Страница:Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов (Шаль) 2.djvu/35

На основаніи закона статики имѣемъ:

${\frac {aB}{aC}}={\frac {C'}{a'+C'}};\quad C'=A'{\frac {Ab}{Cb}}$.

Вѣсы $a'$ и $C'$ могутъ быть замѣнены однимъ вѣсомъ $a'+C'$, помѣщеннымъ въ $B$; сравнивая его съ $A'$, получимъ:

$a'+C'=A'{\frac {Ac}{Bc}}$

и потому

${\frac {aB}{aC}}={\frac {Ab}{Ac}}{\frac {Bc}{Cb}}$, или $aB.bC.cA=aC.cB.bA$,

что и имѣлось въ виду доказать.

Перейдемъ къ другой теоремѣ. Надобно доказать, что если три прямыя, исходящія изъ вершинь треугольника, проходятъ черезъ одну и ту же точку, то отрѣзки образуемые ими на противоположныхъ сторонахъ, таковы, что произведеніе трехъ изъ нихъ не имѣющихъ общихь конечныхь точекъ, равно произведенію трехъ остальныхъ.

Пусть будетъ $ABC$ треугольникъ, $A\alpha ,\,B\beta ,\,C\gamma$ три прямыя, проходящія черезъ точку $D$ и встрѣчающіяся съ противолежащими сторонами треугольника въ точкахъ $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma$. Помѣстимъ въ $A$ матеріальную точку, масса которой $A'$ произвольна, а въ $B$ и $C$ двѣ другія матеріальныя точки, массы которыхъ $B'$ и $C'$ таковы, что центръ тяжести массъ $A',\,B'$ находится въ $\gamma$, a центръ тяжести массъ $A',\,C'$ — въ $\beta$. Центръ тяжести трехъ массъ будетъ въ точкѣ пересѣченія прямыхъ $B\beta ,\,C\gamma$, т. е. въ $D$. Отсюда слѣдуетъ, что точка $\alpha$ будетъ центромъ тажести массъ $B',\,C'$, такъ что

${\frac {B\alpha }{C\alpha }}={\frac {C'}{B'}}$,

но

${\frac {C'}{A'}}={\frac {A\beta }{C\beta }}$ и ${\frac {B'}{A'}}={\frac {A\gamma }{B\gamma }}$,