которыя, какъ могло казаться судя по теоріи поляръ, составляютъ повидимому отличительный характеръ преобразованій обнаруживающихъ эту двойственность.
Изъ нашихъ соображеній слѣдуетъ также, что теорія взаимныхъ поляръ не есть наиболѣе общій способъ преобразованія. Впрочемъ, если бы мы имѣли въ виду обнаружить только эту истину, то намъ было бы достаточно сказать, что въ общемъ способѣ преобразованія, обнимающемъ всѣ другіе, можно для построенія фигуры взаимной съ данною фигурой выбрать произвольно въ пространствѣ пять плоскостей соотвѣтствующихъ пяти даннымъ точкамъ первой фигуры; тогда какъ въ способѣ взаимныхъ поляръ двѣ взаимныя фигуры связаны между собою болѣе тѣсными условіями. Дѣйствительно, разсматривая два тетраэдра, въ которыхъ вершинамъ одного соотвѣтствуютъ грани другаго, увидимъ, что четыре прямыя, соединяющія вершины перваго тетраэдра съ соотвѣтственными вершинами втораго, — т.-е. съ вершинами противоположными соотвѣтственнымъ гранямъ, — всегда представляютъ четыре образующія гиперболоида съ одною полостью, принадлежащія къ одному роду образованія поверхности[1].
Другіе способы преобразованія представляютъ точно также нѣкоторыя частныя соотношенія между взаимно соотвѣтственными фигурами, но не такія, какъ только что указанныя нами въ полярно-взаимныхъ фигурахъ.
Такъ, въ преобразованіи посредствомъ безконечно-малаго перемѣщенія обнаруживается, что двѣ какія угодно прямыя
- ↑ Это потому, что прямыя, соединяющія четыре вершины тетраэдра съ полюсами противоположныхъ граней, относительно какой угодно поверхности втораго порядка, суть образующія одного рода образованія гиперболоида съ одною полостію.
Теорема эта, доказанная вами въ Annales de Mathématiques t. XIX, p. 76, доставляетъ множество слѣдствій. Изъ нея, напримѣръ, выходитъ, что четыре перпендикуляра, опущенные изъ вершинъ тетраэдра на противоположныя грани, суть четыре образующія одного рода образованія гиперболоида.
которые, как могло казаться судя по теории поляр, составляют по-видимому отличительный характер преобразований обнаруживающих эту двойственность.
Из наших соображений следует также, что теория взаимных поляр не есть наиболее общий способ преобразования. Впрочем, если бы мы имели в виду обнаружить только эту истину, то нам было бы достаточно сказать, что в общем способе преобразования, обнимающем все другие, можно для построения фигуры взаимной с данною фигурой выбрать произвольно в пространстве пять плоскостей соответствующих пяти данным точкам первой фигуры; тогда как в способе взаимных поляр две взаимные фигуры связаны между собою более тесными условиями. Действительно, рассматривая два тетраэдра, в которых вершинам одного соответствуют грани другого, увидим, что четыре прямые, соединяющие вершины первого тетраэдра с соответственными вершинами второго, — т. е. с вершинами противоположными соответственным граням, — всегда представляют четыре образующие гиперболоида с одною полостью, принадлежащие к одному роду образования поверхности[1].
Другие способы преобразования представляют точно также некоторые частные соотношения между взаимно соответственными фигурами, но не такие, как только что указанные нами в полярно-взаимных фигурах.
Так, в преобразовании посредством бесконечно-малого перемещения обнаруживается, что две какие угодно прямые
- ↑ Это потому, что прямые, соединяющие четыре вершины тетраэдра с полюсами противоположных граней, относительно какой угодно поверхности второго порядка, суть образующие одного рода образования гиперболоида с одною полостию.
Теорема эта, доказанная вами в Annales de Mathématiques t. XIX, p. 76, доставляет множество следствий. Из неё, например, выходит, что четыре перпендикуляра, опущенные из вершин тетраэдра на противоположные грани, суть четыре образующие одного рода образования гиперболоида.
