Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов/Де Лагир/ДО

Третья эпоха: Теорія коническихъ сѣченій (Де-Лагиръ, Ле-Пуавръ и Ньютонъ)
авторъ Мишель Шаль, пер. В.Я. Цингеръ

Оригинал: фр. Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en Géométrie particulièrement de celles qui se rapportent à la Géométrie moderne. — Изъ цикла «Историческій обзоръ происхожденія и развитія геометрическихъ методовъ». Перевод созд.: 1829-1835 гг., опубл: 1837, перев. 1870-83 гг. Источникъ: Индекс в Викитеке

Третья эпоха: Теорія коническихъ сѣченій (Де-Лагиръ, Ле-Пуавръ и Ньютонъ).

22. Однако нѣкоторые математики еще оставались вѣрны способамъ древнихъ. Между ними слѣдуетъ преимущественно отличить Де-Лагира.

Де-Лагиръ (1640—1718). Этотъ геометръ былъ хорошо знакомъ съ геометріею Декарта, но сочиненія, которыми онъ обогатилъ чистую геометрію и которыя имѣли большой успѣхъ, были напйсаны имъ въ духѣ древнихъ.

Онъ былъ также достойнымъ продолжателемъ ученій Дезарга и Паскаля и ввелъ въ геометрію многія нововведенія, приближающіяся къ современнымъ пріемамъ, преимущественно въ его новомъ способѣ образованія коническихъ сѣчений на плоскости. Такимъ образомъ мы имѣемъ два повода говоритъ здѣсь объ этомъ знаменитомъ математикѣ.

Вотъ важнѣйшія сочиненія его, написанныя въ духѣ древней геометріи: большой трактатъ о коническихъ сѣченіяхъ, подъ заглавіемъ: Sectiones conicae in novem libros distributae (in fol. Paris 1685); Mémoire sur les épicycloïdes, въ которомъ содержится опредѣленіе размѣровъ этихъ кривыхъ, ихъ развертки и употребленіе въ механикѣ для построенія зубчатыхъ колесъ^[1]; другой мемуаръ о томъ же предметѣ, но въ обобщенномъ видѣ и въ примѣненіи ко всякаго рода кривымъ, подъ заглавіемъ: Traité des roulettes, où l'on démontre la manière universelle de trouver leurs touchantes, leurs points d'inflexion et de rehaussement, leurs superficies et leurs longueurs, par la Géométrie ordinaire^[2]; и, наконецъ, мемуаръ o конхоидахъ вообще, о ихъ касательныхъ, размѣрахъ, длинѣ дугъ, точкахъ перегиба (напечатанъ въ Mémoires de l'Académie des Sciences, 1708).

Къ этому перечню мы должны прибавить еще Traité de Gnomionique, 1682 — сочиненіе для того времени совершенно новое, гдѣ всѣ вопросы рѣшены Де-Лагиромъ графически, даже безъ прямолинейной тригонометріи, при помощи только циркуля, линейки и отвѣса.

Прибавленіе. Изъ новыхъ практическихъ вопросовъ, находящихся въ Гномоникѣ Де-Лагира, намъ слѣдуетъ упомянуть объ одномъ, потому что онъ основывается на геометрическихъ соображеніяхъ, относящихся къ ученіямъ новой геометріи.

Дѣло идетъ о построеніи часовыхъ линій, пользуясь для этого нѣкоторыми изъ нихъ, уже начерченными. Де-Лагиръ рѣшаетъ три слѣдующія задачи:

Въ первой предполагаются извѣстными семь послѣдовательныхъ часовыхъ линій.

Во второй — четыре послѣдовательныя и равноденственная линіи.

Въ третьей — три послѣдовательныя, равноденственная и горизонтальная линіи.

По этимъ даннымъ опредѣляются всѣ прочія линіи.

Положимъ, что въ первомъ случаѣ намъ даны семь послѣдовательныхъ часовыхъ линіи: X, XI, XII, I, II, III, и IV. Вотъ построеніе, которое даетъ авторъ для опредѣленія пяти остальныхъ.

Черезъ точку $o$ линіи IV проведемъ сѣкущую, параллельную линіи X; она встрѣтится съ линіями III, II, I, XII и XI въ точкахъ $a,b,c,d,e$; отложимъ на сѣкущей по другую сторону отъ $o$ отрѣзки $oa',ob',oc',od',oe'$, соотвѣтственно равные $oa,ob,oc,od,oe$; точки $a',b',c',d',e'$ будутъ принадлежать пяти искомымъ часовымъ линіямъ.

Дѣйствительно, двѣ часовыя плоскости X и ІV взаимно перпендикулярны; часовыя плоскости III и V одинаково наклонены къ плоскости IV и слѣдовательно онѣ гармонически сопряжены относительно первыхъ двухъ плоскостей X и IV.

Изъ этого слѣдуетъ, что двѣ часовыя линіи III и V гармонически сопряжены относительно часовыхъ линій X и IV; поэтому всякая сѣкущая встрѣчаетъ эти четыре линіи въ четырехъ гармоническихъ точкахъ и, слѣдовательно, если сѣкущая параллельна линіи X, то двѣ точки встрѣчи ея съ линіями III и V будутъ на равныхъ разстояніяхъ отъ точки встрѣчи ея съ линіею IV. Это и нужно было доказать^[3].

Мы не будемъ приводить здѣсь рѣшеній Де-Лагира для другихъ двухъ задачъ; они также просты, какъ и первое, и также основываются на началахъ элементарной геометріи, относящихся къ теоріи трансверсалей.

Но эти три задачи естественнымъ образомъ вызываютъ одно замѣчаніе и мы удивляемся, какъ оно не было сдѣлано въ разныхъ сочиненіяхь, заимствовавшихъ y Де-Лагира рѣшеніе этихъ задачъ. Замѣчаніе это относится къ избытку данныхъ, которыя прінимаетъ Де-Лагиръ при построеніи часовыхъ линій. Въ первомъ случаѣ онъ беретъ ихъ семь, во второмъ — четыре и еще равноденственную линію; въ третьемъ — три и кромѣ того равноденственную и горизонтальную линіи; къ этому надобно прибавить, что данныя линіи предполагаются послѣдовательными.

Но необходимы ли всѣ эти данныя? И каково наименьшее число часовыхъ ліній, достаточныхъ для построенія всѣхъ другихъ?

Отвѣчаемъ на это, что трехъ какихъ нибудь часовыхъ линій достаточно, чтобы опредѣлить всѣ остальныя, и построеніе можетъ быть сдѣлано также просто, какъ было сдѣлано Де-Лагиромъ въ случаѣ семи послѣдовательныхъ данныхъ часовыхъ линій.

Построеніе это представляетъ новое приложеніе теоріи ангармоническаго отношенія, на которую мы уже во многихъ мѣстахъ этого сочиненія старались обратить вниманіе геометровъ.

Означимъ черезъ $a,b,c$ три данныя линіи, соотвѣтствующія какимъ нибудь опредѣленнымъ часамъ, или даже, если угодно, долямъ часа. Пусть $d$ будетъ какая нибудь изъ часовыхъ линій, которую мы желаемъ построить при помощи трехъ первыхъ. Ангармоническое отношеніе этихъ четырехъ прямыхъ равно ангармоническому отношенію четырехъ часовыхъ плоскостей, имѣющихъ эти прямыя слѣдами на плоскости солнечныхъ часовъ. Означая четыре плоскости эти черезъ $A,B,C,D$, получимъ:

${\frac {\sin c,a}{\sin c,b}}:{\frac {\sin d,a}{\sin d,b}}={\frac {\sin C,A}{\sin C,B}}:{\frac {\sin D,A}{\sin D,B}}$.

Углы между четырьмя плоскостями $A,B,C,D$ извѣстны, такъ какъ эти плоскости соотвѣтствуютъ четыремъ даннымъ часамъ; поэтому вторая часть уравненія есть извѣстное количество $n$.

Отсюда уже видно, что уравненіе наше можетъ служитъ для опредѣленія направленія линіи $d$, и слѣдовательно, для рѣшенія вопроса.

