Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов/Примечание VII/ДО

Примѣчаніе VII. : О сочиненіи Чевы, подъ заглавіемъ: De lineis rectis se invicem secantibus, statica constructio (in — 4°, Milan, 1678).
авторъ Мишель Шаль, пер. В.Я. Цингеръ

Оригинал: фр. Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en Géométrie particulièrement de celles qui se rapportent à la Géométrie moderne, созд.: 1829—1835, опубл: 1837. — Изъ цикла «Историческій обзоръ происхожденія и развитія геометрическихъ методовъ». Перевод опубл.: 1870—83. Источникъ: Индекс в Викитеке

О сочиненіи Чевы, подъ заглавіемъ: De lineis rectis se invicem secantibus, statica constructio (in — 4°, Milan, 1678).

Примѣчаніе къ n° 22, продолженіе Примѣчанія VI

Рис. 1. Теорема Птоломея.

Основная мысль этого сочиненія заключается въ томъ, чтобы пользоваться свойствами центра тяжести системы точекъ въ такихъ вопросахъ, гдѣ разсматриваются отношенія отрѣзковъ, образуемыхъ нѣсколькими пересѣкающимися прямыми, какъ, напримѣръ, во многихъ предложеніяхъ теоріи трансверсалей. Предполагается, что въ точкахъ пересѣченія прямыхъ помѣщены тяжелыя массы, пропорціональныя длинамъ отрѣзковъ; законы равновѣсія рычага ведутъ къ соотношеніямъ между этими массами, а отсюда дѣлается заключеніе объ отношеніяхъ между отрѣзками.

Чтобы доказать, напримѣръ, этимъ путемъ теорему Птоломея, разсмотримъ треугольникъ $ABC$, стороны котораго $AB$, $BC$, $CA$ пересѣчены какою нибудь прямою соотвѣтственно въ точкахъ $c$, $a$, $b$. Положимъ, что въ $a,\,C,\,A$ помѣщены три матеріальныя точки, изъ которыхъ масса первой $a'$ произвольна, массы же $C',\,A'$ двухъ другихъ опредѣлены такъ, чтобы точка $B$ была центромъ тяжести массъ, помѣщенныхъ въ $a$ и $C$, а точка $b$ — центромъ тяжести массъ, находящихся въ $C$ и $A$. Центръ тяжести трехъ массъ будетъ находиться въ точкѣ $c$ пересѣченія прямыхъ $ab$ и $AB$.

Рис. 2. Теорема Чевы.

На основаніи закона статики имѣемъ:

${\frac {aB}{aC}}={\frac {C'}{a'+C'}};\quad C'=A'{\frac {Ab}{Cb}}$.

Вѣсы $a'$ и $C'$ могутъ быть замѣнены однимъ вѣсомъ $a'+C'$, помѣщеннымъ въ $B$; сравнивая его съ $A'$, получимъ:

$a'+C'=A'{\frac {Ac}{Bc}}$

и потому

${\frac {aB}{aC}}={\frac {Ab}{Ac}}{\frac {Bc}{Cb}}$, или $aB.bC.cA=aC.cB.bA$,

что и имѣлось въ виду доказать.

Перейдемъ къ другой теоремѣ. Надобно доказать, что если три прямыя, исходящія изъ вершинь треугольника, проходятъ черезъ одну и ту же точку, то отрѣзки образуемые ими на противоположныхъ сторонахъ, таковы, что произведеніе трехъ изъ нихъ не имѣющихъ общихь конечныхь точекъ, равно произведенію трехъ остальныхъ.

Пусть будетъ $ABC$ треугольникъ, $A\alpha ,\,B\beta ,\,C\gamma$ три прямыя, проходящія черезъ точку $D$ и встрѣчающіяся съ противолежащими сторонами треугольника въ точкахъ $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma$. Помѣстимъ въ $A$ матеріальную точку, масса которой $A'$ произвольна, а въ $B$ и $C$ двѣ другія матеріальныя точки, массы которыхъ $B'$ и $C'$ таковы, что центръ тяжести массъ $A',\,B'$ находится въ $\gamma$, a центръ тяжести массъ $A',\,C'$ — въ $\beta$. Центръ тяжести трехъ массъ будетъ въ точкѣ пересѣченія прямыхъ $B\beta ,\,C\gamma$, т. е. въ $D$. Отсюда слѣдуетъ, что точка $\alpha$ будетъ центромъ тажести массъ $B',\,C'$, такъ что

${\frac {B\alpha }{C\alpha }}={\frac {C'}{B'}}$,

но

${\frac {C'}{A'}}={\frac {A\beta }{C\beta }}$ и ${\frac {B'}{A'}}={\frac {A\gamma }{B\gamma }}$,

слѣдовательно ${\frac {B\alpha }{C\alpha }}{\frac {C\beta }{A\beta }}{\frac {A\gamma }{B\gamma }}=1$, что и требовалось доказать.

Иванъ Бернулли также доказалъ впослѣдствіи эту теорему (Oeuvres, t. IV, pag. 33), но, кажется, не пользовался ею.

