[217]1. Начертательная геометрия. В последнее время, после почти вековой остановки, чистая геометрия обогатилась новым учением — начертательной геометрией, которая представляет необходимое дополнение аналитической геометрии Декарта и которая, подобно ей, должна была принести неисчислимые результаты и отметить новую эпоху в истории геометрии.
Этою наукой мы обязаны творческому гению Монжа.
Она обнимает собою две задачи.
Во-первых, задачу — представать на плоскости всякое тело определенной формы и таким образом привести к построениям на плоскости такие графические операции, которые были бы невыполнимы в пространстве.
Во-вторых, задачу — вывести из этого представления тел математические соотношения между их формами и взаимными положениями.
Это прекрасное изобретение назначалось первоначально для практической геометрии и для зависящих от неё искусств; действительно, начертательная геометрия представляет общую теорию их и приводит к небольшому числу отвлеченных и неизменных принципов и к удобным и всегда верным построениям — все геометрические действия, представляющиеся при обделке камней и дерева, в перспективе, фортификации, гномонике и т. д.; — действия [218]которые, до тех пор выполнялись с помощью способов бессвязных, ненадежных и часто недостаточно строгих. (См. Примечание XXIII).
2. Но кроме важности этого первого назначения, благодаря которому рациональность и точность внесены в искусства, начертательная геометрия имеет другое важное значение, именно для чистой геометрии, и вообще для наук математических, которым она оказала существенные услуги во многих отношениях.
Начертательная геометрия, будучи графическим переводом общей рациональной геометрии, послужила светочем при изыскании и истолковании результатов геометрии аналитической; по характеру своих приемов, имеющих целью установить строгое и полное соотношение между фигурами, действительно начерченными на плоскости, и телами воображаемыми в пространстве, она ближе ознакомила с геометрическими формами; она дала возможность представлять их скоро и точно и тем удвоила наши средства исследования в науке о пространстве.
Благодаря этому, геометрия получила возможность еще легче вносить свойственную ей общность и очевидность также и в механику и в другие физико-математические науки.
Полезное влияние начертательной геометрии распространилось естественным образом и на наш математический язык: он сделался удобнее и яснее, освободившись от осложненных фигур, отвлекавших внимание от сущности дела и отягощавших воображение и изложение.
Одним словом, начертательная геометрия подкрепила и развила нашу способность к представлению; сообщила более верности и ясности нашим суждениям, более точности и чистоты нашему языку; в первом отношении она была неизмеримо полезна для наук математических вообще.
3. Рассматривая в частности начертательную геометрию только как геометрический способ, мы опять находим, что она принесла чрезвычайную пользу науке о пространстве. [219]По своим основным положениям и по тем постоянным соотношениям, которые она устанавливает между плоскими фигурами и фигурами трех измерений, она является способом изыскания и доказательства для рациональной геометрии; по своим приемам, представляющим для практической геометрии тоже, что арифметика для вычислений, она дает средства к решению a priori таких вопросов, в которых геометрия Декарта, столь могущественная при других обстоятельствах, останавливается перед преградами встречаемыми алгеброй.
4. В Traité de Géométrie descriptive Монж дал первые примеры той пользы, которую можно извлечь из тесного и систематического сближения между фигурами двух и трех измерений. Подобными соображениями он с редким изяществом и совершенною очевидностью доказал прекрасные теоремы, составляющие теорию полюсов кривых линий второго порядка, свойство центров подобия трех кругов лежать по три на прямых линиях и различные другие предложения геометрии на плоскости.
После того ученики Монжа с успехом развивали эту совершенно нового рода геометрию, которую часто и по справедливости называют именем школы Монжа и которая, как мы сказали, состоит в применении плоской геометрии к исследованиям в геометрии трех измерений.
Открытия, сделанные этим путем, весьма многочисленны; изложение их представило бы без сомнения весьма интересную страницу в истории геометрии; мы не можем сделать здесь этого, не можем войти во многие подробности, которые через меру увеличили бы это сочинение.[1] [220]
5. Прием, с помощью которого Монж преобразовывал фигуры трех измерений в фигуры на плоскости, т. е. прямоугольное проложение на две перпендикулярные плоскости, которые потом совмещаются, — дает способ открывать множество предложений плоской геометрии о фигурах происходящих от совокупности обеих проекций. Нет чертежа (эпюра, épure) в начертательной геометрии, который не выражал бы какой-нибудь теоремы геометрии на плоскости. В большую часть таких теорем входят параллельные между собою линии, перпендикулярные к прямой, означающей пересечение двух плоскостей; но посредством перспективного проложения фигуры на другую плоскость можно сделать эти линии сходящимися в одной точке и сообщить теореме полную общность.
Это, как мы уже сказали, есть весьма богатое средство доказывать множество предложений плоской геометрии совершенно новым и особым путем. Например этим способом можно доказать, если не все, то большую часть теорем теории трансверсалей и большую часть неисчислимых свойств конических сечении.
Возьмем для примера чертеж, с помощью которого определяется точка пересечения трех плоскостей; эта точка находится в пересечении трех прямых, по которым плоскости пересекаются между собою попарно; поэтому проекции этих трех прямых на две плоскости проекций проходят через одну точку; отсюда получается очевидно следующая теорема.