Чтобы вывести отсюда простое построеніе, проведемъ произвольную сѣкущую, которая встрѣтится съ тремя линіями $a,b,c$ въ точкахъ $\alpha ,\beta ,\gamma$, и означимъ черезъ $\delta$ точку пересѣченія ея съ искомою линіею d. Ангармоническое отношеніе для четырехъ точекъ $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$ будетъ такое же, какъ и для четырехъ прямыхъ $a,b,c,d$; вслѣдствіе этого предыдущее уравненіе обратится въ

${\frac {\gamma \alpha }{\gamma \beta }}:{\frac {\delta \alpha }{\delta \beta }}=n$, откуда ${\frac {\delta \alpha }{\delta \beta }}={\frac {1}{n}}{\frac {\gamma \alpha }{\gamma \beta }}$.

Вторая часть извѣстна и, слѣдовательно, уравненіе опредѣляетъ положеніе точки $\delta$ принадлежащей къ искомой линіи.

Это построеніе дѣлается въ высшей степени просто, если сѣкущую проведемъ параллельно одной изъ линій $a,b$, напримѣръ первой; потому что тогда ${\tfrac {\delta \alpha }{\gamma \alpha }}=1$ и уравненіе принимаетъ видъ:

$\delta \beta =n.\gamma \beta$.

Отрѣзокъ $\gamma \beta$ извѣстенъ, a потому извѣстенъ также и отрѣзокъ $\delta \beta$; такимъ образомъ точка $\delta$, a слѣдовательно и линія $d$, опредѣлены. Это общее построеніе какой угодно четвертой часовой линіи помощію трехъ какихъ нибудь данныхъ линій дѣйствительно, какъ мы уже говорили, столь же просто, какъ и построеніе Де-Лагира, въ которомъ считается необходимымъ знать семъ линій, вмѣсто трехъ.

Что касается до количества $n$, которое не дано прямо, но зависитъ отъ угловъ между четырьмя часовыми плоскостями $A,B,C,D$, то величину его легко найти графически, безъ помощи тригонометрическихъ линій, входящихъ въ его выраженіе. Для этого черезъ точку $O$ проведемъ четыре прямыя $OA',OB',OC',OD'$, образующія между собою углы, равные соотвѣтственно угламъ между часовыми плоскостями; проведемъ какую нибудь сѣкущую, которая пересѣчется съ этими прямыми въ точкахъ $\alpha ',\beta ',\gamma ',\delta '$, ангармоническое отношеніе этихъ четырехъ точекъ будетъ равно ангармоническому отношенію четырехъ плоскостей и мы будемъ имѣть:

${\frac {\gamma '\alpha '}{\gamma '\beta '}}:{\frac {\delta '\alpha '}{\delta '\beta '}}=n$.

Такова величина $n$. Выраженіе ея можно упростить, проводя сѣкущую параллельно одной изъ четырехъ прямыхъ $OA',OB',OC',OD'$, напримѣръ первой; тогда ${\tfrac {\gamma '\alpha '}{\delta '\alpha '}}=1$ и мы получимъ:

$n={\frac {\delta '\beta '}{\gamma '\beta '}}$.

23. Трактатъ о коническихъ сѣченіяхъ имѣлъ большой успѣхъ во всей ученой Европѣ и, благодаря ему, на Де-Лагира смотрѣли, какъ на самостоятельнаго писателя объ этомъ предметѣ. Дѣйствительно, его методъ, хотя чисто синтетическій, отличался существенно отъ метода древнихъ. Древніе разсматривали коническія сѣченія на конусѣ, но

только для того, чтобы получить ихъ, вывести нѣкоторыя основныя свойства (изъ которыхъ самое важное есть постоянное отношеніе между квадратомъ ординаты и произведеніемъ отрѣзковъ на оси^[4]) и потомъ пользоваться ими для изысканія и доказательства всѣхъ другихъ свойствъ: древніе составляли такимъ образомъ свою теорію коническихъ сѣченій, не зная ни одного свойства конуса и совершенно независимо отъ свойствъ круга, служащаго конусу основаніемъ; Аполлоній доказываетъ даже часто свойства круга въ одно время съ свойствами эллипса и одинаковымъ образомъ. Де-Лагиръ избралъ путь болѣе раціональный и методическій, и поэтому болѣе краткій и ясный. Онъ началъ съ установленія свойствъ круга, которыя должны представляться и въ коническихъ сѣченіяхъ, преимущественно свойствъ, относящихся къ гармоническому дѣленію; потомъ, пользуясь ими,

онъ обнаружилъ и доказалъ подобныя же свойства въ сѣченіяхъ конуса. Этотъ пріемъ въ свое время былъ замѣчателенъ тѣмъ, что не требовалъ употребленія осеваго треугольника и прилагался безразлично ко всякимъ сѣченіямъ конуса.

Пріемъ этотъ, какъ мы видимъ, былъ въ духѣ способовъ Дезарга и Паскаля, которые переносили свойства круга на коническія сѣченія посредствомъ перспективы. Изъ Brouillon projet des Coniques Дезарга Де-Лагиръ могъ также заимствовать удачныя примѣненія гармонической пропорціи и нѣкоторыхъ инволюціонныхъ соотношеній. Вотъ двѣ причины, по которымъ мы разсматриваемъ этого геометра, какъ продолжателя ученій Дезарга и Паскаля.

24. Мы должны замѣтить, что новый способъ выводить свойства коническихъ сѣченій изъ свойства круга и изъ разсмотрѣнія конуса, на которомъ получаются эти кривыя, былъ уже употребляемъ двумя геометрами въ предшествующемъ столѣтіи. Во первыхъ Вернеромъ изъ Нюремберга, который этимъ путемъ доказалъ многія элементарныя свойства коническихъ сѣченій^[5]; во вторыхъ въ болѣе обширномъ размѣрѣ и болѣе ученымъ образомъ, знаменитымъ Мавроликомъ изъ Мессины, который сперва перевелъ многія сочиненія древнихъ, a потомъ въ числѣ множества собственныхъ сочиненій издалъ Traité des Coniques; въ этомъ послѣднемъ сочиненіи онъ слѣдовалъ новому пути, приписывая пріемамъ древнихъ при изслѣдованіяхъ этого рода растянутость ихъ доказательствъ^[6].

По поводу того же предмета справедливо упомянуть еще о Гуарини, современникѣ Де-Лагира, который въ 1671 году

издалъ также Трактатъ о коническихъ сѣченіяхъ, гдѣ часто пользовался свойствами конуса для доказательства свойствъ его сѣченій.

Въ этомъ сочиненіи особенно замѣчательно чрезвычайно простое и прилагающееся ко всѣмъ видамъ коническихъ сѣченій доказательство теоремы о постоянномъ отношеніи между произведеніями отрѣзковъ на параллельныхъ хордахъ, — теоремы, которая требовала всегда многихъ предварительныхъ предложеній. Пріемъ доказательства представлялъ шагъ впередъ въ теорія коническихъ сѣченій, но Гуарини, хотя въ высшей степени былъ свѣдущъ во всѣхъ отдѣлахъ геометріи, не развилъ его такъ систематически и съ такимъ талантомъ, какъ Де-Лагиръ. (См. о Мавроликѣ и Гуарини въ Примѣчаніи XVII).

25. Скажемъ здѣсь мимоходомъ, что кромѣ способа древнихъ и способа, избраннаго Де-Лагиромъ, можно представить себѣ еще третій способъ, который до сихъ поръ никѣмъ еще не употреблялся, но который могъ бы, если не ошибаемся, до высшей степени упростить доказательства и обнаружить самымъ яснымъ образомъ основныя начала и происхожденіе разнообразныхъ свойствъ коническихъ сѣченій. Надобно сознаться, что въ этомъ отношеніи способъ древнихъ оставляетъ насъ въ совершенномъ мракѣ.

