случаяхъ, — тѣ свойства, которыя мы назвали выше существенными, или главными частями фигуры, тогда какъ второстепенныя или случайныя свойства могутъ при извѣстныхъ состояніяхъ фигуры исчезать и дѣлаться мнимыми.
Теорія круга на плоскости представляетъ примѣръ установленнаго нами различія между случайными и постоянными свойствами фигуры. Въ системѣ двухъ круговъ существуетъ одна прямая линія, имѣющая важное значеніе во всей теоріи круга. Когда два круга пересѣкаются, то эта прямая есть ихъ общая хорда и этого обстоятельства достаточно для изслѣдованія и построенія ея; но это есть именно одно изъ свойствъ, которыя мы назвали случайными. Если два круга не пересѣкаются, то свойство это исчезаетъ, но прямая, не смотря на это, существуетъ, и ея разсмотрѣніе въ высшей степени полезно для теоріи круга. Поэтому мы должны опредѣлить и построить эту прямую на основаніи какого нибудь другаго ея свойства, которое имѣло бы мѣсто при всевозможныхъ состояніяхъ нашей фигуры, т.-е. при всевозможныхъ положеніяхъ двухъ круговъ. Такое свойство будетъ постояннымъ. Руководясь этою мыслію, Готье[1] назвалъ такую прямую не общею хордою, a радикальною осью двухъ круговъ; выраженіе это взято отъ того постояннаго свойства, что касательныя, проведенныя изъ каждой точки этой прямой къ обоимъ кругамъ, равны между собою, такъ что каждая точка ея есть центръ круга, пересѣкающаго данные круги подъ прямыми углами[2].
- ↑ Journal de l'école polytechnique. 1813. Тетр. 16.
Прекрасный мемуаръ Готье (Gaultier) заключаетъ въ себѣ первое совершенно общее рѣшеніе задачи о прикосновеніи круговъ и шаровъ; рѣшеніе это позволяетъ предполагать, что круги обращаются въ точки, или прямыя линіи, a шары — въ точки или плоскости. - ↑ По причинѣ этого же свойства Штейнеръ назвалъ эту прямую dіе Linie der gleichen Potenzen (См. Journal von Сrelle, t. I и Annales de Gergonne, t. XVII, p. 295).
Прямая эта обладаетъ, какъ извѣстно, еще многими другими замѣчательными постоянными свойствами, которыя достаточны для ея построенія и которыя могли бы также служить для ея опредѣленія. Если напримѣръ проведемъ кругъ, пересѣкающій оба данные круга, то хорды пересѣченія встрѣчаются на этой прямой.
Если черезъ изъ одинъ центровъ подобія двухъ круговъ проведемъ сѣкущую и въ точкахъ пересѣченія построимъ касательныя, то касательныя къ первому кругу встрѣтятся съ непараллельными имъ касательными втораго круга въ двухъ точкахъ, лежащихъ на этой же прямой.
Послѣднее свойство принадлежитъ вообще системѣ двухъ какихъ либо коническихъ сѣченіи въ одной плоскости.
случаях, — те свойства, которые мы назвали выше существенными, или главными частями фигуры, тогда как второстепенные или случайные свойства могут при известных состояниях фигуры исчезать и делаться мнимыми.
Теория круга на плоскости представляет пример установленного нами различия между случайными и постоянными свойствами фигуры. В системе двух кругов существует одна прямая линия, имеющая важное значение во всей теории круга. Когда два круга пересекаются, то эта прямая есть их общая хорда и этого обстоятельства достаточно для исследования и построения её; но это есть именно одно из свойств, которые мы назвали случайными. Если два круга не пересекаются, то свойство это исчезает, но прямая, не смотря на это, существует, и её рассмотрение в высшей степени полезно для теории круга. Поэтому мы должны определить и построить эту прямую на основании какого нибудь другого её свойства, которое имело бы место при всевозможных состояниях нашей фигуры, т. е. при всевозможных положениях двух кругов. Такое свойство будет постоянным. Следуя этой мысли, Готье[1] назвал такую прямую не общею хордою, а радикальною осью двух кругов; выражение это взято от того постоянного свойства, что касательные, проведенные из каждой точки этой прямой к обоим кругам, равны между собою, так что каждая точка её есть центр круга, пересекающего данные круги под прямыми углами[2].
- ↑ Journal de l'école polytechnique. 1813. Тетр. 16.
Прекрасный мемуар Готье (Gaultier) заключает в себе первое совершенно общее решение задачи о прикосновении кругов и шаров; решение это позволяет предполагать, что круги обращаются в точки, или прямые линии, а шары — в точки или плоскости. - ↑ По причине этого же свойства Штейнер назвал эту прямую dие Linie der gleichen Potenzen (См. Journal von Сrelle, t. I и Annales de Gergonne, t. XVII, p. 295).
Прямая эта обладает, как известно, еще многими другими замечательными постоянными свойствами, которые достаточны для её построения и которые могли бы также служить для её определения. Если например проведем круг, пересекающий оба данные круга, то хорды пересечения встречаются на этой прямой.
Если через из один центров подобия двух кругов проведем секущую и в точках пересечения построим касательные, то касательные к первому кругу встретятся с непараллельными им касательными второго круга в двух точках, лежащих на этой же прямой.
Последнее свойство принадлежит вообще системе двух каких либо конических сечении в одной плоскости.