Представим себе на плоскости два треугольника, которых стороны встречаются попарно в трех точках, лежащих на одной прямой 
; через произвольную точку проведем три прямые к вершинам первого треугольника
[221]и продолжим их до пересечения в трех точках с прямою ; потом три последние точки соединим соответственно с вершинами второго треугольника: три такие прямые пройдут через одну точку.
Эта теорема дает множество следствий; мы ограничимся замечанием, что из неё, как следствие, получается теорема Дезарга, о которой мы уже говорили (вторая эпоха, n° 28); для этого достаточно взять произвольную точку в пересечении двух прямых, соединяющих вершины первого треугольника с соответственными вершинами второго.
Чертеж, с помощью которого строятся следы плоскости, проходящей через три данные точки, ведет к другой подобной же теореме и из неё, как следствие, проистекает теорема взаимная Дезарговой.
6. Этот способ с такою же простотою ведет к свойствам конических сечений и даже кривых какой угодно степени.
Так например, представим себе коническое сечение на горизонтальной плоскости, как основание цилиндра с известным направлением образующих; построим след этого цилиндра на вертикальной плоскости и потом сделаем перспективу всего чертежа на какую нибудь плоскость; мы получим фигуру, которая представляет черчение по одному произвольному коническому сечению другого конического сечения при помощи пересечений прямых, исходящих из двух неподвижных точек.
Если вместо первого конического сечения возьмем кривую какой угодно степени, то получим другую кривую той же степени.
Итак, здесь мы имеем способ для преобразования на плоскости какой угодно кривой в другую кривую того же порядка.
Ясно, что касательные ко второй кривой определяются при помощи касательных к первой; касательные эти пересекаются попарно в точках одной прямой, именно прямой [222]пересечения двух плоскостей проекций. Таким образом получается теорема, относящаяся к кривым какого угодно класса.
Для второго примера возьмем вертикальный цилиндр, имеющий основанием коническое сечение в горизонтальной плоскости, пересечем его произвольною плоскостью и построим вертикальную проекцию кривой сечения: это будет новое коническое сечение. Касательные к этим двум кривым, будучи проекциями касательных к кривой пересечения цилиндра с плоскостью, соответствуют друг другу попарно; если с помощью этих проекций будем отыскивать точки встречи касательных в пространстве с одною из плоскостей проекций, то найдем, что точки эти лежат на прямой, именно на следе секущей плоскости на плоскости проекций. Это обстоятельство ведет к общему свойству двух конических сечений, представляющих проекции конического сечения в пространстве. Сделав перспективу чертежа на какую-нибудь плоскость, получим следующее общее свойство двух каких угодно конических сечений.
Если через точку встречи двух общих касательных к двум каким угодно коническим сечениям на плоскости проведем произвольно секущую, которая встретит каждую из кривых в двух точках, и если в этих точках проведем к кривым касательные, то касательные к первой кривой будут встречаться с касательными ко второй в четырех точках, расположенных попарно на двух постоянных прямых, положение которых не зависит от положения секущей, проводимой через точку пересечения общих касательных к двум коническим сечениям.
Эта важная в теории конических сечений теорема может быть доказана также и другими различными соображениями, почерпнутыми из геометрии трех измерений; так например, если через коническое сечение проведем два конуса, имеющие вершины в двух каких-нибудь точках пространства, [223]то вторая кривая пересечения этих конусов, будет другое коническое сечение. Не трудно усмотреть соотношение между такими двумя кривыми, размещенными в пространстве на двух конусах. Если после этого составим чертеж, представляющий проложение второго конического сечения на плоскость первого, то получим систему двух конических сечений на плоскости и все соотношения между кривыми в пространстве приведут к любопытным свойствам этого чертежа; в числе их находится и изложенная выше теорема.
7. Этих примеров достаточно, чтобы видеть, как каждый чертеж начертательной геометрии может выражать собою теорему геометрии на плоскости, и можно кажется сказать, что этот путь открывает богатый запас геометрических истин. С такой точки зрения начертательная геометрия Монжа является методом рациональной геометрии. Мы назовем его
Méthode de Transmutation des figures.
Кроме этого превращения свойств фигур трех измерений в свойства плоских фигур мы должны еще указать на другое особое применение начертательной геометрии, именно на то, что она ведет к бесконечному множеству способов преобразовывать плоские фигуры одни в другие, подобно тому, как это делали Де Лагир и Ньютон. Отсюда между прочим проистекает возможность бесконечно разнообразно достигать цели, которую имел с виду Де Лагир, именно — чертить с помощью циркуля различные конические сечения и таким образом приводить к плоскости перспективные построения. В самом деле, для этого достаточно вообразить себе конус с круговым основанием и с вершиною в какой нибудь точке пространства; затем пересечь этот конус произвольною плоскостью: в пересечении получим коническое сечение, каждая проекция которого может быть рассматриваема, как преобразование проекции основания конуса; так как эта преобразованная кривая может быть получена посредством построений на плоскости, то цель Де Лагира таким образом достигнута. [224]
Принимая в соображение неопределенность различных данных в этой задаче, мы найдем, что общее решение её ведет ко множеству разнообразных способов и приемов для решения задачи Де Лагира.