Чева, доказавъ эту теорему при помощи статики, даетъ потомъ два другія, чисто геометрическія, доказательства ея, изъ которыхъ одно, по его словамъ, принадлежитъ Караваджіо (Lib. I, prop. 10).

Разсматривая вмѣсто треугольника четыреугольникъ, въ веришнахъ котораго помѣщены матеріальныя точки, Чева получилъ другую теорему, которая также есть одна изъ важнѣйшихъ въ теоріи трансверсалей: плоскость, встрѣчающая четыре стороны косаго четыреугольника, образуетъ на нихъ восемь такихъ отрѣзковъ, что произведеніе четырехъ изъ нихъ, не имѣющихъ общихъ конечныхъ точекъ, равно произведенію четырехъ остальныхъ (Lib. I, prop. 22).

Первая книга оканчивается нѣкоторыми свойствами трехгранной и четырехгранной пирамиды, выведенными посредствомъ того же способа.

Во второй книгѣ находятся различныя свойства прямолинейныхъ фигуръ и кривыхъ втораго порядка, доказанныя при помощи тѣхъ же началъ, какъ и въ первой книгѣ. Приведемъ слѣдующее предложеніе, которое теперь разсматривается, какъ частный случай болѣе общаго свойства коническихъ сѣченій: если коническое сѣченіе вписано въ треугольникъ, то прямыя, проведенныя изъ вершинъ въ точки прикосновеня противоположныхъ сторонъ, пересѣкаются въ одной точкѣ.

Наконецъ въ прибавленіи (appendix), которое Чева предлагаетъ какъ отдѣльное сочиненіе съ содержаніемъ независимымъ отъ предыдущаго, рѣшены посредствомъ весьма глубокомысленныхъ геометрическихъ пріемовъ многіе вопросы о площадяхъ плоскихъ фигуръ, ограниченныхъ дугами различныхъ круговъ, и объ объемахъ и центрахъ тяжести разныхъ тѣлъ, каковы параболоидъ и двухъ родовъ гиперболоиды вращенія.

Немногихъ словъ достаточно, чтобы доказать по способу Чевы одно любопытное и полезное свойство четыреугольника.

Изъ чертежа, которымъ мы только что пользовались, имѣемъ

${\frac {AD}{D\alpha }}={\frac {C'+B'}{A'}}$; но $C'=A'{\frac {A\beta }{C\beta }}$ и $B'=A'{\frac {A\gamma }{B\gamma }}$,

слѣдовательно

${\frac {AD}{D\alpha }}={\frac {A\beta }{C\beta }}+{\frac {A\gamma }{B\gamma }}$.

Разсматривая четыреугольникъ $A\beta D\gamma$ въ которомъ $C$ и $B$ суть точки пересѣченія противоположныхъ сторонъ, мы увидимъ, что это уравненіе выражаетъ слѣдующую теорему:

Во всякомъ четыреугольникѣ діагональ, выходящая изъ какой-нибудь вершины, дѣленная на свое продолженіе до прямой, соединяющей точки встрѣчи противоположныхъ сторонъ, равна суммѣ сторонъ, выходящахъ изъ той же вершины и раздѣленныхъ соотвѣтственно на ихъ продолженія до противоположныхъ сторонъ.

Для этой теоремы существуетъ соотвѣтствующая въ пространствѣ, которую можно доказать подобнымъ же образомъ, разсматривая вмѣсто треугольника тетраэдръ и четыре прямыя, проведенныя изь его вершинъ въ одну и ту же точку; фигура представляетъ тогда восьмиугольный шестигранникъ, противоположныя грани котораго пересѣкаются попарпо по тремъ прямымъ, лежащимъ въ одной плоскости.

Діагональ, выходящая изъ какой-нибудь вершины, дѣленная на свое продолженіе до той плоскости, равна суммѣ прилежащихъ къ той же вершинѣ реберъ, дѣленныхъ соотвѣтственно на ихъ продолженія до той же плоскости.

Этою именно теоремою мы пользовались въ приложеніяхъ новой системы координатъ, изложенной въ Correspondance de M. Quetelet, t. VI p. 86, an. 1830.

Прибавленіе. Когда Примѣчаніе VII о сочиненіи Чевы De lineis reсtis se inviсem secantibus statica constructio было уже напечатано, вышла 24-я тетрадь Journal de l'école Polytechnique, въ которой помѣщенъ мемуаръ Коріолиса Sur la Théorie des momens considérés comme analyse des remontres des lignes droites, посвященный тому же предмету, какъ и сочиненіе Чевы. Коріолисъ доказываетъ здѣсь въ немногихъ словахъ и безъ вычисленій, посредствомъ теоріи моментовъ, рядъ теоремъ въ родѣ тѣхъ, которыя находятся въ теоріи трансверсалей Карно, но гораздо болѣе общихъ. Особенно замѣчательно доказательство двоякаго образованія помощію прямой линіи гиперболоида съ одною полостью.

---