равенъ углу между радіусами вспомогательной сферы, проведенными въ тѣ точки второй фигуры, которыя соотвѣтствуютъ этимъ плоскостямъ[1]; во второмъ же случаѣ соотношеніе таково, что отрѣзокъ оси вспомогательнаго параболоида между двумя плоскостями одной фигуры равенъ ортогональной проэкціи на эту ось прямой, соединяющей во взаимной фигурѣ двѣ точки, соотвѣтственныя этимъ плоскостямъ.
Оба эти способа преобразованія съ одинаковымъ удобствомъ были приложены ко всѣмъ соотношеніямъ, представляющимся въ теоріи трансверсалей. Кромѣ того, первый прилагался къ нѣкоторымъ особымъ угловымъ соотношеніямъ, напримѣръ къ теоремамъ Ньютона и Маклорена объ органическомъ образованіи коническихъ сѣченій; второй же — къ нѣкоторымъ соотношеніямъ между прямолинейными разстояніями, преимущественно къ теоріямъ Ньютона о геометрическихъ кривыхъ, причемъ мы пришли къ совершенно новому роду свойствъ этихъ кривыхъ[2].
39. Кромѣ указаннаго различія въ общихъ количественныхъ соотношеніяхъ эти два способа взаимнаго преобразованія отличаются также и въ соотношеніяхъ начертательныхъ, вслѣдствіе чего эти способы являются съ характеромъ до извѣстной степени частнымъ и ограниченнымъ.
Напримѣръ, когда за вспомогательную поверхность берется сфера и если въ составъ первой фигуры входитъ другая сфера, то ей во взаимной фигурѣ будетъ соотвѣтствовать поверхность вращенія втораго порядка, такъ что общихъ свойствъ какой угодно поверхности втораго порядка мы этимъ путемъ не получаемъ.
- ↑ Мемуаръ Понселе о взаимныхъ полярахъ.
- ↑ Приведемъ для примѣра одно изъ такихъ свойствъ, выражаемое слѣдующею теоремой: Если проведемъ къ геометрической кривой всѣ касательныя параллельныя данному направленію, то центръ среднихъ разстояній ихъ точекъ будетъ находиться въ точкѣ, положеніе которой остается одно и тоже при всякомъ направленіи параллельныхъ касательныхъ. Точку эту мы назвали центромъ кривой. Тѣмъ же свойствомъ обладаютъ и геометрическія поверхности.
равен углу между радиусами вспомогательной сферы, проведенными в те точки второй фигуры, которые соответствуют этим плоскостям[1]; во втором же случае соотношение таково, что отрезок оси вспомогательного параболоида между двумя плоскостями одной фигуры равен ортогональной проекции на эту ось прямой, соединяющей во взаимной фигуре две точки, соответственные этим плоскостям.
Оба эти способа преобразования с одинаковым удобством были приложены ко всем соотношениям, представляющимся в теории трансверсалей. Кроме того, первый прилагался к некоторым особым угловым соотношениям, например к теоремам Ньютона и Маклорена об органическом образовании конических сечений; второй же — к некоторым соотношениям между прямолинейными расстояниями, преимущественно к теориям Ньютона о геометрических кривых, причем мы пришли к совершенно новому роду свойств этих кривых[2].
39. Кроме указанного различия в общих количественных соотношениях эти два способа взаимного преобразования отличаются также и в соотношениях начертательных, вследствие чего эти способы являются с характером до известной степени частным и ограниченным.
Например, когда за вспомогательную поверхность берется сфера и если в состав первой фигуры входит другая сфера, то ей во взаимной фигуре будет соответствовать поверхность вращения второго порядка, так что общих свойств какой угодно поверхности второго порядка мы этим путем не получаем.
- ↑ Мемуар Понселе о взаимных полярах.
- ↑ Приведем для примера одно из таких свойств, выражаемое следующею теоремой: Если проведем к геометрической кривой все касательные, параллельные данному направлению, то центр средних расстояний их точек будет находиться в точке, положение которой остается одно и тоже при всяком направлении параллельных касательных. Точку эту мы назвали центром кривой. Тем же свойством обладают и геометрические поверхности.