8. Наукою уже признана за Монжем та заслуга, что он ознакомил нас ближе с геометрией трех измерений и научил переходить от неё к плоской геометрии и наоборот; но не вполне еще признана важность, заключающаяся в том особом способе доказательств, примеры которого мы привели выше; это частью зависит от того, что получаемые таким путем геометрические истины были в свое время совершенно новы, частью же от того, что это были только первые примеры особого превращения (transmutation) фигур трех измерений в плоские и наоборот. Успехи единственного употреблявшегося до тех пор способа преобразования фигур, именно перспективы, — способа, которым так удачно пользовался Паскаль и с помощью которого Де Лагир привел все геометрические операции к построениям на плоскости, — были такого рода, что ими объясняется предпочтение пред всякими другими преобразованиями, как в пространстве, так и на плоскости.
Но, если мы обратимся к алгебре и будем искать причины её необыкновенной пользы для геометрии, то разве мы не увидим, что алгебра обязана значительною долею этой пользы именно удобству тех преобразований, которым подвергаются в ней введенные первоначально выражения? Тайна и механизм этих преобразований и составляют сущность этой науки и постоянный предмет изысканий для математиков. Весьма естественно стараться ввести и в чистую геометрию подобные же преобразования, основывающиеся непосредственно на свойствах и соотношениях данных фигур.
Ясным доказательством пользы геометрических преобразований служит теория стереографической проекции, благодаря которой самые простые и очевидные свойства системы плоских кривых, начерченных на поверхности [225]второго порядка, прилагаются к системе подобных и подобно расположенных конических сечений (включая сюда прямую линию и точку). К таким же преобразованиям относятся различные способы, основывающиеся, как мы покажем, на двух общих геометрических началах, именно на началах двойственности и гомографии фигур.
Подобного рода способы, полезность которых, нам кажется, достаточно доказана, заслуживают изучения и геометры, которые занялись бы этим предметом, оценили бы, если мы не ошибаемся, философскую важность преобразования лучше, чем мы в настоящей попытке уяснить ее, основываясь на способах Начертательной Геометрии Монжа.
9. Перспективная Геометрия Кузинери. Учения Монжа уже вызвали один труд подобного рода, о котором мы теперь имеем случай сказать несколько слов, отступая от хронологического порядка. Это Géométrie perspective de Cousinery (in 4°, 1828), отличающаяся от приемов Монжа тем, что автор употребляет только одну проекцию, или перспектив), на плоскости.
Всякая плоскость, каково бы ни было её положение в пространстве, определяется на чертеже (épure) двумя параллельными прямыми, из которых одна есть пересечение этой плоскости с плоскостью чертежа, a вторая есть пересечение плоскости чертежа с плоскостью параллельною, первой и проведенною через глаз, т. е. через центр, из которого проводятся проектирующие линии. Подобным же образом прямая линия обозначается двумя точками, одна из которых есть пересечение прямой с плоскостью проекции, a другая пересечение с той же плоскостью прямой, проходящей через глаз параллельно первой прямой. Чтобы определить точку, нужно знать две прямые линии, пересекающиеся в этой точке; одна из этих прямых может быть проведена через глаз и, следовательно, изображаться в перспективе одною точкой. Прием этот очень прост и остроумен; чертежи, к которым он ведет, не особенно [226]сложны и подобно чертежам начертательной геометрии Монжа, способны выражать собою различные теоремы, как это и доказал Кузинери.
Не останавливаясь на практической пользе, которую может принести этот способ в качестве вспомогательного средства в строительном искусстве, подобно начертательной геометрии Монжа, мы смотрим на него, как на способ изыскания и доказательства множества геометрических истин, и в этом отношении он, по нашему мнению, заслуживает внимания любителей геометрии. Кузинери ограничился немногими примерами, имея только в виду достаточно уяснить пользу своего приема; таким образом он открыл новое поле для геометрических изысканий, на котором после него можно еще наверное собрать богатую жатву.
10. Новый способ доказательства. По поводу начертательной геометрии Монжа нам остается еще сказать о влиянии, которое она имела на геометрию, введя новый способ для доказательств — способ, который был отвергнут древними, как несогласный с их строгими началами, но который в руках Монжа и геометров его школы привел к самым счастливым результатам.
Сущность этого способа можно выразить следующими словами: «Для облегчения доказательства, фигура, на которой исследуется какое-нибудь общее свойство, рассматривается при таком состоянии её общего построения, при котором существуют известные точки, плоскости, или линии, которые при других состояниях делаются мнимыми. Доказанная таким образом теорема распространяется потом и на те случаи, когда сказанные точки, плоскости и линии становятся мнимыми, т. е. теорема признается справедливою при всех обстоятельствах построения, какие только может представлять рассматриваемая фигура.» Геометрия Монжа дает много прекрасных примеров такого приема.
Так например, при доказательстве, что для конусов, описанных около поверхности второго порядка и имеющихъ [227]вершины на одной прямой, плоскости кривых прикосновения проходят через одну прямую линию, Монж предполагает, что через прямую, на которой расположены вершины конусов, могут быть проведены к поверхности две касательные плоскости. В таком случае все кривые прикосновения пройдут через точки касания этих плоскостей и плоскости кривых будут следовательно проходить через прямую соединяющую эти точки касания. Теорема таким образом доказана при сказанном положении фигуры; Монж говорит, что предложение распространяется и на тот случай, когда через прямую, представляющую геометрическое место вершин конусов, нельзя провести касательных плоскостей по поверхности; другими словами — что теорема имеет место при всяком положении этой прямой.