Способъ, о которомъ мы говоримъ, могъ бы состоять въ изученіи свойствъ самаго конуса и въ выраженіи ихъ совершенно независимо отъ свойствъ его сѣченій; тогда послѣднія свойства выводились бы изъ первыхъ съ необыкновенною легкостію и общностію. Это понятно уже изъ того, что вездѣ, гдѣ древніе, основываясь на особенностяхъ трехъ видовъ коническихъ сѣченій, должны были употреблять три различныя доказательства для обнаруженія одного и того же свойства въ эллипсѣ, параболѣ и гиперболѣ, здѣсь было бы достаточно вывести соотвѣтствующее свойство самаго конуса и отсюда, какъ изъ настоящаго общаго источника, проистекали бы тогда свойства всѣхъ сѣченій конуса.

Такимъ путемъ объяснилось бы на конусѣ происхожденіе многихъ свойствъ въ коническихъ сѣченіяхъ; таковы напримѣръ свойства фокусовъ, которыя, кажется, были угаданы Аполлоніемъ и которыя ни этимъ геометромъ, ни однимъ изъ слѣдующихъ, не были поставлены въ связь съ свойствами круга, или конуса; такъ что первоначальное происхожденіе этихъ замѣчательныхъ точекъ, въ зависимости отъ конуса, на которомъ получаются кривыя, оставалось совершенно неизвѣстнымъ.

Другая выгода указываемаго нами способа состояла бы въ томъ, что вмѣстѣ съ теоріей коническихъ сѣченій образовалась бы теорія круглыхъ конусовъ, свойства которыхъ до сихъ поръ еще весьма мало извѣстны. Это не представило бы никакихъ затрудненій: въ доказательство мы можемъ, кажстся, привести опытъ, сдѣланный нами въ одномъ мемуарѣ^[7], гдѣ, допуская только нѣкоторыя большею частію очевидныя свойства круга, мы получили множество новыхъ свойствъ конусовъ втораго порядка; нѣкоторыя изъ этихъ свойствъ соотвѣтствуютъ свойствамъ фокусовъ коническихъ сѣченій и приводятъ къ нимъ; такимъ образомъ существованіе и свойства фокусовъ могутъ быть приведены въ зависимость отъ свойствъ конуса.

Читая первыя строки Трактата о коническихъ сѣченіяхъ Валлиса, можно подумать, что этотъ великій геометръ слѣдуетъ именно тому способу, о которомъ мы теперь говоримъ. Онъ объявляетъ, что, убѣдившись въ трудности теоріи коническихъ сѣченій и желая ее упростить, онъ приступитъ сначала къ ближайшему изученію самаго конуса, чего не сдѣлали древніе, a отсюда уже, какъ изъ настоящаго источника, выведетъ свойства этихъ кривыхъ. Но Валлисъ спѣшитъ прибавить, что онъ ограничивается только важнѣйшими свойствами, которыя могутъ вести къ открытію всѣхъ другихъ. И въ самомъ дѣлѣ, доказавъ, также какъ

Декартъ, свойство, служащее для выраженія кривыхъ помощію двухъ координатъ, онъ избираетъ другой путь и даетъ аналитическую теорію этихъ кривыхъ.

26. Возвратимся къ трактату Де-Лагира. Это сочиненіе раздѣлено на девять книгъ. Первая представляетъ основу для всего послѣдующаго; въ ней послѣдовательно излагаются свойства гармоническаго дѣленія прямой линіи, свойства гармоническихъ пучковъ, и наконецъ гармоническія соотношенія въ кругѣ. Тутъ же находятся нѣкоторые частные случаи инволюціоннаго соотношенія шести точекъ, но нѣтъ подобнаго соотношенія въ совершенно общемъ видѣ. Эта книга представляетъ введеніе, изъ котораго впослѣдствіи почерпаются простыя и общія доказательства теоремъ, требовавшихъ у древнихъ долгихъ и трудныхъ соображеній. Именно въ этомъ состояла новизна и заслуга метода Де-Лагира.

Кромѣ задачи ad tres et quatuor lineas [см. гл. I, n. 32] и прекрасныхъ общихъ теоремъ, составлявшихъ основаніе сочиненій Дезарга и Паскаля, въ трактатѣ Де-Лагира соединены были въ первый разъ всѣ другія извѣстныя свойства коническихъ сѣченій и доказаны синтетически однообразнымъ и изящнымъ пріемомъ. Многія изъ предложеній принадлежатъ самому Де-Лагиру. Изъ нихъ прежде всего укажемъ на теорію полюсовъ, состоящую изъ слѣдующихъ трехъ теоремъ.

Фиг. къ n° 26.

1°. «Если около неподвижной точки будемъ обращать сѣкущую, встрѣчающуюся съ коническимъ сѣченіемъ въ двухъ точкахъ, то касательныя въ этихъ точкахъ всегда будутъ пересѣкаться на одной прямой». (Предложенія 27 и 28 книги 1-й; 24 и 27 книги 2-й).

И обратно: «Если изъ каждой точки прямой линіи будемъ проводить двѣ касательныя къ коническому сѣченію, то прямыя, соединяющія точки прикосновенія, пройдутъ черезъ одну точку». (Предложенія 26 и 28 книги 1-й; 23 и 26 книги 2-й).

Точка эта въ послѣднее время названа была полюсомъ прямой, а прямая — полярою точки.

2°. «Если черезъ неподвижную точку будемъ проводить различныя сѣкущія, пересѣкающія коническое сѣченіе, то прямыя соединяющія попарно точки пересѣченія двухъ какихъ-нибудь сѣкущихъ, будутъ между собою пересѣкаться на полярѣ неподвижной точки». (Предложеніе 22 и 23 кн. 1-й; 30 кн. 2-й).

3°. Наконецъ «Точка встрѣчи каждой сѣкущей съ полярою неподвижной точки есть гармонически сопряженная съ этою неподвижной точкой относительно двухъ точекъ пересѣченія сѣкущей съ кривою». (Предл. 21 кн. 1-й и 23 и 26 кн. 2-й).

Послѣднее предложеніе было извѣстно Аполлонію.

Въ трактатѣ Де-Лагира оно есть основное и изъ него выводятся всѣ другія. Изъ предложенія 3-го книги 3-й видно, напримѣръ, какъ естественно приводитъ оно къ соотношенію между квадратомъ ординаты и прямоугольникомъ изъ отрѣзковъ оси.

Такимъ образомъ предложеніе это играетъ въ обширномъ трактатѣ Де-Лагира ту же роль, какъ теорема о latus rectum у Аполлонія, какъ инволюція шести точекъ въ Brouillon projet des Coniques Дезарга и какъ мистическій шестиугольникъ вь сочиненіи Паскаля.

Легко видѣтъ, что изъ трехъ упомянутыхъ нами здѣсь предложеній два первыя заключаются въ теоремѣ о четыреугольникѣ, вписанномъ въ коническое сѣченіе; — теоремѣ, которую, какъ мы уже говорили [въ прим. къ n° 16 гл. II], Паскаль вѣроятно вывелъ изъ своего шестиугольника; третье же предложеніе есть слѣдствіе той же теоремы на основаніи 131 предложенія 7-й книги Математическаго Собранія, — предложенія, которое мы указали, говоря о Паппѣ.

Но такъ какъ сочиненіе Паскаля никогда не было издано, то Де-Лагиру принадлежитъ честь открытія этихъ прекрасныхъ предложеній. Впослѣдствіи они были воспроизведены Маклореномъ въ сочіненіяхъ о флюксіяхъ и о геометрическихъ кривыхъ, Р. Симсономъ въ сочиненіи о коническихъ

сѣченіяхъ, Карно въ Théorie des transversales и многими другими геометрами.

Первая теорема и ея взаимная были доказаны посредствомъ нагляднаго и весьма изящнаго пріема въ Начертательной Геометріи Монжа и распространены этимъ знаменитымъ геометромъ на поверхности втораго порядка. Съ этого времени получаетъ важность и обширное примѣненіе теорія полюсовъ, заключавшаяся до этихъ поръ въ названныхъ нами ученыхъ сочиненіяхъ, но остававшаяся почти неизвѣстною для молодыхъ геометровъ, изучавшихъ коническія сѣченія только по способу аналитическій геометріи.

