Первое изъ слѣдующихъ затѣмъ предложеній относится также къ шестиугольнику, вписанному въ коническое сѣченіе: это — соотношеніе между отрѣзками, образуемыми на двухъ сторонахъ двумя другими сторонами и двумя діагоналями. Въ сущности это соотношеніе есть ничто иное какъ теорема Дезарга о инволюціи шести точекъ; но оно представлено съ иной точки зрѣнія и поэтому способно къ иного рода приложеніямъ. Мы разовьемъ подробнѣе эту мысль въ Примѣчаніи XV.
Слѣдующее предложеніе, выраженное въ видѣ двойнаго равенства отношеній, заключаетъ въ себѣ различныя теоремы. Первая изъ нихъ есть 129-я теорема 7-й книги «Математическаго Собранія» Паппа; она подала намъ поводъ къ введенію понятія объ ангармоническомъ отношеніи и мы говорили уже, что она можетъ служить основаніемъ для значительной части новой геометріи.[1] Вторая теорема есть Птоломеева о треугольникѣ, пересѣченномъ трансверсалью.[2]
Затѣмъ слѣдуетъ предложеніе, которое, если принять во внитяіе Птоломееву теорему, приводитъ къ прекрасному и весьма важному свойству коническихъ сѣченій относительно отрѣзковъ, образуемыхъ этими кривыми на сторонахъ треугольника, — теорема, доказанная въ послѣднее время знаменитымъ авторомъ Geometrie de position.
Слѣдующее послѣ этого предложеніе есть тоже свойство коническихъ сѣченій, распространенное, вмѣсто треугольника, на какой-нибудь четыреугольникъ[3]. Эта теорема, обобщенная Карно, который доказалъ ее для многоугольника и для какой угодно геометрической кривой и распространилъ даже на кривыя поверхности
- ↑ [См. Примѣчаніе IX.]
- ↑ [См. Примѣчаніе VI.]
- ↑ Если предположимъ, что двѣ вершины четыреугольника удалены въ безконечность, то отрѣзки, кончающіеся въ этихъ вершинахъ, будутъ равны, такъ какъ они безконечны и считаются отъ двухъ параллельныхъ прямыхъ; отсюда проистекаетъ прекрасное свойство коническихъ сѣченій, состоящее въ томъ, что произведенія отрѣзковъ на двухъ трансверсаляхъ, проводимыхъ изъ одной точки параллельно двумъ неподвижнымъ прямымъ, находятся въ постоянномъ отношеніи.
