Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов/Новейшие методы в геометрии

Пятая эпоха:
Новейшие методы в геометрии
автор Мишель Шаль, пер. В.Я. Цингер

Оригинал: фр. Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en Géométrie particulièrement de celles qui se rapportent à la Géométrie moderne. — Из цикла «Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов». Перевод созд.: 1829-1835 гг., опубл: 1837, перев. 1870-83 гг. Источник: Сканы, размещённые на Викискладе

Пятая эпоха, n° 23-40.

23. Новейшие методы в геометрии. Все перечисленные нами сочинения доставляют многочисленные и убедительные доказательства того, что чистая геометрия в себе самой может почерпать бесконечное разнообразие приемов и методов; в этих сочинениях появились те простые и плодотворные истины, которые одни могут свидетельствовать о совершенстве науки и быть её действительными основаниями, — появились теории, зародыш которых в продолжении веков скрывался незамеченным в трудах прежних геометров; эти теории развились быстро и легли в основание методов новейшей геометрии.

Мы различаем между этими методами:

Во-первых, теорию транверсалей, которой основная теорема о треугольнике пересеченном транверсалью восходит до глубокой древности, но которую Карно вызвал к новой жизни, показав всю пользу и плодотворность её и распространив её путем чрезвычайно счастливого обобщения на теорию кривых линий и поверхностей.^[1]

Во-вторых, учение о преобразовании фигур в другие такого же рода, как в перспективе.

Из этого рода методов укажем следующие:

1°. Перспектива, начала которой лежат в основании сочинений Дезарга и Паскаля о конических сечениях и употребление которой с тех пор расширилось и часто повторялось.

2°. Способ, в котором лучи зрения, идущие к различным точкам фигуры, увеличиваются в постоянном отношении для получения фигуры подобной и подобно-расположенной.

3°. Способ, в котором ординаты точек фигуры увеличиваются пропорционально, как это делается например при изображении профилей, когда хотят сделать изменения в высоте более наглядными; этот способ употребляли Дюрер^[2], Порта^[3], Стевин, Мидорж и Григорий С. Винцент для получения эллипса из круга^[4].

4°. Способ, в котором все ординаты фигуры, оставаясь параллельными, наклоняются обращением около их оснований на плоскости проекций; этот прием употребляется преимущественно в архитектуре при построении мостов^[5].

5°. Способ построения барельефов, указанный Боссом и Петито^[6]; и также способ, предложенный позднее Брейзигом (Breysig) в его теории перспективы для живописцев (in-8°, Магдебург, 1798)^[7].

6°. Споcоб planiconiques Де Лагира и способ Ле Пуавра, которые оба имеют предметом черчение на плоскости основания конуса тех же кривых, которые получаются на самом конусе от пересечения его плоскостями.

7°. Способ Ньютона для преобразования фигур в другие того же рода, заключающийся в 22-й лемме первой книги Principia, впоследствии обобщенный Варингом^[8]. 8° Способ, с помощью которого мы распространили на эллипсоид свойство сферы и который заключается в том, что координаты точек данной фигуры увеличиваются в постоянных отношениях (Correspondance sur l'école polytechnique, t. III, p. 326)^[9].

Прибавление. Клеро еще прежде исследовал кривые, названные Эйлером lineae affines: он рассматривал их как проекции одна другой, т. е. как плоские сечения одного цилиндра, и назвал кривыми одного рода (de même espèce). Он показал, что если $x,y$ будут координаты точки одной кривой относительно осей в её плоскости, то координаты для другой кривой относительно осей, взятых в её плоскости соответственно первым осям, будут вида $X=\lambda x$, $Y=\lambda y$. Это доказывает, что кривые Клеро — тоже что и кривые Эйлера (См. Mémoires de l'Académie des sciences de Paris, 1731).

9°. Наконец, прекрасная теория гомологических фигур или перспективы-рельефа, данная Поеселе, она совпадает со способами Де Лагира и Ле Пуавра в случае плоских фигур, но до Понселе не была распространена на фигуры трех измерений^[10]. Все эти разнообразные способы мы соединяем в одну группу и ниже покажем, что все они, также как и перспектива в собственном смысле, вытекают из одного общего основного принципа, представляя его частные применения.

В третьих, теория взаимных поляр, которую ученики Монжа почерпнули из драгоценных уроков этого знаменитого профессора, которая сначала применялась только к таким преобразованиям, где прямым соответствуют точки, a точкам — прямые (см. Прим. XXVI), и на которую Понселе привлек всё внимание геометров, применив ее к преобразованию метрических и угловых соотношений.

В четвертых, учение о стеографических проекциях; сначала оно относилось только к сфере и служило для черчения географических карт; обогатившись потом одною новою теоремой, оно распространилось вообще на поверхности второго порядка и в настоящее время представляет простое и удобное средство для изысканий^[11]. Мемуары Брюссельской Академии содержат особенно много удачных приложений этой изящной теории, сделанных Кетле и Данделеном.