Основанием этого приема Монжа должно служить, как нам кажется, замечание, что общее построение фигуры может представлять два различные случая: в первом действительно существуют и распознаются некоторые величины (точки, линии, плоскости или поверхности), от которых общее построение не находится в необходимой зависимости, но которые составляют только случайные следствия его (conséquences contingentes); во втором случае этих величин более нет, они становятся мнимыми, но общие условия построения остаются те же самые.
Если, например, мы хотим представить себе поверхность второго порядка и прямую линию, которые находились бы в самом общем положении одна относительно другой, то при этом возможны два случая: прямая или проникает в поверхность, или не пересекается с нею. Оба случая представляют одинаковую общность, так как в каждом из них прямая проводится совершенно произвольно и независимо от данного положения поверхности второго порядка; случаи эти отличаются только тем, что две точки пересечения прямой с поверхностью в первом случае действительные, a во втором — мнимые. Мы говорим поэтому, [228]что точки пересечения представляют случайные соотношения (relations contingentes) между прямою и поверхностью.
Нет надобности подробно разъяснять, что здесь мы говорим совсем не о тех особенностях в построении фигур, которые обозначаются названием частных случаев (cas particuliers) и которые получаются, когда некоторые точки, линии, или поверхности, совпадают. Так, мы имели бы частный случай в предыдущем примере, если бы взяли прямую, касающуюся поверхности второго порядка; теоремы, доказанные для такого случая, нельзя рассматривать, как необходимо распространяющиеся на все случаи общего построения.
11. Прием, о котором мы говорим, явился, кажется, в первый раз в прекрасных примерах, предложенных Монжем в его Начертательной Геометрия. Потом этому приему следовала большая часть учеников Монжа, но всегда, как и сам Монж, молча, т. е. не входя в объяснения, подобные тем, которые мы изложили выше, и не пытаясь подтвердить этот смелый способ рассуждения.
Начало непрерывности. Изыскание такого рода, вполне заслуживающее основательного обсуждения, предпринято было только в последнее время Понселе в связи с другими важными вопросами рациональной геометрии. Этот ученый геометр высказал свое начало непрерывности в Traité des propriétés projectives; оно им развито и с успехом употреблено в приложениях; но, нам кажется, другие ученые должны считать это начало, за недостатком строгого доказательства, только сильным наведением и превосходным средством для предугадывания и открытия истин — средством, которое однако не заменяет собою непосредственно и во всех случаях строгого доказательства.
Нельзя не согласиться, что если бы геометры, пользующиеся способом Монжа, или началом непрерывности, обязаны [229]были всякий раз доказывать этот прием чисто геометрическими соображениями, основанными на признанных уже и a priori доказанных положениях, то все известные до сих пор средства могли бы оказаться недостаточными. Если путь, которому они следуют за Монжем всегда оказывался верным и не оставлял в их уме никакой неясности, то подобное доверие, по моему мнению, основывается на сознании непогрешимости, которое в них вызвано алгебраическим анализом.
12. Доказательство способа Монжа. И действительно, мы думаем, что во всяком отдельном случае прием этот может быть подтвержден рассуждениями, основанными на общих началах анализа.
Достаточно заметить, что различие двух общих случаев построения фигуры, о которых мы говорили выше и которые для нас важны, так как в них заключается по нашему мнению сущность занимающего нас вопроса, — никогда не рассматривается при приложении конечного анализа к геометрии. Получаемые результаты применяются во всей силе к обоим общим случаям. Этими результатами выражается теорема, относящаяся к существенным и постоянным частям фигуры (parties intégrantes et permanentes), принадлежащим общему построению и равно действительным в обоих случаях: эта теорема совершенно независима от второстепенных или случайных частей фигуры (parties secondaires, ou contingentes et accidentelles), которые могут быть безразлично действительными, или мнимыми, не изменяя этим общих условий построения.
И потому, если такие общие результаты доказаны для одного из двух общих состояний фигуры, то мы имеем право заключить, что они имеют место и для другого состояния.
Подобное подтверждение приема Монжа, которое можно рассматривать, как доказательство a posteriori закона непрерывности, может представлять в геометрии такие же [230]исключения, какие этот закон представляет в других случаях; эти исключения будут совершенно те же, какие встречаются в самом анализе. Следует, например, быть весьма осторожным, применяя этот закон к изысканиям, в которых при аналитическом выражении общих условий построения оказывались бы переменными какие-либо величины, кроме величин и знаков коэффициентов при переменных величинах; например, если бы менялись знаки показателей у переменных[2]. Нельзя также прилагать этот прием к вопросам, которые при аналитическом исследовании приводят к определенным интегралам, потому что тогда простая перемена знака, составляющая различие между двумя общими состояниями фигуры, могла бы совершенно изменить результаты, данные анализом.
Но во всех геометрических вопросах, требующих пособия только конечного анализа, приложение которого указывается учением Декарта, мы можем иметь полное доверие к приему Монжа. Если, например, мы рассматриваем в пространстве конус второго порядка и секущую плоскость, имеющую относительно конуса какое угодно положение, то существует два различные положения плоскости, удовлетворяющих в одинаковой степени условию совершенной общности. В одном положении плоскость пересекает конус по гиперболе, к которой мы можем провести две асимптоты; во втором положении пересечение происходит по эллипсу; и две прямые, которые в первом случае были асимптотами гиперболы, становятся во втором случае мнимыми. Но тем не менее всякое общее свойство первой фигуры, если оно даже выведено при помощи асимптот, будет принадлежать и второй фигуре; предполагая при этом конечно, что выведенное свойство не относится прямо [231]или скрытым образом (implicite) к асимптотам, так как в последнем случае свойство это не было бы общим, независимым от тех обстоятельств построения, вследствие которых асимптоты становятся действительными или мнимыми.
