Вторая эпоха: Паскаль.
[73]Паскаль. (1623—1662). Въ тоже самое время Паскаль, обративъ вниманіе, съ свойственною его уму проницательностію, на способъ недѣлимыхъ Каваллери, доказалъ его съ полною строгостію и въ самомъ общемъ видѣ приложилъ къ труднѣйшимъ вопросамъ о поверхностяхъ, объемахъ и центрахъ тяжести тѣлъ. Эти изысканія, представляющія драгоцѣнный памятникъ силы человѣческаго ума, касались близко интегральнаго исчисленія; они составляютъ связь между Архимедомъ и Ньютономъ.
При помощи этого способа Паскаль превзошелъ всѣхъ знаменитѣйшихъ геометровъ въ изысканіяхъ свойствъ циклоиды.
Эта знаменитая кривая, исторія которой тѣсно связана со всѣми великими открытіями XVII вѣка, была уже предметомъ изученія Галилея, Декарта, Фермата, Роберваля, Торичелли. Оставленная на нѣкоторое время, она была снова выведена на сцену Паскалемъ, который какъ бы желалъ, чтобы многочисленные трудные вопросы, къ которымъ даетъ поводъ эта кривая, служили испытаніемъ и мѣрою силъ и способностей геометровъ того времени. Уренъ, Слюзъ, Валлисъ, Гюйгенсъ, Ла-Люберъ, Фабри отозвались на этотъ вызовъ и каждый изъ нихъ разрѣшилъ большую или меньшую часть предложенныхъ вопросовъ, оставляя Паскалю славу полнаго рѣшенія. Послѣ этого циклоида вступила въ третью фазу, во время изобрѣтенія дифференціальнаго исчисленія. Сверхъ прекрасныхъ и разнообразныхъ геометрическихъ свойствъ, она обнаружила тогда въ рукахъ Ньютона, Лейбница, Бернулли и маркиза Лопиталя еще новыя свойства, почерпнутыя изъ механическихъ
[74]соображеній и увеличившія еще болѣе важность и знаменитость этой удивительной кривой линіи.
Движеніе колеса по плоскости, служившее поводомъ къ открытію циклоиды, представляетъ другое образованіе этой кривой, на которое, мнѣ кажется, не было обращено вниманія, именно: обвертка пространства, пробѣгаемаго діаметромъ колеса, есть также циклоида[1].
Изученіе этой кривой повело къ цѣлому многочисленному классу линій, производимыхъ движеніемъ данной кривой по другой неподвижной кривой; эти линіи были разсматриваемы во всей общности Лейбницемъ, Де-Лагиромъ, Николемъ и др. Германъ и Клеро распространили ту же теорію на кривыя линіи, описываемыя подобнымъ же образомъ на сферѣ.
16. Труды Паскаля по другому отдѣлу геометріи, относящемуся къ геометрическому анализу древнихъ и къ теоріи коническихъ сѣченій, заслуживаютъ вниманія не менѣе его замѣчательныхъ изслѣдованій циклоиды и не менѣе другихъ приложеній способа Каваллери. Въ этихъ изслѣдованіяхъ, также какъ и въ сочиненіи Дезарга объ этомъ предметѣ, мы находимъ зародышъ новѣйшихъ ученій, составляющихъ новую геометрію. Поэтому мы должны говорить съ нѣкоторою подробностію объ этой части открытій Паскаля.
Самое выдающееся изъ нихъ есть открытіе прекрасной теоремы о мистическомъ шестиугольникѣ (hexagramme mystique), которая была удивительнымъ орудіемъ въ рукахъ Паскаля. Подъ этимъ названіемъ разумѣется то свойство всякаго вписаннаго въ коническое сѣченіе шестиугольника, что три точки встрѣчи противоположныхъ сторонъ всегда находятся на одной прямой. Коническое сѣченіе опредѣляется пятью точками; поэтому теорема заключаетъ въ себѣ соотношеніе между положеніемъ всякой шестой точки кривой и пятью данными точками, и слѣдовательно эта
[75]теорема выражаетъ собою основное и характеристическое свойство коническихъ сѣченій. Вотъ почему Паскаль, которому тогда, какъ самъ онъ говоритъ[2], было не болѣе шестнадцати лѣтъ, принялъ ее за основаніе своего полнаго трактата о коническихъ сѣченіяхъ. Это сочиненіе не дошло до насъ; Лейбницъ, который во время своего пребыванія въ Парижѣ имѣлъ его въ своихъ рукахъ, передаетъ намъ въ письмѣ, написанномъ въ 1676 году къ Перье (Perier), племяннику Паскаля, заглавія шести частей, или отдѣловъ, изъ которыхъ составлено было это сочиненіе.