24. Таковы четыре обширные группы, в которые по нашему мнению можно при современном состоянии геометрии, рассматривая методы с философской точки зрения, соединить большинство новейших многочисленных открытий. К пятой группе можно отнести еще некоторые частные и специальные теории, основанные на чисто-геометрических началах. Таковы, между прочим, теория Сопряженных касательных Дюпена, из которой автор извлек весьма полезные теоретические и практические приложения, и новая теория каустических линий, в которой Кетле свел на немногие принципы начальной геометрии эту важную и трудную часть оптики, не поддававшуюся всем средствам анализа.

Эти теории, которые на первый взгляд кажутся чуждыми перечисленным выше методам, с некоторых точек зрения могут связываться с ними и могут в них находить полезную помощь. Любопытные сближения, которые Кетле делает между своею теориею каустических линий и теорию стереографических проекций, служат этому первым доказательством; другие доказательства мы будем иметь случай сообщить в другом месте^[12].

25. Усовершенствование новых методов. Основательное изучение современного состояния чистой геометрии оправдывает предложенное нами систематическое деление, но в то же время оно в виду недостатка общности и определенного характера во множестве теорем, относящихся к указанным методам, обнаруживает, что самые эти методы не достигли еще в желаемой степени общности, плодотворности и силы.

Так например способы, заключающиеся во второй и третьей группе нашего деления, имеют общее и удобное применение к изысканию и доказательству начертательных свойств фигур, но до сих пор они имели только весьма ограниченное приложение к метрическим соотношениям (к определению величины линий, поверхностей и объемов). Не заставляет ли это предполагать в них недостаток некоторого принципа, который сделал бы их приложимыми к гораздо более общим, a может быть и ко всякого рода соотношениям?

Очевидно, что эти методы не основываются еще на достаточно широких началах. И действительно, мы вправе кажется сказать, что каждый из них допускает весьма широкое обобщение.

26. Теория трансверсалей. Прежде всего, теория трансверсалей может быть обогащена новыми принципами, которые сделают ее способной к новым применениям и дадут ей возможность в тысяче случаев заменять анализ Декарта, преимущественно при изучении общих свойств геометрических кривых; даже в теперешнем своем состоянии она может быть полезна во многих вопросах, к которым до сих пор еще не прилагалась, так например в общей задаче о касательных и о радиусах кривизны во всех геометрических кривых, — задача, решение которой мы дали в Bulletin universel des sciences (juin, 1830)^[13]

27. Стереографические проекции. Учение о стереографических проекциях, уже расширенное применением ко всем поверхностям второго порядка, способно к дальнейшему обобщению, состоящему в том, что точка зрения может быть помещена не на поверхности сферы, a в какой угодно точке пространства, или даже в бесконечности.

При этом плоские сечения поверхности второго порядка уже не будут давать в проекции подобные и подобно-расположенные коническия сечения, или коническия сечения, имеющие общую ось подобия (axe de symptose); зависимость между этими кривыми будет иметь более сложное выражение; они будут иметь двойное прикосновение (действительное или мнимое) с коническим сечением, представляющим видимый перспективный контур поверхности второго порядка (это коническое сечение само может быть мнимым).

Эта теорема предложена в Traité des propiétés projectives (n° 610) и Понселе показал применение её к изучению свойств системы конических сечений, имеющих двойное прикосновение с данным. Если к этой теореме присоединить, как в теории обыкновенной стереографической проекции, другую теорему о проекциях вершин конусов, огибающих поверхность второго порядка, то получится новая теория, представляющая поле для неисчерпаемых и интересных изысканий, — теория, при помощи которой будет разрешено множество вопросов о построении конических сечений при различных условиях. (См. Примечание XXVIII).

28. Способы преобразования фигур. Способы, соединенные нами во вторую группу, по-видимому чужды один другому и назначены для различных практических применений; но если смотреть на них как на способы преобразования фигур, то все они могут быть сведены к одному, заменяющему их вполне, принципу преобразования; этот принцип, по нашему мнению, представляет новое учение в высшей степени важное, допускающее более широкое и удобное употребление, чем все эти различные способы. Оно может быть основано на одной теореме, на которую мы смотрим как на последнее обобщение и как на первоначальный источник всех принципов, породивших вышеперечисленные методы. Прибавим, что все другие подобные методы преобразования фигур в другие того же рода, которые могут быть открыты впоследствии, будут не более как выводы из этой единственной теоремы.

29. Взаимные поляры и другие подобные методы. Начало двойственности. Что касается теории взаимных поляр, служащей для преобразования фигур в другие разнородные с ними (в них плоскости и точки соответствуют точкам и плоскостям данных фигур) и для превращения свойств данных фигур в свойства фигур преобразованных, в чем и выражается постоянная двойственность форм и свойств пространства, — то мы уже высказали (Annales de Mathématiques, t. XVIII, p. 270), что эта теория не есть единственный способ для этой цели: существует много других способов, обнаруживающих ясно ту же двойственность и столь же удобных для приложений.

