типа  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

110

§ 46. Резольвенты уравненія икосаэдрическаго типа  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

115

§ 47. Нѣкоторыя замѣчанія о группахъ уравненій, найденныхъ въ предыдущихъ параграфахъ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

139

Глава XI. Рѣшеніе уравненій: 3-ей, 4-ой, 5-ой степени и уравненія Якоби 6-ой степени.

§ 48. Геометрическія представленія, связанныя съ алгебрическими уравненіями  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

145

§ 49. Геометрическія изображенія для уравненій 5-ой степени  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

149

§ 50. Рѣшеніе главнаго уравненія 5-ой степени  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

161

§ 51. Рѣшеніе уравненія 5-ой степени общаго вида  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

166

§ 52. Рѣшеніе уравненія 5-ой степени въ формѣ Жеррарда  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

171

§ 53. Рѣшеніе уравненія 4-ой степени  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

173

§ 54. Рѣшеніе уравненія 3-ей степени  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

176

§ 55. Уравненіе Якоби 6-ой степени  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

178

§ 56. Рѣшеніе уравненія Якоби 6-ой степени  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

189

§ 57. Дискриминантъ уравненія Якоби 6-ой степени  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

191

§ 58. Связь между уравненіемъ 5-ой степени и уравненіемъ Якоби 6-ой степени  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

198

Заключеніе  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

203

Литература  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

205

Чертежъ I  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Чертежъ II  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Чертежъ III  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Чертежъ IV  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Опечатки  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

209

Поправка  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

211

Примечания

1. Опубликовано в «Математический сборник», т. 16:4 (1893), стр. 597—812. — Примѣчаніе редактора Викитеки.
2. Опубликовано в «Математический сборник», т. 17:1 (1893), стр. 1—216. — Примѣчаніе редактора Викитеки.