Сказанное о эллипсе и гиперболе не может быть применяемо к параболе, так как положение секущей плоскости, при котором на конусе получается эта кривая, есть особое, а не совершенно общее. Поэтому свойство параболы, доказанное на такой фигуре, не может распространяться на основании одного только принципа Монжа на эллипс или гиперболу, так как оно основывается на частном положении плоскости относительно конуса.
13. Подобные же рассуждения применяются к поверхностям второго порядка. Поверхности эти с известной точки зрения можно разделить на два класса: одна из них (гиперболоид с одною полостью) прикасается к касательной плоскости по двум прямым, которые всеми точками лежат на поверхности; в двух других поверхностях (в эллипсоиде и в гиперболоиде с двумя полостями) эти прямые — мнимые. Всякое общее свойство гиперболоида с одною полостью, доказанное при помощи этих прямых, но в выражении которого они не входят явным, или скрытым образом, будет принадлежать также и двум другим поверхностям.
Если например мы хотим доказать две теоремы, служащие основанием теории стереографической проекции, то начинаем с гиперболоида с одною полостью, для которого эти теоремы очевидны, благодаря помощи двух прямых, проходящих чрез всякую точку по его поверхности; отсюда мы заключаем прямо и с совершенною уверенностью, что те же теоремы имеют место для всех поверхностей второго порядка.
Но, если бы мы вместо гиперболоида с одною полостью, представляющего поверхность столь же общего построения, [232]как эллипсоид и гиперболоид с двумя полостями, доказали эти теоремы для шара, то мы не могли бы распространить их на все поверхности второго порядка с помощью одного только способа Монжа, потому что шар есть частный, a не общий, вид таких поверхностей.
14. Способ обобщения. Но мы должны прибавить, что посредством другого способа можно распространять на эллипсоид общия свойства шара; эти свойства, при помощи приема Монжа, делаются затем общими свойствами всех поверхностей второго порядка. Этот аналитический способ преобразования изложен нами в Correspondance polytechnique (t. III, p. 326); он состоит в пропорциональном изменении координат точек сферической поверхности. Этот же способ мы употребляли для преобразования свойств, относящихся к проекциям и к объемам тел; его же потом прилагали мы к изысканиям о длине кривых линий, и о площадях кривых поверхностей. Наконец мы обобщили этот способ, приспособив его к распространению свойств параболоида на гиперболоид, также как свойства шара распространяются на эллипсоид. Но так как способ этот заключается как частный случай в нашем общем начале гомографического преобразования, то мы и не будем более останавливаться на его приложениях и на доказательствах его пользы.
Укажем только на существенное различие, которое существует между этим способом и приемом изложенным выше, хотя оба эти способа ведут к обобщению первоначального результата.
Второй из изложенных способов преобразования есть действительно способ обобщения, в котором свойства частной фигуры распространяются на фигуры совершенно общего построения. В первом же способе, основывающемся на начале случайных соотношений, мы имеем дело с свойствами совершенно общей фигуры и переносим их на фигуру столь же общую, отличающуюся от прежней [233]только второстепенными и случайными обстоятельствами, которые хотя и служили для доказательства, но в результате исчезают и не имеют ни явно, ни скрытным образом, никакого значения в выражении того предложения, для доказательства которого употреблялись.
15. Способ Монжа заслуживает по нашему мнению, более чем всякий другой, названия наглядного способа, так как он действительно основывается на ясном, наглядном, рассмотрении предмета. Но этот характер наглядности свойствен вообще всем способам, основывающимся на непосредственном рассмотрении пространственных форм, в особенности тем из них, в которых рассматриваются фигуры трех измерений для вывода свойств плоских фигур. Название наглядного способа, свойственное приемам Монжа вообще, не характеризует впрочем того приема, с помощью которого свойства одной общей фигуры распространяются на другую столь же общую фигуру. Нам кажется, что это вполне достигается названием способа или начала случайных соотношений (principe des relations contingentes).
Это название мы предпочитаем названию начало непрерывности, так как последнее заключает в себе идею о бесконечности, которой вовсе нет в способе случайных соотношений. Мы разовьем подробнее эту мысль в Примечании XXIV.
Можно бы привести много примеров на исследования, в которых применялось начало случайных соотношений; но мы напали на новую задачу, на которой особенно удачно можно обнаружить применение и пользу этого начала; это именно — задача о нахождении по величине и направлению трех главных осей эллипсоида, когда даны три его сопряженные диаметра. Едва ли эта задача может быть так легко решена каким бы то ни было другим путем. (См. Примечании XXV).
16. Может быть когда нибудь начало случайных соотношений будет сведено к некоторому метафизическому [234]принципу о пространстве, находящемуся в связи с идеей однородности, подобно тому, как введены уже такие принципы в науках естественных, особенно в учении об организованных телах. Уже и теперь можно заметить близость начала случайных соотношений к некоторому общему принципу двойственности, обнаруживающемуся во всех телах, где только можно подметить элементы двоякого рода: постоянные и изменяемые, покой и движение.