Так, двойственность уже два века тому назад^[14] была усмотрена в геометрии сферы, где каждая фигура имеет свою дополнительную (supplémentaire), в которой дуги больших кругов соответствуют точкам первоначальной фигуры и дуги эти проходят через одну точку, если точки первоначальной фигуры лежат на одном большом круге; эта двойственность на сфере с совершенною очевидностью обнаруживает также двойственность и плоских фигур и дает очень удобное средство для преобразования их.

Действительно, представим себе на сфере какую-нибудь фигуру и её дополнительную (т. е. фигуру, огибающую дуги больших кругов, плоскости которых перпендикулярны к радиусам, проведенным в точки первой фигуры); сделаем перспективу обеих фигур на плоскость, поместив глаз в центре сферы; в перспективе получаем две взаимные фигуры и в них закон двойственности очевиден.

Но нетрудно видеть, что такое преобразование плоской фигуры может быть выполнено прямо в её плоскости без пособия вспомогательной сферы. Действительно, перпендикуляры, опущенные из каждой точки начальной фигуры на соответственные этим точкам прямые второй фигуры, проходят через одну и ту же точку, именно чрез ортогональную проекцию центра сферы на плоскости фигуры; в этой точке каждый перпендикуляр делится на два отрезка, произведение которых постоянно, ибо оно равно квадрату расстояния центра сферы от плоскости фигуры. Следовательно для получения взаимной фигуры достаточно через неподвижную точку в плоскости данной фигуры провести прямые в каждую её точку, отложить на продолжении этих прямых, считая от неподвижной точки, отрезки обратно пропорциональные длине первых прямых и в конце этих отрезков провести к ним перпендикуляры. Эти перпендикуляры будут соответствовать точкам данной фигуры и будут огибать взаимную фигуру.

30. Ясно, что такой способ преобразования фигур прилагается и к фигурам трех измерений. Мы выражаем его следующим образом.

Пусть дана фигура в пространстве; через произвольно взятую неподвижную точку проводим во все точки этой фигуры прямые линии и на них (или на их продолжении по другую сторону от неподвижной точки) откладываем отрезки обратно-пропорциональные длине этих линий; через концы отрезков проводим плоскости перпендикулярные к направлению отрезков; эти плоскости будут огибать другую фигуру, которая будет взаимная данной в том смысле, как это понимается в учении о двойственности. Т. е. плоскостям данной фигуры будут соответствовать точки новой фигуры, и если плоскости проходят чрез одну точку, то соответственные им точки будут лежат в одной плоскости.^[15]

Когда обратно-пропорциональные величины откладываются на самых прямых, проводимых из неподвижной точки к точкам данной фигуры, то перпендикулярные плоскости в концах отрезков будут полярные плоскости точек данной фигуры относительно некоторой сферы, имеющей центр в неподвижной точке.

Наш способ преобразования обнимает собою таким образом теорию взаимных поляр относительно сферы; он даже общее этой теории, потому что в ней полярные плоскости проходят всегда между соответственными им точкам данной фигуры и центром сферы, тогда как в нашем способе преобразования плоскости могут проходить и по другую сторону неподвижной точки, представляющей собою центр.^[16]

Нам казалась достойною внимания эта указанная нами тесная связь между теориею взаимных поляр, появившеюся весьма недавно, и двойственностью сферических фигур, которая известна и употребительна уже около двух столетий.

31. Перейдем к другим способам преобразования. Из них два основываются, подобно предыдущему, на известных уже теориях. Первый содержится в той поризме Евклида, которую мы изложили, говоря о Математическом Собрании Паппа (1-я эпоха, n° 31, в выноске): в этой поризме для всякой точки плоской фигуры строится соответственная прямая и легко видеть также, что, если точки первой фигуры находятся на одной прямой, то соответственные им прямые второй фигуры, будут проходить через одну точку.

Второй способ вытекает из теории взаимных кривых и поверхностей; аналитическое изложение этой теории дано Монжем (См. Примечание XXX).

32. Можно представить себе еще другие способы преобразования.

Представим себе, например, в пространстве трехгранный угол и треугольник, помещенный в плоскости, проведенной чрез вершину этого трехгранного угла; через каждую точку данной фигуры в пространстве проводим три плоскости через стороны треугольника; эти плоскости пересекутся с соответственными ребрами трехгранного угла в трех точках, определяющих плоскость; построенные таким образом плоскости будут огибать новую фигуру, которая будет находиться с данною в соотношении двойственности.

Сообщим данной в пространстве фигуре какое-нибудь бесконечно малое перемещение и проведем во всех точках нормальные плоскости к траекториям; эти плоскости будут огибать вторую фигуру, находящуюся с первой в соотношении двойственности, таком же как и предыдущий случай.

Положим, что на данную в пространстве фигуру действуют различные силы; через каждую точку проводим главную плоскость сил по отношению к этой точке; такие плоскости будут огибать новую фигуру, взаимную относительно первой в таком же смысле как в предыдущих случаях.