Заглавіе 1-й части показываетъ, что Паскаль пользовался началами перспективы для образованія коническихъ сѣченій помощію круга и такимъ образомъ выводилъ свойства ихъ изъ свойствъ круга. Этотъ пріемъ, по словамъ Лейбница, лежалъ въ основаніи всего сочиненія.
Во 2-й части говорилось о мистическомъ шестиугольникѣ. «Показавъ оптическое образованіе коническихъ сѣченій, говоритъ Лейбницъ, посредствомъ проложенія круга на плоскость, пересѣкающую конусъ лучей, онъ объясняегъ замѣчательныя свойства нѣкоторой фигуры, составленной изъ шести прямыхъ линій и называемой имъ мистическимъ шестиугольникомъ».
Въ 3-й части находились приложенія этого шестиугольника: свойства хордъ и діаметровъ, раздѣленныхъ гармонически, и, по всей вѣроятности, теоремы, составляющія теорію полюсовъ[3].
[76]
4-я часть заключала въ себѣ предложенія объ отрѣзкахъ на сѣкущихъ, проведенныхъ параллельно двумъ неподвижнымъ прямымъ, и свойства фокусовъ.
Въ 5-й части разрѣшались задачи о построеніи коническаго сѣченія, удовлетворяющаго даннымъ условіямъ, т. е. проходящаго черезъ данныя точки и касающагося данныхъ прямыхъ.
Наконецъ 6-я часть озаглавлена Лейбницемъ словами: De loco solido. По нѣкоторымъ словамъ можно догадываться, что здѣсь шла рѣчь о знаменитой задачѣ Паппа: ad tres aut quatuor lineas.
Въ нѣкоторыхъ открывкахъ заключались сверхъ того различныя задачи.
17. Къ счастію, Паскаль, по случаю этого большаго трактата, собралъ подъ заглавіемъ Essai pour les coniques нѣкоторыя важнѣйшія теоремы, которыя должны были въ немъ заключаться, желая подвергнуть ихъ сужденію геометровъ и узнать ихъ мнѣніе, прежде нежели продолжать свой трудъ. Объ этомъ Essai, появившемся въ 1640 году, когда Паскалю былъ едва шестнадцать лѣтъ, говорится въ нѣкоторыхъ письмахъ Декарта, которому Мерсеннъ послалъ это сочиненіе. Съ тѣхъ поръ оно болѣе вѣка оставалось въ забвеніи, изъ котораго было вызвано только въ 1779 году, благодаря Боссю (Bossut), который помѣстилъ его въ полномъ изданіи Oeuvres de Pascal.[4]
Это сочиненіе, въ семь страницъ in 8-o, есть драгоцѣнный остатокъ открытій и метода великаго Паскаля въ области коническихъ сѣченій.
Вотъ весьма краткій разборъ его.
Вначалѣ изложена, въ видѣ леммы, изъ которой должно проистекать все остальное, знаменитая теорема о шестиугольникѣ.
[77]
Первое изъ слѣдующихъ затѣмъ предложеній относится также къ шестиугольнику, вписанному въ коническое сѣченіе: это — соотношеніе между отрѣзками, образуемыми на двухъ сторонахъ двумя другими сторонами и двумя діагоналями. Въ сущности это соотношеніе есть ничто иное какъ теорема Дезарга о инволюціи шести точекъ; но оно представлено съ иной точки зрѣнія и поэтому способно къ иного рода приложеніямъ. Мы разовьемъ подробнѣе эту мысль въ Примѣчаніи XV.