Но и до тех пор, пока будет найдено доказательство начала случайных соотношений a priori, мы можем, кажется, посредством указанных выше аналитических приемов, подтвердить его достаточно, чтобы без колебания пользоваться им.
Во всяком случае для успехов чистой геометрии было бы весьма выгодно, если бы не все геометры отказывались окончательно от строгих начал древней геометрии и в то время, как одни с доверием к легким приемам Монжа обогащают науку новыми истинами, другие старались бы доказать эти истины иным, совершенно строгим путем. Такое сотрудничество и такое двоякое направление были бы очень полезны для геометрии и способствовали бы обогащению её новыми началами и установлению её истинной метафизики. Действительно, открыв какую-нибудь истину посредством способа Монжа, способа, который в известном смысле можно считать поверхностным и в котором мы рассматриваем и употребляем в дело внешние и наглядные, но случайные и изменяющиеся обстоятельства, — мы должны для установления этой истинны на неизменных и независимых от случайных обстоятельств началах, обратиться к самой сущности предмета и, не ограничиваясь уже, как Монж, второстепенными и случайными свойствами, полезными в некоторых случаях для разъяснения фигуры, принять в основание только существенные и постоянные свойства её. Под существенными и постоянными свойствами мы разумеем такие, которые могут служить для разъяснения и построения фигуры во всех возможных [235]случаях, — те свойства, которые мы назвали выше существенными, или главными частями фигуры, тогда как второстепенные или случайные свойства могут при известных состояниях фигуры исчезать и делаться мнимыми.
Теория круга на плоскости представляет пример установленного нами различия между случайными и постоянными свойствами фигуры. В системе двух кругов существует одна прямая линия, имеющая важное значение во всей теории круга. Когда два круга пересекаются, то эта прямая есть их общая хорда и этого обстоятельства достаточно для исследования и построения её; но это есть именно одно из свойств, которые мы назвали случайными. Если два круга не пересекаются, то свойство это исчезает, но прямая, не смотря на это, существует, и её рассмотрение в высшей степени полезно для теории круга. Поэтому мы должны определить и построить эту прямую на основании какого нибудь другого её свойства, которое имело бы место при всевозможных состояниях нашей фигуры, т. е. при всевозможных положениях двух кругов. Такое свойство будет постоянным. Следуя этой мысли, Готье[3] назвал такую прямую не общею хордою, а радикальною осью двух кругов; выражение это взято от того постоянного свойства, что касательные, проведенные из каждой точки этой прямой к обоим кругам, равны между собою, так что каждая точка её есть центр круга, пересекающего данные круги под прямыми углами[4]. [236]
Познание существенных и неизменяемых свойств, к изысканию которых мы приходим при исчезновении свойств случайных, весьма важно для усовершенствования геометрических теорий, потому что чрез это достигается возможно большая общность и часто наибольшая степень наглядной очевидности, составляющей главный характер школы Монжа.
Таким образом обстоятельство, что радикальная ось двух кругов в случае их пересечения есть общая хорда, привела Монжа к доказательству, что радикальные оси трех кругов, находящихся в одной плоскости и рассматриваемых как диаметральные сечения трех шаров, должны проходить через одну и ту же точку. Теорема эта не менее очевидна, когда примем за основание найденные Готье постоянные свойства радикальных осей. Тогда тотчас видим, что точке пересечения двух из этих осей принадлежит характеристическое свойство третьей оси, т. е. что эта точка лежит также и на третьей оси.
17. Мнимые величины в геометрии. Учение о случайных соотношениях может, как нам кажется, доставить еще другую выгоду, именно дать удовлетворительное объяснение слова мнимый, употребляемого теперь в чистой геометрии; слово это означает мыслимый, но не существующий предмет, в котором можно предполагать некоторые свойства, пользоваться им на время как пособием и применять к нему такие же рассуждения, как к предметам действительным и вещественным. Такое понятие [237]о мнимом, кажущееся на первый взгляд неясным и парадоксальным, получает в теории случайных соотношений смысл ясный, точный и законный. (См. Прим. XXVI). С этой точки зрения можно считать небеcполезным сделанное нами разделение свойств фигур с одной стороны на существенные или постоянные, с другой — на изменчивые, случайные.
18. Способ изложения в геометрии Монжа. Начертательная геометрия Монжа представляет еще неисчерпанный источник прекрасных теорий. Мы указали, что в ней кроются более и менее развитые зачатки многих приемов, увеличивающих могущество геометрии и расширяющих её область; но кроме этого мы видим в ней начало нового способа изложения этой науки, как на письме, так и на словах. Изложение всегда так тесно связано с духом способов, что необходимо совершенствуется вместе с ними, и в свою очередь оказывает могущественное влияние на развитие и общие успехи науки. Это бесспорно и не требует доказательств.
Геометрия древних испещрена чертежами. Причина этого очень понятна. При отсутствии общих и отвлеченных начал всякий вопрос мог быть исследован только в отдельности, на том самом чертеже, который относился к вопросу и который один мог указывать элементы, необходимые для решения или для доказательства. Нельзя было не испытывать неудобств подобного приема вследствие трудности построения некоторых чертежей и вследствие их сложности, затруднявшей соображение и понимание. Указываемое нами неудобство особенно ощутительно в геометрии трех измерений, где чертежи становятся иногда совсем невозможными.