Между другими замѣчательными свойствами коническихъ сѣченій, открытыми Де-Лагиромъ, мы упомянемъ только о геометрическомъ мѣстѣ вершины прямаго угла, описаннаго около коническаго сѣченія; это геометрическое мѣсто есть кругъ для эллипса и гиперболы и прямая линія для параболы (8-я книга, предл. 26, 27 и 28)^[8]; Монжъ обобщилъ также и это предложеніе и показалъ, что точка пересѣченія трехъ взаимно перпендикулярныхъ плоскостей, касающихся поверхности втораго порядка, лежитъ всегда на сферѣ, которая обращается въ плоскость для параболоида.

Де-Лагиръ значительно обогатилъ также теорію фокусовъ и показалъ изящное и простое построеніе, посредствомъ прямой линіи и круга, коническаго сѣченія, имѣющаго данный фокусъ и проходящаго черезъ три данныя точки. Задача эта имѣетъ приложеніе въ астрономіи и для рѣшенія ея знаменитый астрономъ и геометръ Галлей, разрѣшившій ее въ первый разъ, употреблялъ гиперболу^[9].

27. До Декарта существовалъ только одинъ способъ образованія коническихъ сѣченій, именно на тѣлѣ, т.-е. на конусѣ съ круглымъ основаніемъ. Но геометрія этого знаменитаго преобразователя произвела въ теоріи этихъ кривыхъ, также какъ и во всѣхъ другихъ частяхъ математики, рѣшительный переворотъ: она научила получать ихъ прямо на плоскости, не пользуясь при этомъ нисколько разсмотрѣніемъ конуса. Декарту было достаточно замѣтить, что въ его системѣ координатъ всѣ коническія сѣченія выражаются общимъ уравненіемъ второй степени. Такое аналитическое выраженіе вело къ изысканію и развитію ихъ многочисленныхъ свойствъ. Этотъ способъ изслѣдованія былъ принятъ прежде всего Валлисомъ, который первый далъ аналитическую теорію коническихъ сѣченій, a потомъ большинствомъ геометровъ, писавшихъ объ этихъ кривыхъ. Впрочемъ еще впродолженіе цѣлаго столѣтія продолжали разсматривать коническія сѣченія также и на конусѣ и въ сочиненіяхъ, появившихся втеченіе этого времени, соединяли вмѣстѣ оба способа: способъ древнихъ и способъ Декарта.

Пріемъ, служившій Дезаргу и Паскалю для образованія коническихъ сѣченій, относился къ способу древнихъ, потому что въ немъ эти кривыя разсматриваются какъ перспективы круга. Но этотъ пріемъ получилъ весьма важное преимущество, благодаря употребленію теоріи трансверсалей, которою древніе пользовались только въ системахъ прямыхъ

линій, но не прилагали ни къ кругу, ни къ коническимъ сѣченіямъ.

Григорій С. Винцентъ, какъ мы уже говорили, придумалъ множество способовъ образовать коническія сѣченія одни помощію другихъ; Шутенъ далъ нѣсколько способовъ органическаго образованія ихъ; Де-Виттъ сдѣлалъ еще шагъ, образуя эти кривыя различными весьма общими способами, которыми онъ искусно пользовался для вывода ихъ важнѣйшихъ свойствъ; но всѣ эти способы не были одинаковы для всѣхъ трехъ видовъ коническихъ сѣченій.

Де-Лагиръ, имѣя передъ глазами совершенно общій, но аналитическій, способъ Декарта и попытки Де-Витта, старался также найти общій пріемъ для образованія коническихъ сѣченій на плоскости, который могъ бы вести, также какъ и въ случаѣ образованія ихъ на конусѣ, къ доказательству свойствъ этихъ кривыхъ.

28. Въ 1673 и 1679 годахъ онъ двоякимъ образомъ выполнилъ это намѣреніе въ двухъ сочиненіяхъ, которыя предшествовали его большому трактату 1685 года и съ которыхъ началась его извѣстность, какъ геометра.

Въ сочиненіи 1679 года^[10] Де-Лагиръ опредѣляетъ коническія сѣченія, какъ такія кривыя, въ которыхъ сумма или разность разстояній каждой точки отъ двухъ неподвижныхъ точекъ остается постоянная или каждая точка находится въ одинаковомъ разстояніи отъ данной точки и данной прямой. Исходя изъ одного этого положенія, онъ выводитъ множество свойствъ этихъ кривыхъ.

Такая постановка теоріи коническихъ сѣченій была принята многими геометрами, которые положили ее въ основаніе своихъ сочиненій; таковы маркизъ Лопиталь, Р. Симсон, Guisnée, Mauduit и др.

Въ сочиненіи своемъ Де-Лагиръ присоединилъ къ этому еще двѣ особыя части о геометрическихъ мѣстахъ, изслѣдованныхъ

по способу Декарта, и о примѣненіи ихъ къ построевію уравненій.

Послѣдняя часть оканчивается построеніемъ посредствомъ прямой линіи и круга одной изъ самыхъ знаменитыхъ задачъ въ теоріи коническихъ сѣченій, именно задачи о проведеніи нормали черезъ точку, взятую внѣ кривой. Андерсонъ^[11], Слюзъ и Гюйгенсъ рѣшили эту задачу только для параболы; это не представляло большой трудности, потому что задача допускаетъ въ этомъ случаѣ только три рѣшенія и потому можетъ быть рѣшена при помощи одного круга. Но въ случаѣ эллипса и гиперболы задача, допуская четыре рѣшенія, представляетъ большія затрудненія и достаточно доказываетъ искуство Де-Лагира въ Декартовомъ анализѣ.

29. Въ сочиненіи 1673 года подъ заглавіемъ: Nouvelle méthode en Géométrie, pour les sections des superficies coniques et cylindriques, Де-Лагиръ является писателемъ вполнѣ оригинальнымъ и новымъ, и оно-то заставляетъ насъ включить этого геометра въ число основателей новой геометріи.

Сочиненіе это состоитъ изъ двухъ частей, изъ которыхъ каждая представляетъ особый новый методъ и особыя достоинства. Приведенное нами выше заглавіе относится преимущественно къ первой части, въ которой авторъ разсматриваетъ кривыя на конусѣ; вторая же часть, гдѣ онъ образуетъ ихъ на плоскости, носитъ названіе Planiconiques.

Первую часть можно разсматривать, какъ опытъ того способа, которому Де-Лагиръ, спустя двѣнадцать лѣтъ, слѣдовалъ въ своемъ большомъ трактатѣ; дѣйствительно эта часть начинается двадцатью леммами, относящимися къ тѣмъ же предметамъ какъ и 1-я книга трактата; потомъ Де-Лагиръ прилагаетъ ихъ къ доказательству важнѣйшихъ свойствъ коническихъ сѣченій, съ общностію для того времени новою и безъ помощи осеваго треугольника. Но доказательства эти

далеко еще не представляютъ той степени изящества и простоты, какъ въ трактатѣ 1685 года.

Въ Planiconiques Де-Лагиръ излагаетъ изобрѣтенный имъ общій способъ образованія коническихъ сѣченій на плоскости; здѣсь кривыя, какъ и въ пространствѣ, образуются при помощи круга и при этомъ не предполагаются извѣстными никакія свойства ихъ; впослѣдствіи Де-Лагиръ доказываетъ, что образуемыя такимъ образомъ кривыя дѣйствительно одинаковы съ тѣми, которыя получаются въ пространствѣ на конусѣ. Особенно хорошо въ этомъ способѣ то, что свойства круга распространяются на planiconiques при помощи тѣхъ же леммъ, которыя служатъ для распространенія свойствъ кругъ на сѣченія конуса, и доказательства при этомъ остаются тѣ же, какъ въ первой части.

30. Такъ какъ это первое сочиненіе Де-Лагира чрезвычайно рѣдко и такъ какъ писатели, иногда упоминавшіе объ немъ, не достаточто знакомятъ съ его направленіемъ^[12], то мы считаемъ не лишнимъ войти здѣсь въ нѣкоторыя подробности объ этой удивительной теоріи planiconiques, которая такъ долго оставалась неизвѣстною и забытою, но которая

представляетъ первый довольно общій способъ преобразованія фигуръ въ другія такого же рода.