Слѣдующее предложеніе, выраженное въ видѣ двойнаго равенства отношеній, заключаетъ въ себѣ различныя теоремы. Первая изъ нихъ есть 129-я теорема 7-й книги «Математическаго Собранія» Паппа; она подала намъ поводъ къ введенію понятія объ ангармоническомъ отношеніи и мы говорили уже, что она можетъ служить основаніемъ для значительной части новой геометріи.[5] Вторая теорема есть Птоломеева о треугольникѣ, пересѣченномъ трансверсалью.[6]
Затѣмъ слѣдуетъ предложеніе, которое, если принять во внитяіе Птоломееву теорему, приводитъ къ прекрасному и весьма важному свойству коническихъ сѣченій относительно отрѣзковъ, образуемыхъ этими кривыми на сторонахъ треугольника, — теорема, доказанная въ послѣднее время знаменитымъ авторомъ Geometrie de position.
Слѣдующее послѣ этого предложеніе есть тоже свойство коническихъ сѣченій, распространенное, вмѣсто треугольника, на какой-нибудь четыреугольникъ[7]. Эта теорема, обобщенная Карно, который доказалъ ее для многоугольника и для какой угодно геометрической кривой и распространилъ даже на кривыя поверхности
[78][8], есть одна изъ самыхъ богатыхъ слѣдствіями теоремъ въ ученіи о трансверсаляхъ.
Послѣ этого мы встрѣчаемъ знаменитую теорему о инволюціи шести точекъ, «первымъ изобрѣтателемъ которой былъ Дезаргъ, одинъ изъ величайшихъ умовъ своего времени, обладавшій глубокими знаніями въ математикѣ и, между прочимъ, въ теоріи коническихъ сѣченій». Паскаль прибавляетъ, что «старался подражать его методу въ этомъ предметѣ, который онъ изложилъ безъ помощи осеваго треугольника и изслѣдовалъ въ общемъ видѣ всѣ роды коническихъ сѣченій»[9].
18. Извѣстно богатство слѣдствій, проистекающихъ изъ вышеприведенныхъ теоремъ, и потому очень понятно, что Паскаль положилъ ихъ, какъ самъ онъ объявилъ это, въ основаніе полнаго трактата о коническихъ сѣченіяхъ; сами эти теоремы выведены изъ мистическаго шестиугольника; такимъ образомъ Паскаль изъ одного основнаго предложенія получилъ до 400 слѣдствій, какъ это говоритъ Мерсеннъ въ сочиненіи De mensuris, ponderibus etc., in fol. 1644[10]. (См. Прим. XIII).
Нетрудно замѣтить, что каждая изъ этихъ главныхъ теоремъ выражаетъ извѣстное свойство шести точекъ коничеекаго сѣченія, и это объясняетъ намъ, какимъ образомъ Паскаль могъ ихъ получить изъ своего мистическаго шестиугольника, который заключаетъ въ себѣ общее свойство такихъ шести точекъ. Но каждая изъ теоремъ получила свою особую форму, удобную для извѣстнаго
[79]рода примѣненій, которыя такимъ образомъ вели къ безчисленному множеству свойствъ коническихъ сѣченій.
Это въ высшей степени полезное умѣнье выводить изъ одного принципа большое число истинъ, — умѣнье, которому мы не встрѣчаемъ примѣровъ въ сочиненіяхъ древнихъ, составляетъ главное преимущество нашихъ новѣйшихъ методовъ.
19. Паскаль написалъ нѣсколько другихъ сочиненій по геометріи въ томъ же стилѣ, какъ его Traité des coniques. Намъ извѣстны только ихъ заглавія, благодаря замѣткѣ, переданной Паскалемъ въ 1654 году[11] обществу ученыхъ, собиравшихся поперемѣнно другъ у друга прежде основанія Академіи Наукъ, которое было въ 1666 году.
Здѣсь мы узнаемъ, что Паскаль, по примѣру Вьета, но съ значительнымъ обобщеніемъ и посредствомъ чрезвычайно простаго способа, разрѣшилъ задачи о прикосновеніи круговъ, затѣмъ соотвѣтственныя задачи о прикосновеніи шаровъ; что онъ написалъ трактатъ о плоскихъ мѣстахъ, гораздо болѣе обширный и значительный, чѣмъ все сдѣланное по этому предмету древними и новыми геометрами, и притомъ посредствомъ новаго и чрезвычайно удобнаго пріема; наконецъ, что онъ изобрѣлъ новый способъ перспективы, доведенный до возможной простоты, потомучто всякая точка изображенія строилась помощію пересѣченія двухъ прямыхъ линій.