Это неудобство древней геометрии устраняется самым удачным образом в аналитической геометрии и в этом заключается одна из её сравнительных выгод. Но отсюда возникал далее вопрос, не существует ли также и в чистой геометрии способов рассуждения, не требующих [238]безпрерывного употребления чертежей, — употребления, представляющего даже при легком построении фигур существенное неудобство уже потому, что оно утомляет ум и замедляет рассуждения.
Этот вопрос разрешен сочинениями Монжа и его профессорскою деятельностью, приемы которой сохранены для нас одним из самых знаменитых его учеников, наследовавшим его кафедру[5]. Благодаря Монжу мы знаем, что для этого достаточно теперь, когда начала науки выработались и расширились, пользоваться при геометрических исследованиях и изложении их теми общими принципами и преобразованиями, которые, подобно тому, как в анализе, раскрывая нам истину в её первоначальной чистоте и со всевозможных сторон, с особым удобством применяются к плодотворным выводам, приводящим естественным путем к цели. Таков характер учений Монжа; правда, начертательная геометрия существенно нуждается в употреблении чертежей, но это только в её приложениях, где она играет роль пособия. Но никто лучше Монжа не понимал геометрии без чертежей и более его не пользовался ею. В Политехнической Школе сохраняется предание, что Монж в замечательной степени обладал способностью представлять в пространстве самые сложные формы и усматривать их взаимные соотношения и самые скрытые свойства, прибегая при этом только к помощи жестов; движение его рук удивительно помогало изложению, не всегда быстрому, но всегда проникнутому истинным [239]красноречием, свойственным предмету, т. е. ясностию и отчетливостию, богатством и глубиною мысли.
19. Влияние учений Монжа на анализ. На
предыдущих страницах мы старались по мере сил оценить характер и размер услуг, оказанных Монжем рациональной геометрии. Нам следовало бы еще говорить о влиянии их на аналитическую геометрию и даже вообще на алгебру, как теорию отвлеченных величин. Но это отклонило бы нас от цели настоящего сочинения; притом было бы слишком смело, если бы мы, ограничивающиеся ролью историка, решились коснуться предмета уже исследованного геометром, обладающим глубокими и разнообразными познаниями во всех отделах математических и философских наук[6].
Итак, мы ограничимся замечанием, что алгебра, уже обязанная геометрии значительными успехами с того времени, когда Декарт совершил слияние этих двух наук, нашла в ней новое пособие, и притом в высших и труднейших частях своих, именно в интегрировании дифференциальных уравнений со многими переменными, благодаря глубокомысленному сближению, установленному Монжем между её символическим языком и пространственными формами и величинами.
Укажем для примера на двоякое аналитическое выражение некоторых семейств поверхностей, с одной стороны посредством дифференциального уравнения, с другой — посредством конечного уравнения с произвольными функциями, служащего полным интегралом первого.
Таким образом аналитические формулы отнесены были к видимым предметам, все части которых находятся в соотношениях доступных очевидности, и отсюда понятно, что геометрия могла оказывать могущественное содействие [240]алгебре; понятно, одним словом, что Монж мог делать исследования в алгебре при помощи геометрии[7].
20. Успехи геометрий, вызванные сочинениями Монжа. Из всего сказанного выше по поводу чисто геометрических учений Монжа можно, как кажется, заключить, что с появлением Начертательной Геометрии мгновенно расширилась, как по понятиям, так и по средствам, остававшаяся около века в пренебрежении чистая геометрия, — наука, прославившая Евклида, Архимеда, Аполлония, бывшая в руках Галилея, Кеплера, Паскаля, Гюйгенса единственным орудием при их великих открытиях законов природы, наконец — наука, породившая бессмертные Principia Ньютона.
Понятно, что с этого времени явилось желание и надежда получить рационально, средствами самой геометрии, те многочисленные истины, которыми обогатил эту науку анализ Декарта.
С этою целью и в этом духе были написаны многие сочинения.
Сочинения Карно. Прежде всего появились и по своей важности и влиянию заслуживают особого внимания сочинения знаменитого Карно: Géométrie déposition и Essai sur la théorie des transversales.
В истории развития рациональной геометрии эти два сочинения Карно не должны быть отделяемы от Начертательной Геометрии Монжа, потому что подобно ей и в одно с нею время они явились как продолжение прекрасных методов Дезарга и Паскаля и значительно содействовали новым теориям и открытиям в геометрии. Из того, [241]что мы сказали ранее о методах Дезарга и Паскаля, уже можно было предвидеть высказываемое теперь сближение между доктринами и сочинениями четырех названных великих геометров, — сближение, которым указывается, нам кажется, истинная связь между идеями, руководившими развитием геометрии.
Считаем не лишним прибавить еще несколько слов, чтобы разъяснить подробнее наше мнение об этом предмете и оправдать только что высказанное сближение.
21. Два рода методов в рациональной геометрии. Фигуры, рассматриваемые в геометрии, и их части представляют соотношения двоякого рода: одни — касаются формы и положения фигур и называются начертательными; другие — относятся к величине или размерам фигур и называются метрическими.
