усмотрѣна въ геометріи сферы, гдѣ каждая фигура имѣетъ свою дополнительную (supplémentaire), въ которой дуги большихъ круговъ соотвѣтствуютъ точкамъ первоначальной фигуры и дуги эти проходятъ черезъ одну точку, если точки первоначальной фигуры лежатъ на одномъ большомъ кругѣ; эта двойственность на сферѣ съ совершенною очевидностію обнаруживаетъ также двойственность и плоскихъ фигуръ и даетъ очень удобное средство для преобразованія ихъ.
Дѣйствительно, представимъ себѣ на сферѣ какую-нибудь фигуру и ея дополнительную (т.-е. фигуру огибающую дуги большихъ круговъ, которыхъ плоскости перпендикулярны къ радіусамъ проведеннымъ въ точки первой фигуры); сдѣлаемъ перспективу обѣихъ фигуръ на плоскость, помѣстивъ глазъ въ центрѣ сферы; въ перспективѣ получаемъ двѣ взаимныя фигуры и въ нихъ законъ двойственности очевиденъ.
Но нетрудно видѣть, что такое преобразованіе плоской фигуры можетъ быть выполнено прямо въ ея плоскости безъ пособія вспомогательной сферы. Дѣйствительно, перпендикуляры, опущенные изъ каждой точки начальной фигуры на соотвѣтственныя этимъ точкамъ прямыя второй фигуры, проходятъ чрезъ одну и ту же точку, именно чрезъ ортогональную проэкцію центра сферы на плоскости фигуры; въ этой точкѣ каждый перпендикуляръ дѣлится на два отрѣзка, произведеніе которыхъ постоянно, ибо оно равно квадрату разстоянія центра сферы отъ плоскости фигуры. Слѣдовательно для полученія взаимной фигуры достаточно черезъ неподвижную точку въ плоскости данной фигуры провести прямыя въ каждую ея точку, отложить на продолженіи этихъ прямыхъ, считая отъ неподвижной точки, отрѣзки обратнопропорціональные длинѣ первыхъ прямыхъ и въ концѣ этихъ отрѣзковъ провести къ нимъ перпендикуляры. Эти перпендикуляры будутъ соотвѣтствовать точкамъ данной фигуры и будутъ огибать взаимную фигуру.
30. Ясно, что такой способъ преобразованія фигуръ прилагается и къ фигурамъ трехъ измѣреній. Мы выражаемъ его слѣдующимъ образомъ.
усмотрена в геометрии сферы, где каждая фигура имеет свою дополнительную (supplémentaire), в которой дуги больших кругов соответствуют точкам первоначальной фигуры и дуги эти проходят через одну точку, если точки первоначальной фигуры лежат на одном большом круге; эта двойственность на сфере с совершенною очевидностью обнаруживает также двойственность и плоских фигур и дает очень удобное средство для преобразования их.
Действительно, представим себе на сфере какую-нибудь фигуру и её дополнительную (т. е. фигуру, огибающую дуги больших кругов, плоскости которых перпендикулярны к радиусам, проведенным в точки первой фигуры); сделаем перспективу обеих фигур на плоскость, поместив глаз в центре сферы; в перспективе получаем две взаимные фигуры и в них закон двойственности очевиден.
Но нетрудно видеть, что такое преобразование плоской фигуры может быть выполнено прямо в её плоскости без пособия вспомогательной сферы. Действительно, перпендикуляры, опущенные из каждой точки начальной фигуры на соответственные этим точкам прямые второй фигуры, проходят через одну и ту же точку, именно чрез ортогональную проекцию центра сферы на плоскости фигуры; в этой точке каждый перпендикуляр делится на два отрезка, произведение которых постоянно, ибо оно равно квадрату расстояния центра сферы от плоскости фигуры. Следовательно для получения взаимной фигуры достаточно через неподвижную точку в плоскости данной фигуры провести прямые в каждую её точку, отложить на продолжении этих прямых, считая от неподвижной точки, отрезки обратно пропорциональные длине первых прямых и в конце этих отрезков провести к ним перпендикуляры. Эти перпендикуляры будут соответствовать точкам данной фигуры и будут огибать взаимную фигуру.
30. Ясно, что такой способ преобразования фигур прилагается и к фигурам трех измерений. Мы выражаем его следующим образом.