33. Первый из этих способов преобразования, в котором употребляется трехгранный угол, имеет себе соответственный способ на плоскости, именно вышеприведенную поризму Евклида. Два остальные способа не имеют соответствующих на плоскости, но тем не менее могут служить для преобразования плоских фигур. Действительно, пусть дана фигура на плоскости; сообщим плоскости этой бесконечно малое перемещение в пространстве; нормальные плоскости к траекториям различных точек фигуры будут огибать коническую поверхность (вершина которой находится в плоскости фигуры)^[17] и произвольная секущая плоскость пересечется с этою коническою поверхностью по фигуре, взаимной относительно данной.

Таким же образом можно для преобразования плоских фигур пользоваться всяким преобразованием в пространстве, не имеющим себе соответствующего в плоскости.

34. Самый общий принцип преобразования. Мы могли бы указать еще несколько других частных приемов преобразования, которые, подобно предыдущим, могут на плоскости или в пространстве служит для того же назначения, как и теория взаимных поляр.

Но все эти способы, также как и способы видоизменения (déformation), о котором мы говорили выше, могут быть заменены единственным принципом, более общим и обширным, чем каждый из них. Этот принцип, содержащий в себе всё учение о преобразовании (transformotion) фигур, вытекает из одной элементарной теоремы, в которой по нашему мнению первоначально заключается свойство двойственности присущее пространственным формам, — свойство, о котором ученые геометры хотя уже писали и глубоко философски взглянули на этот отдел геометрии, но не восходили еще до основного принципа, независимого от всякой частной теории.

35. Частный характер теории взаимных поляр. Некоторыми соображениями об этом принципе преобразования и о теории взаимных поляр мы поясним теперь, в каком смысле упоминаемый принцип имеет более общности, нежели эта теория.

Фигуры, рассматриваемые в преобразовании этого рода, обладают свойством взаимности, заключающемся в том, что каждой точке данной фигуры соответствует плоскость в преобразованной и, взаимно, каждой точке преобразованной фигуры соответствует плоскость данной. Это вытекает из единственного требования при построении второй фигуры, именно: чтобы плоскости этой фигуры, соответствующие точкам данной, лежащим в одной плоскости, необходимо проходили через одну точку. В этом и состоит взаимное соответствие между точкою второй фигуры и плоскостью первой.

В этом условии заключается всё учение о взаимном преобразовании, потому что этим оно отличается от бесчисленного множества других способов преобразования, в которых плоскостям соответствуют точки, или же точкам — плоскости, но в которых оба эти обстоятельства не имеют места в одно и тоже время; условие это выполняется в теории взаимных поляр, так как здесь полярные плоскости точек одной и той же плоскости проходят через одну точку (или, другими словами, если вершины конусов описанных около поверхности второго порядка лежат в одной плоскости, то плоскости кривых прикосновения проходят через одну точку). Вот почему теория поляр является средством для взаимного преобразования фигур и обнаруживает свойство двойственности пространства.

Но в этой теории есть частная особенность: в ней, точке, через которую проходят плоскости первой фигуры, соответствует на второй именно та плоскость, в которой лежат точки, соответственные этим плоскостям, т. е. полярная плоскость. Таким образом здесь первая фигура может быть построена из второй точно также, как вторая строится из первой. Здесь мы встречаем следовательно совершенную взаимность, или лучше сказать полное тождество в построении обеих фигур.

Так как до сих пор теория взаимных поляр была единственным средством для взаимного преобразования фигур, то можно было думать, что вышеупомянутое согласие или полная взаимность форм есть следствие тождества в построении их по этому способу. Но это была бы большая ошибка. Тождество построения есть случайное обстоятельство, свойственное теории взаимных поляр и встречающееся также в некоторых других приемах преобразования; но не оно порождает двойственность пространства; этого тождества нет во многих способах взаимного преобразования, между прочим и в том, который, как мы покажем, заключает в себе все другие как следствия или как частные случаи. Поэтому мы совсем не пользуемся этим тождеством построения и устраняем его в нашем изложении учения о преобразовании, как обстоятельство частное и случайное.

36. Частный характер некоторых других способов преобразования. В способе преобразования посредством бесконечно-малых движений встречаем опять тождество построения, также как и в теории поляр: здесь плоскости нормальные к траекториям точек первой фигуры огибают такую вторую фигуру, что если ей сообщить такое же движение, как первой, то плоскости нормальные к её траекториям огибали бы первую фигуру.

Подобная же взаимность имеет место в фигурах, для преобразования которых рассматривается система сил.

Но не то будет в преобразовании при помощи трехгранного угла. Если точка описывает какую-нибудь фигуру, то соответственная ей плоскость, построенная, как было выше показано, при помощи трехгранного угла, огибает вторую, соответственную или производную, фигуру. Но, если точка будет описывать эту вторую фигуру, — подвижная плоскость не будет уже огибать первую фигуру, как в теории поляр или в преобразовании посредством бесконечно-малого перемещения; она будет огибать третью фигуру, совершенно отличную от первой. Только в частном случае, когда вершины треугольника лежат в плоскостях граней трегранного угла, будет иметь место тождество построения, т. е. третья фигура не будет отличаться от первой.