Представимъ себѣ на плоскости двѣ параллельныя между собою прямыя, изъ которыхъ одну авторъ называетъ образующей (formatrice), другую — направляющей (directrice), и кромѣ того точку, называемую полюсомъ. Изъ каждой точки $M$ кривой, данной на плоскости, проводимъ по произвольному направленію сѣкущую; она встрѣтится съ направляющею въ точкѣ, которую соединяемъ прямою линіею съ полюсомъ, и съ образующей — въ другой точкѣ, изъ которой проводимъ параллельную къ предыдущей прямой. Эта параллельная встрѣтится съ прямою, идущею отъ точки $M$ къ полюсу, въ точкѣ $M'$, которая такимъ образомъ образована точкою $M$.

Каждая точка данной кривой образуетъ подобнымъ же образомъ соотвѣтственную точку второй кривой. Точки прямой линіи образуютъ точки другой прямой линіи, обѣ эти линіи пересѣкаются на образующей.

Наконецъ, точки круга образуютъ точки коническаю сѣченія.

Чтобы доказать это предложеніе, не предполагая извѣстнымъ никакого свойства коническихъ сѣченій, Де-Лагиръ представляетъ себѣ конусъ съ круговымъ основаніемъ и на немъ плоское сѣченіе; затѣмъ онъ совмѣщаетъ плоскость круга съ плоскостію сѣченія, обращая ее около линіи пересѣченія этихъ плоскостей; потомъ, принявъ эту линію за образующую, другую (именно линію, которая въ первоначальномъ положеніи плоскости круга есть пересѣченіе съ плоскостію, проведенною черезъ вершину конуса параллельно плоскости коническаго сѣченія) — за направляющую и извѣстнымъ образомъ избранную точку за полюсъ, онъ доказываетъ, чрезъ сравненіе подобныхъ треугольниковъ, что это сѣченіе можетъ быть образовано кругомъ^[13].

Таковъ былъ способъ Де-Лагира для полученія коническихъ сѣченій на плоскости безъ помощи всякаго тѣла и всякой другой плоскости, кромѣ плоскости чертежа. Это онъ называлъ перевести конусъ и его сѣченія на плоскость. Въ предисловіи къ сочиненію 1679 года онъ говоритъ: «я прилагалъ къ этимъ плоскимъ сѣченіямъ тѣ же доказательства, какія даны мною для тѣла, и могу сказать, что сочиненіе мое имѣло счастіе заслужить одобреніе самыхъ ученыхъ геометровъ».

Но извѣстность этого сочиненія продолжалось недолго и оно, не смотря на свои несомнѣнныя достоинства, болѣе вѣка оставалось въ забвеніи; это могло бы удивить насъ, если бы мы не знали, что у всякой эпохи есть свои вопросы дня и что самыя лучшія и полезныя идеи, чтобы быть признанными, должны появляться въ такое время, когда умы обращены къ предметамъ съ ними сроднымъ. Исторія наукъ на всякомъ шагу даетъ намъ доказательства этой истины^[14].

31. Ле-Пуавръ. Впрочемъ способъ Де-Лагира былъ въ 1704 году воспроизведенъ, или лучше сказать изобрѣтенъ вновь, Ле-Пуавромъ (Le Poivre de Mons), геометромъ въ наше время неизвѣстнымъ, но о которомъ было бы несправедливо не упомянуть вмѣстѣ съ Декартомъ, Паскалемъ и Де-Лагиромъ въ исторіи происхожденія и развитія новой геометріи. Сочиненіе его носило такое заглавіе: Traité des sections du cylindre et du cône, considérés dans le solide et dans le plan, avec des démonstrations simples et nouvelles (60 страницъ in 8°). Часть, относящаяся къ образованію коническихъ сѣченій на плоскости, есть въ сущности ничто иное, какъ методъ Де-Лагира, но онъ представленъ здѣсь

совершенно въ другомъ видѣ и заслуживаетъ, чтобы мы изложили его особенности и пріемы^[15].

Первоначальная мысль автора состояла, кажется, въ томъ, чтобы провести на конусѣ кривую плоскаго сѣченія, не проводя самой плоскости; и авторъ дѣлаетъ это двумя способами: посредствомъ пересѣченія каждой образующей конуса съ другою извѣстнымъ образомъ проведенного прямою и посредствомъ пропорціи, послѣдній членъ которой служитъ для опредѣленія на каждой образующей точки кривой сѣченія. Потомъ онъ замѣчаетъ, что эти построенія могутъ быть выполнены не только въ пространствѣ, но и на самой плоскости круга, служащаго основаніемъ конуса, и что они ведутъ въ этомъ случаѣ къ тѣмъ же самымъ кривымъ.

Представимъ себѣ конусъ съ круглымъ основаніемъ; произвольно проведенная плоскость образуетъ на немъ коническое сѣченіе; требуется построитъ эту кривую безъ помощи плоскости, въ которой она находится. Для этого нужно прежде всего взять въ пространствѣ элементы, необходимые для опредѣленія положенія этой плоскости; это можно сдѣлать различнымъ образомъ. Ле-Пуавръ беретъ слѣдъ сѣкущей

плоскости на плоскости основанія конуса и другую прямую, параллельную этому слѣду и получаемую отъ пересѣченія плоскости основанія съ плоскостію, проходящею черезъ вершину конуса и параллельною плоскости сѣченія. Эти двѣ прямыя и вершина конуса вполнѣ опредѣляютъ положеніе плоскости сѣченія и потому онѣ должны быть тремя данными, достаточными также и для построенія кривой пересѣченія конуса съ плоскостью, если только такая кривая дѣйствительно существуетъ.

Но легко видѣть, что это построеніе будетъ выполнено слѣдующимъ образомъ: черезъ точку $M$ круга основанія, называемаго образующимъ кругомъ (cercle générateur), проведемъ какую-нибудь сѣкущую, которая встрѣтится со слѣдомъ плоскости сѣченія и съ линіею ему параллельной въ двухъ точкахъ; соединимъ вторую точку съ вершиною $S$ конуса прямою линіею и къ этой прямой проведемъ параллельную черезъ первую точку. Эта параллельная очевидно будетъ лежать въ плоскости сѣченія и встрѣтится съ образующей $SM$ конуса въ точкѣ $M'$, принадлежащей искомой кривой. Для всякой другой точки образующаго круга получимъ другую точку кривой сѣченія.

Это построеніе совершенно общее; оно существуетъ, каково бы ни было положеніе точки $S$ въ пространствѣ; оно примѣнимо и къ тому случаю, когда эта точка находится въ плоскости круга, когда слѣдовательно нѣтъ болѣе конуса. Кривая; образуемая точкой, и въ этомъ случаѣ будетъ коническое сѣченіе^[16].

Такимъ образомъ построеніе Ле-Пуавра прилагается къ образованію коническихъ сѣченій какъ въ плоскости, такъ и въ пространствѣ. Въ случаѣ плоскости это построеніе, какъ мы видимъ, одинаково съ построеніемъ Де-Лагира. Точка $S$ есть полюсъ, слѣдъ сѣкущей плоскости — образующая, a линія, параллельная ему —направляющая.

32. Вообще въ геометріи есть два способа примѣнять къ дѣлу рѣшенія, полученныя теоретическимъ путемъ. Первый способъ состоитъ въ томъ, что искомыя точки строятся посредствомъ пересѣченія линій; второй — въ томъ, что эти точки опредѣляются помощію формулъ, которыя путемъ вычисленія приводятъ къ числовымъ результатамъ. Всегда полезно искать рѣшеніе въ этихъ обоихъ видахъ, потому что каждый изъ нихъ знакомитъ съ свойствами фигуръ, которыя не указываются другимъ; вопросъ только тогда рѣшенъ окончательно, когда онъ изслѣдованъ со всѣхъ сторонъ, когда открыты и обнаружены всѣ, какъ графическія, такъ и метрическія свойства, выраженныя указанными вами двумя видами рѣшенія.