Положим, например, что мы вращаем секущую в плоскости конического сечения около неподвижной точки и при каждом её положении проводим касательные к кривой в точках её пересечения с вращающеюся прямою: точки пересечения каждой пары касательных будут лежать на одной и той же прямой, именно на поляре неподвижной точки. Вот начертательное свойство конического сечения и начертательное соотношение между точкою и её полярой.
Если теперь на секущей в каждом её положении определим точку гармонически сопряженную с неподвижной точкой относительно двух точек встречи секущей с кривою, то гармонически сопряженная точка будет лежать на поляре неподвижной точки. Это — метрическое свойство конического сечения и метрическое соотношение между точкою и её полярой.
Как начертательные, так и метрические свойства бывают в отдельности достаточны для решения множества вопросов. Но всегда полезно, а часто и необходимо, рассматривать в одно время и те и другие. Наука о пространстве [242]должна включать их в себе безразлично; иначе она была бы неполна.
Отсюда ясно вытекает существование двух методов в рациональной геометрии, или по крайней мере двух отделов одного общего метода: метод соотношений начертательных и метод соотношений метрических. Дезарг, Паскаль, Де Лагир и Ле Пуавр употребляли оба метода, т. е. пользовались и теми и другими соотношениями фигур, именно — начертательными при преобразованиях фигур посредством перспективы, метрическими же — при частом употреблении гармонической пропорции, инволюционного соотношения и других предложений, относящихся к теории трансверсалей.
Допустив такое различие, мы убеждаемся, что начертательная геометрия Монжа представляет собою чрезвычайно широкое обобщение первого из сказанных методов, именно метода перспективы, употреблявшегося вышеупомянутыми геометрами для доказательства чисто начертательных свойств фигур: выше мы показали, что перспектива действительно может служить для этого употребления, и, говоря тогда пространно о её приложениях к этого рода вопросам, имели в виду оправдать именно теперешние наши слова.
Что касается теории трансверсалей, сперва заключавшейся в Géométrie de Position, a потом изложенной в особом сочинении, то мы уже говорили и доказали, что её основные начала и многие из главных её предложений лежали в основании открытий Дезарга и Паскаля; поэтому мы должны смотреть на теорию трансверсалей, как на развитие и осуществление начал, которыми пользовались эти два великие геометра.
Таким образом можно сказать, что способы Монжа и Карно являются в рациональной геометрии как обобщение и непосредственное усовершенствование методов Дезарга и Паскаля; что это — две отрасли одного общего метода, имеющие каждая свои собственные преимущества, но которые не должны быть разделяемы при всестороннем изучении [243]свойств пространства. Напротив того, было бы в высшей степени выгодно развивать их одновременно и, так сказать, параллельно; они помогали бы друг другу и развитие науки шло бы от этого полнее и быстрее[8]. Монж и из учеников его преимущественно Дюпен, автор Développements и Applications de Géométrie, дали нам пример такого соответствия двух методов, установив соответствие между логическими приемами чистой геометрии и отвлеченным и символическим языком алгебры.
22. Мы не можем входить здесь в разбор многочисленных и важных предложений, которыми изобилуют оба сочинения Карно; ограничимся указанием на прекрасное общее свойство геометрических кривых, какой угодно степени, относительно отрезков, образуемых такою кривою на сторонах многоугольника, лежащего в её плоскости; это свойство представляет распространение теории трансверсалей на кривые высших порядков и из него, как частный случай, получается третья теорема Ньютона о произведения отрезков, образуемых кривою на параллельных секущих.
Различные сочинения по геометрии. Перейдем
к сочинениям, которые после сочинений Монжа и Карно [244]были наиболее полезны для науки. Таковы по нашему мнению следующие:
Интересный опыт геометрии линейки под заглавием: Solutions peu connues de differens problèmes de Géométrie pratique, de Servois (in—8°, an XII); здесь Сервуа соединяет важнейшие теоремы теории трансверсалей и показывает применение их как к рациональной геометрии при доказательстве предложений, так и к геометрии практической при решении на поверхности почвы различных задач, преимущественно военных.
Développement и Applications de Géométrie de M. Ch. Dupin, где в первый раз исследованы чисто геометрическим путем трудные вопросы о кривизне поверхностей, для решения которых Эйлер и Монж должны были прибегать к высшему анализу.
Eléments de Géométrie à trois dimensions de Hachette (часть синтетическая), где посредством соображений чисто-геометрических разрешены во всей общности многие вопросы о касательных и соприкасающихся кругах в кривых линиях, — вопросы, которые до тех пор решались только аналитически.
Mémoire sur les lignes du second ordre de Brianchon, где в первый раз из знаменитой теоремы Дезарга о инволюции шести точек выведены многочисленные свойства конических сечений.
Mémoire sur l'application de la théorie des transversales того же автора[9]. [245]
de Poncelet имеет целью, как видно из заглавия, изыскание таких свойств, которые сохраняются при преобразовании фигур посредством перспективы; искусно пользуясь тремя могущественными орудиями: началом непрерывности, теориею взаимиых поляр и теориею гомологических фтур двух и трех измерений, ученый автор сумел доказать, без одной буквы вычисления, все известные свойства линий и поверхностей второго порядка и еще большое число новых, из которых многие уже рассматриваются как наиболее важные предложения этой богатой теории.
Различные мемуарн Жергонна, Кетле, Данделена и других геометров, появившиеся в ученых журналах[10], [246]также содействовали развитию науки и обогатили ее драгоценными открытиями.
Индекс в Викитеке