В преобразовании плоских фигур на основании поризмы Евклида тождества никогда быть не может. Когда точка описывает данную фигуру, соответствующая прямая огибает вторую, производную, фигуру; но, если точка будет описывать вторую фигуру, то соответствующая прямая будет огибать новую фигуру, всегда отличающуюся от первой.

Впрочем всегда можно по данному способу преобразования первой фигуры во вторую найти такой другой способ, посредством которого вторая фигура воспроизводит первую. В частных случаях, представляемых теориею поляр, способом бесконечно малого перемещения данной фигуры и пр. Эти два обратные способа преобразования, вообще различные между собою, становятся совершенно одинаковыми. Нами даны общие соотношения между такими двумя обратными способами, так что, зная один, можно определить другой.

37. Теория поляр не есть самый общий способ преобразования. Мы высказали эти, может быть слишком подробные, соображения с целью утвердить в уме читателя мысль, что двойственность пространства ни коим образом не проистекает из особенностей построения, которые, как могло казаться судя по теории поляр, составляют по-видимому отличительный характер преобразований обнаруживающих эту двойственность.

Из наших соображений следует также, что теория взаимных поляр не есть наиболее общий способ преобразования. Впрочем, если бы мы имели в виду обнаружить только эту истину, то нам было бы достаточно сказать, что в общем способе преобразования, обнимающем все другие, можно для построения фигуры взаимной с данною фигурой выбрать произвольно в пространстве пять плоскостей соответствующих пяти данным точкам первой фигуры; тогда как в способе взаимных поляр две взаимные фигуры связаны между собою более тесными условиями. Действительно, рассматривая два тетраэдра, в которых вершинам одного соответствуют грани другого, увидим, что четыре прямые, соединяющие вершины первого тетраэдра с соответственными вершинами второго, — т. е. с вершинами противоположными соответственным граням, — всегда представляют четыре образующие гиперболоида с одною полостью, принадлежащие к одному роду образования поверхности^[18].

Другие способы преобразования представляют точно также некоторые частные соотношения между взаимно соответственными фигурами, но не такие, как только что указанные нами в полярно-взаимных фигурах.

Так, в преобразовании посредством бесконечно-малого перемещения обнаруживается, что две какие угодно прямые с двумя их производными должны быть образующими одного рода на поверхности гиперболоида.

38. Преобразование метрических и угловых соотношений. До сих пор мы говорили только о начертательных соотношениях взаимно соответственных фигур и о соотношениях, зависящих только от их положения; но необходимо рассмотреть также зависимость между их метрическими и угловыми размерами. Этого рода соотношения входят в изложение теорем, зависящих от размеров фигур.

Общие выражения зависимости между размерами первоначальной и взаимно соответственной фигур, вытекают из очень простого принципа, который не употреблялся в теории поляр, вследствие чего эта теория, получившая весьма общее приложение к преобразованию начертательных свойств, имела очень ограниченное применение к соотношениям количественным; не были в употреблении даже все соотношения, которые существуют при преобразовании с помощью поляр, и за недостатком того общего принципа, о котором мы говорим, для преобразования количественных соотношений пользовались только двумя частными случаями способа поляр. Именно, принимали за вспомогательную поверхность или сферу, как Повселе в Mémoire sur la théorie générale des polaires réciproques^[19] и потом Бoбилье^[20], или же — параболоид, как это предложено нами в двух мемуарах Sur la transformation parabolique des relations métriques^[21].

Из этих двух способов преобразования вытекают неодинаковые количественные соотношения между двумя взаимными фигурами. В первом случае соотношение заключается в том, что угол между двумя плоскостями в одной фигуре равен углу между радиусами вспомогательной сферы, проведенными в те точки второй фигуры, которые соответствуют этим плоскостям^[22]; во втором же случае соотношение таково, что отрезок оси вспомогательного параболоида между двумя плоскостями одной фигуры равен ортогональной проекции на эту ось прямой, соединяющей во взаимной фигуре две точки, соответственные этим плоскостям.

Оба эти способа преобразования с одинаковым удобством были приложены ко всем соотношениям, представляющимся в теории трансверсалей. Кроме того, первый прилагался к некоторым особым угловым соотношениям, например к теоремам Ньютона и Маклорена об органическом образовании конических сечений; второй же — к некоторым соотношениям между прямолинейными расстояниями, преимущественно к теориям Ньютона о геометрических кривых, причем мы пришли к совершенно новому роду свойств этих кривых^[23].

39. Кроме указанного различия в общих количественных соотношениях эти два способа взаимного преобразования отличаются также и в соотношениях начертательных, вследствие чего эти способы являются с характером до известной степени частным и ограниченным.

Например, когда за вспомогательную поверхность берется сфера и если в состав первой фигуры входит другая сфера, то ей во взаимной фигуре будет соответствовать поверхность вращения второго порядка, так что общих свойств какой угодно поверхности второго порядка мы этим путем не получаем.