Изложенное нами построеніе коническаго сѣченія въ пространствѣ или на плоскости, принадлежитъ къ первому роду рѣшеній. Чтобы превратить его въ числовую форму, сравнимъ два подобные треугольника, имѣющіе общую вершину въ $S$; отсюда получимъ пропорцію между сторонами ихъ, прилежащими къ этой вершинѣ. Изъ этой пропорціи найдется разстояніе точки $M'$ коническаго сѣченія отъ соотвѣтствующей точки круга; это и будетъ искомая формула^[17].

33. Нельзя себѣ представить способа, который былъ бы богаче и удобнѣе способа Де-Лагира и Ле-Пуавра для открытія многочисленныхъ свойствъ коническихъ сѣченій при помощи круга; но выгоды этого способа не должны были ограничиваться только этимъ частнымъ примѣненіемъ; способъ этотъ имѣлъ лучшую участь впослѣдствіи, такъ какъ въ немъ, также какъ въ способѣ перспективы, заключалось общее средство для преобразованія на плоскости однихъ фигуръ въ другія того же рода.

Важность подобныхъ способовъ, составляющихъ одинъ изъ главныхъ отдѣловъ новой геометріи, заставляетъ насъ высказать еще нѣсколько соображеній о способѣ Де-Лагира и Ле-Пуавра, чтобы показать соотношеніе его съ пріемами перспективы, съ подобнымъ же пріемомъ, изобрѣтеннымъ почти въ то же время Ньютономъ, и съ многими другими способами болѣе поздняго происхожденія, о которыхъ мы будемъ говорить впослѣдствіи.

Въ способѣ, который употребляли Де-Лагиръ и Ле-Пуавръ для преобразованія круга въ коническое сѣченіе на плоскости, обнаруживается слѣдующее отличительное свойство: всякой точкѣ и прямой, относящимся къ образующему кругу, соотвѣтствуетъ точка и прямая относительно коническаго сѣченія; и соотношенія между положеніями этихъ фигуръ таковы, что двѣ соотвѣтственныя точки лежатъ всегда на прямой, проходящей чрезъ постоянную точку $S$, и

двѣ соотвѣтственныя прямыя пересѣкаются всегда на постоянной оси, именно на прямой, которую мы назвали образующей въ способѣ Де-Лагира и разсматривали какъ слѣдъ плоскости сѣченія въ способѣ Ле-Пуавра.

Эти постоянныя точка $S$ и ось, если ихъ разсматривать какъ принадлежащія къ кругу, соотвѣтствуютъ сами себѣ относительно коническаго сѣченія; такъ что онѣ играютъ одинаковую роль относительно той и другой кривой.

Если изъ этой постоянной точки можно провести къ кругу двѣ касательныя, то онѣ будутъ также касательными и къ коническому сѣченію; если постоянная ось пересѣкаетъ кругъ въ двухъ точкахъ, то черезъ эти же точки пройдетъ и коническое сѣченіе.

Можно доказать также, что, если двѣ прямыя параллельны, то соотвѣтственныя ихъ пересѣкаются въ точкѣ прямой, которую мы назвали направляющей; такъ что каждой безконечно удаленной точкѣ одной фигуры соотвѣтствуетъ на другой точка направляющей. Но такъ какъ прямой линіи можетъ соотвѣтствовать только прямая же линія, то мы заключаемъ, что всѣ безконечно удаленныя точки плоскости должно разсматривать, какъ расположенныя на одной прямой.

34. По всѣмъ этимъ свойствамъ мы узнаемъ гомологическія фигуры, теорія которыхъ дана была въ первый разъ Понселе въ Traité des propriétés projectives. Полюсъ $S$ есть центръ гомологіи, a образующая — ось гомологіи.

Лица, привыкшія къ приложеніямъ перспективы, узнаютъ также въ этомъ преобразованіи тѣ самыя фигуры, которыя чертятся на плоскости и должны быть одна перспективою другой.

Такимъ образомъ, если будемъ разсматривать образующую (или ось гомологіи) какъ общій прорѣзъ, направляющую какъ линію горизонтальную, основаніе перпендикуляра; опущеннаго изъ полюса (или центра гомологіи) на направляющую — какъ точку зрѣнія; если потомъ для полученія точки разстояній отложимъ на направляющей, начиная отъ точки

зрѣнія, отрѣзокъ равный вышеупомянутому перпендикуляру, и если по этимъ даннымъ построимъ перспективу коническаго сѣченія, получаемаго по способу Де-Лагира, то получимъ ничто иное, какъ образующій кругъ. (См. Примѣчаніе XVIII).

И такъ, общее построеніе коническихъ сѣченій на плоскости, къ которому стремился Де-Лагиръ, собственно говоря, сущеcтвовало уже съ давнихъ поръ, но оно не было ему извѣстно, потому что встрѣчалось только въ практическихъ приложеніяхъ перспективы и употреблялось только художниками. Весьма важная заслуга Де-Лагира состоитъ въ томъ, что онъ первый задумалъ воспользоваться этимъ преобразованіемъ фигуръ, какъ пособіемъ для раціональной геометріи, съ цѣлію переносить прямо свойства одной кривой въ плоскости на другія кривыя.

Способъ этотъ былъ обобщеніемъ двухъ другихъ преобразованіи фигуръ. Первое изъ нихъ состоитъ въ томъ, что изъ постоянной точки проводятся ко всѣмъ точкамъ кривой радіусы, которые продолжаются въ постоянномъ отношеніи; концы продолженныхъ такимъ образомъ радіусовъ лежатъ на другой кривой, подобной прежней и подобно расположенной относительно постоянной точки; второе преобразованіе состоитъ въ томъ, что изъ всѣхъ точекъ кривой проводятся ординаты на постоянную ось и измѣняются въ данномъ отношеніи; концы ихъ принадлежатъ другой кривой одинаковой степени и одного рода съ данною кривою; при этомъ касательныя въ двухъ соотвѣтственныхъ точкахъ обѣихъ кривыхъ пересѣкаются на постоянной оси. Этимъ способомъ Стевивъ, Григорій С. Винцентъ и еще прежде ихъ знаменитый живописецъ Альбертъ Дюреръ получали эллипсъ посредствомъ круга. Оба эти способа преобразованія получаются изъ способа Де-Лагира, если предположимъ въ первомъ случаѣ слѣдъ и направляющую, a во второмъ случаѣ точку $S$ — на безконечномъ разстояніи.

Въ сочиненіи о кривыхъ линіяхъ извѣстнаго геометра Джона Лесли

^[18] находимъ построеніе коническихъ сѣченій посредствомъ пересѣченія двухъ прямыхъ, вращающихся около двухъ неподвижныхъ полюсовъ; это построеніе также приводится къ построенію Де-Лагира. Лесли получилъ его при помощи перспективы, но не пользовался имъ, какъ Де-Лагиръ и Ле-Пуавръ, для доказательства свойствъ коническихъ сѣченій.

35. Ньютонъ (1642—1727). Въ то самое время, когда Де-Лагиръ нашелъ способъ образованія коническихъ сѣченій помощію круга, Ньютонъ изобрѣлъ способъ подобнаго же рода, имѣвшій цѣлію производить на плоскости такія преобразованія фигуръ, чтобы точкамъ соотвѣтствовали точки, прямымъ линіямъ — прямыя же линіи и чтобы нѣкоторыя прямыя, сходящіяся въ одной точкѣ, обращались въ параллельныя. Этотъ способъ предложенъ въ первой книгѣ Principia, гдѣ показано также, какъ при помощи его можно превращать всякое коническое сѣченіе въ кругъ и такимъ образомъ упрощать многія трудныя задачи.

