исключенія, какія этотъ законъ представляетъ въ другихъ случаяхъ; эти исключенія будутъ совершенно тѣ же, какія встрѣчаются въ самомъ анализѣ. Слѣдуетъ, напримѣръ, быть весьма осторожнымъ, примѣняя этотъ законъ къ изысканіямъ, въ которыхъ при аналитическомъ выраженіи общихъ условій построенія оказывались бы перемѣнными какія-либо величины, кромѣ величинъ и знаковъ коэффиціентовъ при перемѣнныхъ величинахъ; напримѣръ, еслибы мѣнялись знаки показателей у перемѣнныхъ[1]. Нельзя также прилагать этотъ пріемъ къ вопросамъ, которые при аналитическомъ изслѣдованіи приводятъ къ опредѣленнымъ интеграламъ, потому что тогда простая перемѣна знака, составляющая различіе между двумя общими состояніями фигуры, могла бы совершенно измѣнить результаты, данные анализомъ.
Но во всѣхъ геометрическихъ вопросахъ, требующихъ пособія только конечнаго анализа, приложеніе котораго указывается ученіемъ Декарта, мы можемъ имѣть полное довѣріе къ пріему Монжа. Если, напримѣръ, мы разсматриваемъ въ пространствѣ конусъ втораго порядка и сѣкущую плоскость, имѣющую относительно конуса какое угодно положеніе, то существуетъ два различныя положенія плоскости, удовлетворяющихъ въ одинаковой степени условію совершенной общности. Въ одномъ положеніи плоскость пересѣкаетъ конусъ по гиперболѣ, къ которой мы можемъ провести двѣ асимптоты; во второмъ положеніи пересѣченіе происходитъ по эллипсу; и двѣ прямыя, которыя въ первомъ случаѣ были асимптотами гиперболы, становятся во второмъ случаѣ мнимыми. Но тѣмъ не менѣе всякое общее свойство первой фигуры, если оно даже выведено при помощи асимптотъ, будетъ принадлежать и второй фигурѣ; предполагая при этомъ конечно, что выведенное свойство не относится прямо
- ↑ Подобныя изысканія не могутъ, кажется, встрѣчаться въ геометріи. Два общія состоянія фигуры, служащія основаніемъ пріема Монжа, всегда должны различаться, по нашему мнѣнію, при алгебраическомъ выраженіи только различіемъ знаковъ при независимыхъ коэффиціентахъ.
исключения, какие этот закон представляет в других случаях; эти исключения будут совершенно те же, какие встречаются в самом анализе. Следует, например, быть весьма осторожным, применяя этот закон к изысканиям, в которых при аналитическом выражении общих условий построения оказывались бы переменными какие-либо величины, кроме величин и знаков коэффициентов при переменных величинах; например, если бы менялись знаки показателей у переменных[1]. Нельзя также прилагать этот прием к вопросам, которые при аналитическом исследовании приводят к определенным интегралам, потому что тогда простая перемена знака, составляющая различие между двумя общими состояниями фигуры, могла бы совершенно изменить результаты, данные анализом.
Но во всех геометрических вопросах, требующих пособия только конечного анализа, приложение которого указывается учением Декарта, мы можем иметь полное доверие к приему Монжа. Если, например, мы рассматриваем в пространстве конус второго порядка и секущую плоскость, имеющую относительно конуса какое угодно положение, то существует два различные положения плоскости, удовлетворяющих в одинаковой степени условию совершенной общности. В одном положении плоскость пересекает конус по гиперболе, к которой мы можем провести две асимптоты; во втором положении пересечение происходит по эллипсу; и две прямые, которые в первом случае были асимптотами гиперболы, становятся во втором случае мнимыми. Но тем не менее всякое общее свойство первой фигуры, если оно даже выведено при помощи асимптот, будет принадлежать и второй фигуре; предполагая при этом конечно, что выведенное свойство не относится прямо
- ↑ Подобные изыскания не могут, кажется, встречаться в геометрии. Два общие состояния фигуры, служащие основанием приема Монжа, всегда должны различаться, по нашему мнению, при алгебраическом выражении только различием знаков при независимых коэффициентах.