Точно также, при выборе за вспомогательную поверхность параболоида, если преобразуется фигура, в состав которой входит эллипсоид, то во взаимной фигуре ему будет соответствовать всегда гиперболоид, но никогда не эллипсоид. Но важнейшее неудобство заключается не в этом недостатке общности, a в том, что бесконечно удаленным прямым первой фигуры будут здесь соответствовать прямые параллельные оси параболоида и следовательно проходящие через одну и ту же бесконечно-удаленную точку. Таким образом мы получаем свойство различных систем параллельных линий, тогда как при употреблении другой вспомогательной поверхности имели бы вместо этого — свойство прямых, проходящих через одну точку.

Правда, можно затем другим путем (именно с помощью способов второй группы нашего деления) распространить свойства сферы на все поверхности второго порядка и свойства системы параллельных прямых на систему линий, проходящих через одну точку; но это, как в графическом, так и в теоретическом смысле, будет уже не одна, a две различные операции.

40. Общий принцип преобразования, изложенный в нашем мемуаре, за исключением некоторых случаев, где начертательные и количественные соотношения имеют слишком частный характер для его применения, представляет почти всегда, и особенно при исследовании метрических соотношений, не только преимущество большой общности, но и выгоду более удобного и быстрого приложения, чем все частные методы.

Принцип взаимного преобразования (transformation) и принцип видоизменения (déformation), заменяющий собою способы нашей второй группы, — рассматриваемые с такой точки зрения и прилагаемые в своем наиболее общем и отвлеченном значении, оправдывают наставление знаменитого творца Небесной Механики: «Предпочитайте общие способы, старайтесь излагать их по возможности просто, — и вы увидите, что они всегда будут в то же время самые простые»^[24]. Лакруа, с авторитетом, который он имеет в науке по своей громадной опытности и глубоким познаниям, прибавил к этому: «общие способы вместе с тем раскрывают лучше всего истинно - философский смысл науки»^[25].

Примечания

1. Подобная же теорема об отрезках, образуемых на сторонах треугольника прямыми, проведенными из одной точки к вершинам треугольника, относится также к основным теоремам теории трансверсалей. Ее приписывали до сих пор Ивану Бернулли, но она в первый раз была доказана Чевой (См. Прим. VII).
2. Institutiones geometricae. L. I.
3. Elementa curvilinea. L. I.
4. P. Nicolas в сочинении De conchoidibus et cissoidibus exercitationes geometricae (in—4°, Tolosae, 1692) также употреблял этот способ; кривые, получаемые при этом, он называл однородными (homogènes).
5. Ординаты можно в то же время пропорционально увеличивать. Гашетт употреблял такое преобразование в двух предложениях для доказательства, что свойством стереографической проекции сферы могут обладать только поверхноети второго порядка. (См. Correspondance polytechnique, t. I, p. 77).
   Легко видеть, что такое преобразование может быть приведено к изменению в постоянном отношении ординат поверхности, имеющих неизменное направление.
6. Обыкновенно думают, что построение барельефов не подчиняется точным правилам; два века тому назад большинство художников думали то же самое о перспективе. Однако Босс дал несколько геометрических правил построения барельефа, как это видно из его сочинения Traité des pratiques géométrales et perspectives (in—8°, 1665). В одном месте этого сочинения сказано, что Дезарг, которому принадлежит честь введения в стронтельное искусство геометрических начал со всею их строгостию, прилагал свой способ перспегтивы к построению барельефов. Позволительно думать, что Босс передает нам идеи Дезарга или даже самый прием его.
   Далее встречаем подобные же правила для барельефов в трактате о перспективе Петито, под заглавием: Raisonnement sur la perspective, pour en faciliter l'usage aux artistes; in—fol. Парма, 1758 (по-французски и по-итальянски).
   Правила построения барельефов представляют преобразование фигур в другие такого же рода и потому должны быть включены в наше перечисление методов. Правда, что они почти никому неизвестны и никогда не употреблялись в рациональной геометрии для изыскания и доказательства свойств фигур; тем не менее они могут служить для такого назначения.
7. Сочинение Брейзига известно нам только по заглавию, упоминаемому Понселе (Crelle's Journal, t. 8, p. 397); но мы без колебаний относим содержащееся там построение рельефов к числу способов преобразования фигур трех измерений в другие того же рода, потому что Понселе заявляет, что приемы автора согласны с его собственными способами построений этого рода.
8. Варинг употребляет соотношения

   $x={\frac {px'+qy'+r}{Ax'+By'+C}},\quad y={\frac {Px'+Qy'+R}{Ax'+By'+C}}$,

   в которых $x,y$ суть координаты точки данной кривой, a $x',y'$ координаты точки кривой преобразованной. Он дает это преобразование как обобщение Ньютонова преобразования, в котором