Великій геометръ показалъ чрезвычайно простое геометрическое построеніе и далъ столь же простое аналитическое выраженіе для своихъ преобразованныхъ фигуръ; но онъ не указалъ пути, который привелъ его къ этому способу преобразованія; можетъ быть по этой причинѣ его способъ мало былъ разработанъ впослѣдствіи; потому что нашъ умъ всегда испытываетъ нѣкоторое затрудненіе и устраняется отъ такихъ предметовъ, въ которыхъ хотя и встрѣчаетъ достаточно очевидности для убѣжденія, но не видитъ ничего, что уясняло бы и показывало причины самаго существованія предмета. Намъ любопытно было сравнить способы Ньютона и Де-Лагира, узнать особенности, которыми они характеризуются, и найти поводы предпочесть одинъ способъ другому; чрезъ это мы надѣялись отыскать нить, руководившую Ньютономъ. Мы обнаружили, что фигуры у Ньютона тѣ же,

какъ у Де-Лагира, но размѣщены различнымъ образомъ одна относительно другой; ихъ также можно получить посредствомъ перспективы, совмѣщая послѣ этого въ одной плоскости, но и это инымъ образомъ, чѣмъ въ способѣ Де-Лагира. Оказывается, что способъ Ньютона представляетъ дѣйствительно одинъ изъ пріемовъ перспективы, указанный нѣсколькими писателями, изъ которыхъ назовемъ Vignole, Sirigati, Pozzo. (См. Примѣч. XIX).

36. Намъ было бы легко показать, какія громадныя средства могли бы извлечь геометры изъ сказанныхъ способовъ преобразованія кривыхъ линій на плоскости еще полтора вѣка тому назадъ, если бы роковое и несправедливое предубѣжденіе не изгнало этихъ способовъ изъ области чистой геометріи. Достаточно уже сказаннаго нами о томъ, что способъ Де-Лагира, по преимуществу, приводилъ къ тѣмъ же преобразованіямъ и къ той же цѣли, какъ и прекрасная теорія гомологическихъ фигуръ, изъ которой Понселе извлекъ столь многочисленные и замѣчательные результаты. Притомъ способъ Де-Лагира, также какъ и Ньютона, есть простой выводъ изъ нашего общаго принципа гомографическаго преобразованія (déformation homographique) и намъ пришлось бы повторять два раза одно и тоже, если бы мы стали распространяться здѣсь о приложеніяхъ этого принципа.

37. Оканчивая историческій обзоръ первыхъ способовъ преобразованія кривыхъ линій, замѣтимъ, что тотъ остроумный путь, которымъ Ле-Пуавръ дошелъ до своего преобразованія, также заслуживаетъ вниманія геометровъ; онъ основывается на идеѣ, заключающей въ себѣ цѣлую начертательную геометрію, т.-е. графическое изображеніе на плоскости тѣлъ, расположенныхъ въ пространствѣ. Эта идея въ приложеніяхъ перспективы выражается тѣмъ, что плоскость, помѣщенная въ пространствѣ, обозначается на картинѣ (tableau) двумя параллельными прямыми, изъ которыхъ одна есть слѣдъ самой плоскости, a другая — слѣдъ плоскости параллельной, проведенной черезъ точку зрѣнія. Прямая

линія будетъ поэтому изображаться двумя точками, въ которыхъ она сама и ей параллельная, проведенная черезъ точку зрѣнія, пересѣкаютъ плоскость картины. Итакъ мы имѣемъ здѣсь способъ всякое тѣло, данное въ пространствѣ, изображать на плоскости, употребляя при этомъ только одну постоянную точку, взятую произвольно внѣ этой плоскости. Этотъ новый родъ начертательной геометріи былъ въ недавнее время придуманъ и приведенъ въ исполненіе Кузинери, инженеромъ путей сообщенія. Къ сочиненію этого геометра мы возвратимся, когда будемъ говорить о начертательной геометріи Монжа.

Примѣчанія.