Этихъ слабыхъ указаній, находящихся въ замѣткѣ Паскаля, достаточно, чтобы сожалѣть объ утратѣ сочиненій, въ которыхъ долженъ былъ блистать изобрѣтательный геній этого глубокаго геометра и то замѣчательное искуство, съ какимъ онъ умѣлъ всегда обобщить первое открытіе и извлечь всѣ заключенныя въ немъ истины.
Примѣчанія.
- ↑ Эпициклоиды также способны къ такому двоякому происхожденію и отсюда выводятся различныя свойства этихъ кривыхъ.
Если вмѣсто діаметра будемъ разсматривать въ движущемся кругѣ какую нибудь хорду, то огибающею будетъ развертывающая эпициклоиды.
- ↑ Conicorum opus completum, et conica Apollonii et alia innumera unica fere propositione amplectens; guod quidem nondum sex decimum aetatis annuum assecutus excogitavi, et deinde in ordinem congessi. (Oeuvres de Pascal, t. IV, p. 410).
- ↑ Понселе въ Traité des propriétés projectiles, p. 101, уже высказалъ это мнѣніе, которое, какъ намъ кажется, нетрудно подтвердить. Въ самомъ дѣлѣ если предположимъ, что двѣ противоположныя стороны шестиугольника безконечно малы, то чертежъ представитъ намъ вписанный въ коническое сѣченіе четыреугольникъ и двѣ касательныя въ противоположныхъ его вершинахъ, и тогда теорема приводитъ непесредствевно къ слѣдующей, какъ къ простому слѣдствію: Когда въ коническое сѣченіе вписанъ четыреугольникъ, то касательныя, проведенныя въ противополжныхъ вершинахъ, пересѣкаются на прямой, соединяющей точки встрѣчи противоположныхъ сторонъ.
Кажется, что эта теорема соотвѣтствуетъ словамъ de quatuor tangentibus, et rectis puncta tactuum jungentibus, которыя составляютъ заглавіе 3-й части, и что это была одна изъ теоремъ, выведенныхъ Паскалемъ изъ своего шестиугольника. Но легко видѣть, что въ этой теоремѣ заключается вся теорія полюсовъ. На основаніи этого мы считаемъ доказаннымъ, что теорія полюсовъ заключалась въ числѣ приложеній, сдѣланныхъ Паскалемъ изъ его шестиугольника.
- ↑ [См. Œuvres de Blaise Pascal, T. I. Paris, 1923 (2-e éd.). Pag. 243-260. Руск. перев. Г. И. Игнациуса в «Историко-математических исследованиях», выпуск XIV (1961), стр. 603-624.]
- ↑ [См. Примѣчаніе IX.]
- ↑ [См. Примѣчаніе VI.]
- ↑ Если предположимъ, что двѣ вершины четыреугольника удалены въ безконечность, то отрѣзки, кончающіеся въ этихъ вершинахъ, будутъ равны, такъ какъ они безконечны и считаются отъ двухъ параллельныхъ прямыхъ; отсюда проистекаетъ прекрасное свойство коническихъ сѣченій, состоящее въ томъ, что произведенія отрѣзковъ на двухъ трансверсаляхъ, проводимыхъ изъ одной точки параллельно двумъ неподвижнымъ прямымъ, находятся въ постоянномъ отношеніи.
- ↑ Géométrie de position, р. 437.
- ↑ Говоря объ Аполлоніи, мы объяснили, что слѣдуетъ понимать подъ именемъ осеваго треугольника; мы сказали что этотъ великій геометръ древности при образованіи коническихъ сѣченій предполагалъ сѣкущую плоскость перпендикулярною къ плоскости этого треугольника. Дезаргъ, какъ мы видимъ, и по его примѣру Паскаль, изслѣдовали коническія сѣченія гораздо болѣе общимъ способомъ, давая сѣкущей плоскости совершенво произвольное положеніе.
- ↑ Unica propositione universalissima, 400 corollariis armata, integrum Apollonium complexus est.
- ↑ Oeuvres de Pascal, t. IV, р. 408. [2-е éd., t. III. Paris, 1923. Pag. 293 и сл.]
|
Сканы, размещённые на Викискладе