   $x={\frac {r}{x'}},\quad y={\frac {Qy'}{x'}}$

   (Principia, lib. I, lemma 22), и ограничивается указанием, что новая кривая будет той же степени как и данная (Miscellanea analytica, p. 82; Proprietates curvarum algebraicarum, p. 240).
   Мы докажем, что построенные таким образом кривые, также как и кривые Ньютона, могут быть получены посредством перспективы; таким образом обобщение Варинга касается только положения новой кривой относительно данной, но не касается ни формы, ни отличительных особенностей её.
9. Эйлер указал этот способ преобразования для плоских кривых, но без приложений: по его выражению кривые, получаемые таким образом одна из другой, находятся в сродстве (affinitas) и он называет их lineae affines. (Introductio in analysin infinitorum, lib II, art 442).
10. В недавнее время Ле Франсуа воспользовался теориею гомологических фигур для преобразования некоторых кривых третьего порядка, преимущественно фокальных линий Кетле и Фан-Риса. (Dissertatio inauguralis mathematica de quibusdam curvis geometricis; m—4° Gand. 1830). Прием этого геометра отличается от способа Понселе тем, что для построения гомологических кривых употребляется здесь одно из их метрических соотношений. Это соотношение, именно — гармоническое, не есть самое общее: можно пользоваться отношением ангармоническим, которое сообщает построению фигур более общности. К этому вопросу мы возвращаемся в нашем мемуаре о гомографическом преобразовании.
    Так как главная часть этого мемуара посвящена исследованию метрических соотношений, то мы позволяем себе напомнить здесь, что наш мемуар представлен в Брюссельскую Академию в январе 1830 года, т. е. ранее появления диссертации г. Ле Франсуа, которую мы получили от автора позднее.
11. Теория стереографических проекций сферы в том виде, как она употребляется теперь в чистой геометрии, основывается на двух следующих принципах:
    1. Проекция всякого круга, проведенного на сфере, есть круг.
    2. Центр этого круга есть проекция вершины конуса, огибающего сферу по пролагаемому кругу.
    Вторая теорема, столь же важная как и первая, стала известна только несколько лет тому назад; в первый раз мы высказали и аналитически доказали ее в издании 1817 года Eléments de Géométrie à trois dimensions de Hachette. Потом путем геометрических соображений, мы применили теорию стереографических проекций ко всякой поверхности второго порядка и обобщили эту теорию в двух отношениях: 1°) рассматривая, вместо плоских сечений, поверхности второго порядка, вписанные в данную, 2°) принимая за плоскость проекции какую угодно плоскость. (См. Annales de Mathématiques, t. XVIII, p. 305 и t. XIX, p. 157).
12. Так например, Дюпен в своем прекрасном сочинении Théorie géométrique de la courbure des surfaces не вполне освободился от аналитических соображений при доказательстве такого предложения: „Две поверхности второго порядка, которых главные сечения имеют одни и те же фокусы, пересекаются во всех точках под прямым углом". Новейшие методы различным образом ведут к чисто-геометрическому доказательству этой теоремы.
    Чтобы дать пример силы этих методов, скажем, что с помощью их достигается также легко доказательство следующего гораздо более общего предложения: Если главные сечения двух поверхностей второго порядка имеют одни и те же фокусы, то контуры, получаемые при рассматривании этих поверхностей из какой угодно точки пространства, пересекаются между собою под прямыми углами.
    Прибавим еще, что прекрасные результаты, заключающиеся в мемуаре Бине Sur les axes conjugués et les moments d'inertie des corps (Journal de l'école polytechnique, 16-e cahier), где автор пользуется вышеупомянутою теоремою Дюпена, и подобные же результаты, полученные Ампером в мемуаре: Quelques propriétés nouvelles des axes permanents de rotation des corps, — все эти прекрасные открытия, причисляемые к области механики и сделанные авторами при помощи анализа, могут также быть получены путем чисто-геометрическим; следует, может быть, признать, что такой путь естественнее соединяет эти разнообразные открытия с истинами, лежащими в их основе, лучше указывает связь их между собою и ведет к более удобному и более рациональному изложению их.
    Таким образом геометрия, расширяя свои границы, всегда вносит свой светоч во всякий новый отдел физико-математических наук.
13. Построение касательных. Чтобы определить касательную в точке $m$ геометрической кривой какого угодно порядка, проведем через эту точку по произвольным направлениям две трансверсали $mA,mA'$; составим произведения отрезков, образующихся на этих прямых между точкою $m$ и всеми другими точками пересечения их с кривою; пусть эти два произведения будут $P$ и $P'$.
    Через произвольную точку $u$ проводим две трансверсали, параллельные прямым $mA,mA'$; составляем произведения отрезков, образующихся на них между точкою $u$ и кривою; пусть эти произведения будут $\Pi$ и $\Pi '$.
    Отложим на прямых $mA,mA'$, начиная от точки $m$, соответственно два отрезка, пропорциональные отношениям ${\tfrac {\Pi }{P}},{\tfrac {\Pi '}{P'}}$: — прямая, соединяюшая концы этихь отрезков, будет параллельна касательной в точке $m$.