1. Мемуаръ этотъ явился въ 1694 году вмѣстѣ съ другими мемуарами Де-Лагира по математикѣ и физикѣ. Онъ былъ напечатанъ вновь въ IX томѣ прежнихъ Mémoires de l'Académie des Sciences.
   Де-Лагиръ говоритъ здѣсь, что уже двадцать лѣтъ тому назадъ онъ открылъ эпициклоиды и ихъ употребленіе въ механикѣ. Впослѣдствіи Лейбницъ требовалъ, чтобы честь этого двойнаго открытія была приписана знаменитому астроному Ремеру, которымъ оно сдѣлано было въ 1674 году во время его пребыванія въ Парижѣ. Но, какъ мы уже говорили выше, открытіе это, или по крайней мѣрѣ его механическая сторона, по словамъ самого Де-Лагира, восходитъ вѣроятно до Дезарга.
2. Напечатано въ Mémoires de l'Académie des Sciences, 1704.
3. Это геометрическое доказательство, заимствованное нами изъ сочиненія Де-Лагира, столь же строго, какъ и кратко; однако Деламбръ не считаетъ его вполнѣ удовлетворительнымъ; и такъ какъ разсматриваемый вопросъ кажется ему полезнымъ и любопытнымъ и потому заслуживающимъ доказательства во всей формѣ, то онъ предлагаетъ свое доказательство, которое считаетъ самымъ общимъ и строгимъ (Histoire de l'astronomie au moyen âge, p. 634). Ho мы должны сказать, что доказательство Деламбра состоитъ почти изъ двухъ страницъ вычисленій и во всякомъ случаѣ не точнѣе краткаго разсужденія Де-Лагира.
   Мы дѣлаемъ это замѣчаніе вовсе не съ намѣреніемъ критиковать; мы питаемъ уваженіе и удивленіе къ имени и трудамъ Деламбра, къ его преданности наукѣ и къ тѣмъ важнымъ и труднымъ изысканіямъ, которыя ему были необходимы, чтобы написать исторію астрономіи. Замѣчаніе это естественно проистекаетъ изъ главной идеи, лежащей въ основаніи нашего труда; оно показываетъ съ одной стороны ясный примѣръ тѣхъ преимуществъ, которыя иногда представляетъ путь геометрическій, или путь прямаго разсужденія, передъ вычисленіемъ; съ другой стороны, оно обнаруживаетъ направленіе, принятое математическими науками, — направленіе, при которомъ ясныхъ и убѣдительныхъ доказательствъ для истинъ геометрическихъ, доказательствъ по формѣ, ищутъ только въ повѣркѣ путемъ алгебраическаго исчисленія. Это направленіе противно всему, что дѣлалось до сихъ поръ: у Грековъ, гдѣ геометрія прославилась строгостію своихъ доказательствъ; у Индусовъ и Арабовъ, которые истолковывали результаты алгебры доказательствами геометрическими; у новыхъ геометровъ до послѣдняго вѣка, между которыми Ньютонъ и Маклоренъ употребляли анализъ весьма неохотно и только тамъ, гдѣ онъ неизбѣженъ.
   Гдѣ причина такого исключительнаго направленія математическихъ знаній? И каково будетъ вліяніе его на характеръ и успѣхи науки?
   Мы не будемъ пытаться отвѣчать на эти вопросы, такъ какъ многіе, вѣроятно, едва ли согласились бы съ нами. Но, каковы бы ни были мнѣнія объ этомъ предметѣ, нельзя по крайней мѣрѣ не согласиться съ тѣмъ, что было бы очень полезно поддерживать и разрабатывать на ряду съ новыми способами также и способъ древнихъ, которому математики продолжали слѣдовать до послѣдняго столѣтія.
4. На вопросъ, отчего зависитъ плодотворность этого свойства коническихъ сѣченій, въ аналитической геометріи отвѣтили бы, что свойство это есть ничто иное, какъ уравненіе кривой, и неудивительно поэтому, что къ нему примѣняются удобно всѣ преобразованія, какимъ можно подвергнуть уравненіе. Но чистая геометрія требуетъ болѣе прямой причины, заимствованной только изъ свойствъ самаго предмета и не носящей отпечатка произвольной и искуственной системы координатъ; и легко видѣть, что причина заключается въ томъ, что свойство это выражаетъ соотношеніе между шестью точками коническаго сѣченія. Здѣсь впрочемъ шесть точекъ не имѣютъ положенія совершенно произвольнаго и общаго: четыре изъ нихъ берутся на двухъ параллельныхъ прямыхъ.
   Но, не смотря на это ограниченіе, упомянутое соотношеніе достаточно для построенія кривой при помощи пяти произвольно данныхъ точекъ. Отсюда понятно, что оно можетъ вести ко всѣмъ свойствамъ коническихъ сѣченій. При этомъ пришлось бы только слѣдовать иногда не совершенно прямому пути и употреблять болѣе искуственныхъ оборотовъ, чѣмъ въ томъ случаѣ, когда бы намъ было извѣстно совершенно общее соотношеніе между шестью какими нибудь точками коническаго сѣченія. Этимъ замѣчаніемъ объясняется, почему прекрасныя теоремы Дезарга и Паскаля, выражающія собою именно совершенно общее соотношеніе между шестью точками коническаго сѣченія, внесли въ теорію этихъ кривыхъ такую неизвѣстную древнимъ простоту.
5. J. Verneri Libellus super vigintiduobus elementis conicis, etc. in. 4°, 1522.
6. Quoniam Apollonius omnia fere conicorum demonstrata conatus est in planum redigere, antiquioribus insignior; neglecta conorum descriptione, et aliunde quaerens argumenta, cogitur persaepe obscurius ei indirecte demonstrare id, quod contemplando solidae figurae soctionem, apertius et brevius demonstratur. D. Francisci Maurolici Opuscula mathematica. In-4°; Venetiis, 1575; p. 280.
7. Mémoire de Géométrie pure sur les propriétés générales des cônes du second degré. In—4°, 1830.
8. Де-Лагиръ показалъ также (Mémoires de l'Académie de Sciences, 1704) геометрическое мѣсто равныхъ между собою, острыхъ или тупыхъ, угловъ, описанныхъ около коническаго сѣченія; это есть кривая четвертаго порядка, обращающаяся въ гиперболу, когда данное коническое сѣченіе есть парабола.
   Въ томъ же мемуарѣ Де-Лагиръ изслѣдуетъ этотъ вопросъ также для циклоиды и приходитъ къ слѣдующему любопытному результату: вершины равныхъ угловъ, прямыхъ, острыхъ, или тупыхъ, описанныхъ около этой кривой лежатъ на другой циклоидѣ, сжатой или растянутой.
   Мы нашли, что круговыя эпициклоиды обладаютъ тѣмъ же свойствомъ, именно:
   Если около эпициклоиды, образуемой точкою окружности круга, катящагося по другому кругу, будемъ описывать равные между собою углы, то верщины ихъ будутъ лежать на растянутой, или сжатой, эпициклоидѣ.
9. Methodus directa et geometrica cujus ope investigantur Aphelia etc. Planetarum. Philosophical Transactions, 1676, n° 128.
10. Nouveaux élémens des sections coniques. Les lieux géométriques. La construction ou effection des équations. (In—12; 1679).
11. A. Andersoni Exercitationum mathematicarum Decas prima, etc. Paris. 1619, in—4°.
12. Въ Philosophical Transactions 1676, n° 129, помѣщенъ благопріятный отзывъ о сочиненіи Де-Лагира, но ничего не говорится о его Planiconiques.
    Въ Journal des Savans (1676, 17 Décembre) послѣ разбора первой части сочиненія сказаны о planiconiques только слѣдующія слова, которыхъ было бы достаточно, чтобы предохранить эту теорію отъ забвенія: «Авторъ прибавилъ къ своему новому методу трактатъ о planiconiques, который чрезвычайно хорошъ и очень удобенъ, такъ какъ въ немъ нѣтъ надобности воображать ни какого-нибудь тѣла, ни плоскости, кромѣ той, на которой разсматривается фигура».
    Вольфъ въ своемъ комментаріѣ къ важнѣйшимъ сочиненіямъ геометровъ приводитъ всѣ другія сочиненія Де-Лагира, но совершенно опускаетъ то, о которомъ мы говоримъ. Монтукла не говоритъ о немъ ни слова. Впрочемъ Cornélius à Beughem упомянулъ о немъ въ Bibliographica mathematica и потомъ Murrhard также записалъ его въ Bibliotheca mathematica.
13. Это доказательство довольно трудно; начало перспективы, которое мы вывели изъ теоремы Дезарга, доставляетъ доказательство самое естественное и въ въ вышей степени простое.
14. Вмѣстѣ съ Монтуклой мы могли бы прибавить, что «предразсудки бываютъ даже въ геометріи, и рѣдко люди, привыкшіе долгое время къ разсужденіямъ извѣстнаго рода, бываютъ расположены оставить старыя привычки и усвоить себѣ новыя сужденія». (Histoire des mathématiques, t. II, p. 144.)
15. Отзывы объ этомъ сочиненіи были помѣщены въ Journal des Savans 1704 и въ Acta eruditorum 1707 года.
    Въ довольно обширной статьѣ Journal des Savans предполагается кажется, что способъ Ле-Пуавра заимствованъ у Де-Лагира. Но мы не можемъ согласиться съ этимъ мнѣніемъ, потому что пути изобрѣтенія слишкомъ различны въ этихъ двухъ способахъ. Прибавимъ къ этому, что сочиненіе Ле-Пуавра содержитъ еще открытіе, котораго нѣтъ въ сочиненіи Де-Лагира и которое не было замѣчено авторомъ статьи Journal des Savans; тамъ находимъ именно другой способъ образованія этихъ фигуръ, основанный на ихъ метрическихъ соотношеніяхъ; способъ этотъ могъ бы повести Ле-Пуавра къ весьма важнымъ слѣдствіямъ, если бы авторъ развилъ далѣе свою счастливую мысль.
    Лейпцигскій журналъ отзывается очень благосклонно о сочиненіи Ле-Пуавра; тамъ говорится: «Non solum intra paucas pagellas palmarias sectionum conicarum proprietates mira facilitate ac perspicuitate explicat; sed inter eas quoque aliquot proponit antea parum cognitas».
16. Чтобы убѣдиться въ этомъ, проложимъ кривую, которую мы построили въ пространствѣ, на плоскость круга со всѣми линіями, служившими для построенія. Въ проложеніи получимъ кривую и прямыя, служащія именно для ея построенія, точно также какъ прямыя въ пространствѣ служили для построенія сѣченія конуса; другими словами, построеніе кривой въ проложеніи будетъ совершенно сходно съ построеніемъ кривой въ пространствѣ; если при этомъ возьмемъ проэктирующія линіи перпендикулярныя, къ слѣду плоскости сѣченія на плоскости основанія и одинаково наклоненныя къ этимъ двумъ плоскостямъ, то въ проложеніи получится кривая совершенно одинаковая съ кривой сѣченія; слѣдовательно это будетъ коническое сѣченіе.
    Отсюда же видно, что при распространеніи на коническія сѣченія свойствъ круга нужны одни и тѣ же доказательства, будемъ ли мы разсматривать коническое сѣченіе въ плоскости круга, или въ пространствѣ.
17. За неизвѣстное лучше принять разстояніе точки $M'$ отъ $S$; въ этомъ случаѣ формула естественнымъ образомъ ведетъ къ различнымъ свойствамъ коническихъ сѣченій, между прочимъ къ свойствамъ фокусовъ, о которыхъ авторъ не говоритъ ничего. Для этого достаточно помѣстить точку $S$ въ центръ образующаго круга.
    Послѣднее замѣчаніе касательно положенія точки $S$ относится также и къ Трактату Де-Лагира, въ которомъ онъ доказываетъ свойства фокусовъ, но не приходитъ къ этимъ точкамъ путемъ открытія, a предполагаетъ ихъ извѣстными a priori, такъ какже и Аполлоній въ «коническихъ сѣченіяхъ». Помѣщая полюсъ въ центрѣ круга, но при какомъ угодно положеніи образующей и направляющей (лишь бы онѣ были параллельны между собою), мы получаемъ коническое сѣченіе, для котораго полюсъ служитъ фокусомъ: при этомъ различныя свойства круга непосредственно приводятъ къ свойствамъ фокусовъ коническаго сѣченія.
18. Geometrical analysis and Geometry of curve lines, etc., Edinburgh 1821, in -8°.