    Таким образом направлеаие касательной определено.
    Можно также построить прямо направление нормали. Для этого на двух трансверсалях, выходящих из точки $m$, откладываем отрезки пропорциональные отношениям ${\tfrac {P}{\Pi }},\,{\tfrac {P'}{\Pi '}}$; через концы этих отрезков и через точку $m$ проводим круг: центр его будет лежать на нормали к кривой в точке $m$.
    Построение кругов кривизны. Чтобы определить круг кривизны в точке $m$ геометрической кривой, проведем через эту точку касательную к кривой и какую-нибудь трансверсаль $mA$; составим произведение отрезков, заключающихся на этих двух прямых между точкою $m$ и другими ветвями кривой. Пусть $T$ и $P$ будут эти произведения.
    Через произвольную точку $\mu$ проведем две прямые, параллельные касательной и трансверсали; составим произведение отрезков на этих параллелях между точкою $\mu$ и кривою; пусть эти произведения будут $\mathrm {T}$ и $\Pi$.
    Отложим на трансверсали $mA$ отрезок равный ${\tfrac {P}{\Pi }}.{\tfrac {\mathrm {T} }{T}}$: конец этого отрезка будет лежать на искомом круге кривизны.
    Из этого построения следует, что, если означим через $\Theta$ угол между трансверсалью $mA$ и касательной, величина $R$ радиуса кривизны будет: $R={\tfrac {1}{2\sin \Theta }}.{\tfrac {P}{\Pi }}.{\tfrac {\mathrm {T} }{T}}$.
    Если кривая m-ой степени, то произведения $\mathrm {T}$ и $\Pi$ будут состоять из $m$ линейных множителей, $P$ — из $m-1$, a $T$ — из $m-2$. Когда кривая начерчена, то эти множители будут отрезки на трансверсалях; если же кривая дана уравнением, то из вего найдем непосредственно величины четырех произведений $P,T,\Pi ,\mathrm {T}$, как это известно из общей теории уравнений.
    Кривая должна быть начерчена вполне, т. е. со всеми своими ветвями, чтобы число точек пересечения с трансверсалями соответствовало порядку кривой. Если, например, кривая принадлежит к числу линий четвертого порядка, называемых овалами Декарта, то нужно знать и второй сопутствующий овал (compagne), обдадающий теми же свойствами; он не указывается в построениях данных Декартом и другими геометрами, но заключается в том же уравнении (См. Прим. XXI).
    Предыдущие построения могут быть упрощены, потому что вместо четырех попарно параллельных трансверсалей можно провести только три, из которых две должны выходить из рассматриваемой точки кривой, a третья может быть проведена произвольно. Это видоизменение в решении рассматриваемых задач основывается на прекрасном общем свойстве геометрических кривых, данном Карно в Géométrie de position, p. 291.
    Понселе также дает построение касательных к геометрическим кривым в мемуаре, представлевном Парижской Академии Наук в сентябре 1831 года: Analyse des transversales, appliquée à la recherche des propriétés projectives des lignes et surfaces géométriques (Crelle's Journal, t. VII, p. 229).
14. Мы уже говорили [в § II.3], что теорема, на которой основывается двойственность этого рода, дана была Снеллием и что открытие её было подготовлено преобразованием сферических треугольников, которое употреблял Виет при решении некоторых вопросов сферической тригонометрии.
15. Доказательство этой теоремы чрезвычайно просто. Оно изложено в Примечании XXIX.
16. Наше замечание о степени общности теории взаимных поляр относится только к геометрическому, а не аналитическому смыслу этой теории; в аналитическом же смысле радиус сферы, относительно которой берутся поляры, может быть мнимый и тогда полярные плоскости точек данной фигуры будут проходить по другую сторону, относительно точки представляющей центр.
17. Доказательство этой теоремы мы дадим в сочинении о геометрических свойствах движении свободного твердого тела в пространстве.
18. Это потому, что прямые, соединяющие четыре вершины тетраэдра с полюсами противоположных граней, относительно какой угодно поверхности второго порядка, суть образующие одного рода образования гиперболоида с одною полостию.
    Теорема эта, доказанная вами в Annales de Mathématiques t. XIX, p. 76, доставляет множество следствий. Из неё, например, выходит, что четыре перпендикуляра, опущенные из вершин тетраэдра на противоположные грани, суть четыре образующие одного рода образования гиперболоида.
19. Crelle's Journal t. IV. Мемуар этот был представлен Парижской Академип Наук 12-го апреля 1824 г.
20. Annales de Mathématiques, t. XVIII, 1827—1828 г.
21. Correspondence mathématique de Quetelet, t. V et VI.
22. Мемуар Понселе о взаимных полярах.
23. Приведем для примера одно из таких свойств, выражаемое следующею теоремой: Если проведем к геометрической кривой все касательные, параллельные данному направлению, то центр средних расстояний их точек будет находиться в точке, положение которой остается одно и тоже при всяком направлении параллельных касательных. Точку эту мы назвали центром кривой. Тем же свойством обладают и геометрические поверхности.
24. Séances des écoles normales, in—8°, 1800, t. IV, p. 49.
25. Essais sur l'enseignement, 3-e éd. in—8°, 1828.