Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов/Примечание IX/ДО

Примѣчаніе VIII. : Объ ангармонической функціи четырехъ точекъ, или четырехъ прямыхъ.
авторъ Мишель Шаль, пер. В.Я. Цингеръ

Оригинал: фр. Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en Géométrie particulièrement de celles qui se rapportent à la Géométrie moderne. — Изъ цикла «Историческій обзоръ происхожденія и развитія геометрическихъ методовъ». Перевод созд.: 1829-1835 гг., опубл: 1837, перев. 1870-83 гг. Источникъ: Сканы, размещённые на Викискладе

Объ ангармонической функціи четырехъ точекъ, или четырехъ прямыхъ.

Примѣчаніе къ n° 30

Когда четыре точки $a,\,b,\,c,\,d$ лежатъ на одной прямой, то функцію

${\frac {ac}{ad}}:{\frac {bc}{bd}}$

мы назвали ангармоническимъ отношеніемъ четырехъ точекъ.

129-е предложеніе седьмой книги Паппа означаетъ, что если четыре прямыя выходятъ изъ одной точки, то всякая сѣкущая встрѣчаетъ ихъ въ четырехъ точкахъ, ангармоническое отношеніе которыхъ имѣетъ всегда одну и ту же величину, каково бы ни было положеніе сѣкущей.

Это свойство ангармонической функціи отличаетъ ее отъ всѣхъ другихъ функцій, которыя можно составить изъ отрѣзковъ между четырьмя точками.

Но ангармоническая функція обладаетъ другимъ, еще болѣе важнымъ ствойствомъ, изъ котораго первое можетъ быть выведено, какъ слѣдствіе, именно:

Если изъ произвольной точки проведемъ прямыя къ четыремъ точкамъ, расположеннымь на одной прямой, то ангармоническая функція этихъ четырехъ точекъ будетъ равна результату подстановки въ ту же функцію вмѣсто четырехъ отрѣзковъ, ее составляющихъ, синусовъ угловъ между прямыми заключающими эти отрѣзки.

Мы представили ангармоническое отношеніе четырехъ точекъ $a,\,b,\,c,\,d$ въ видѣ функціи

${\frac {ac}{ad}}:{\frac {bc}{bd}}$;

но можно взять также двѣ другія функціи

${\frac {ac}{ab}}:{\frac {dc}{db}}$, ${\frac {ab}{ad}}:{\frac {cb}{cd}}$.

Для четырехъ точекъ $a,\,b,\,c,\,d$ нельзя составить четвертой подобной же функціи. Слѣдовательно, ангармоническое отношеніе четырехъ точекъ можетъ выражаться въ трехъ видахъ.

Если одна изъ точекъ находится въ безконечности, то ангармоническое отношеніе упрощается и содержитъ только два отрѣзка. Если, напримѣръ, точка $d$ удалена въ безконечность, то ангармоническое отношеніе четырехъ точекъ $a,\,b,\,c$ и точки безконечно удаленной выразится слѣдующимн тремя способами:

${\frac {ac}{cb}}$, ${\frac {ca}{ab}}$, ${\frac {ba}{bc}}$.

Пусть $a,\,b,\,c,\,d$ будутъ четыре точки на одной прямой и $a',\,b',\,c',\,d'$ четыре соотвѣтствующія имъ точки на другой прямой; положимъ, что ангармоническое отношеніе однѣхъ равно ангармоническому отношенію другихъ, т. е имѣетъ мѣсто одно изъ трехъ слѣдующихъ уравненій:

${\frac {ac}{ad}}:{\frac {bc}{bd}}={\frac {a'c'}{a'd'}}:{\frac {b'c'}{b'd'}}$, ${\frac {ac}{ab}}:{\frac {dc}{db}}={\frac {a'c'}{a'b'}}:{\frac {d'c'}{b'b'}}$, ${\frac {ab}{ad}}:{\frac {cb}{cd}}={\frac {a'b'}{a'd'}}:{\frac {c'b'}{c'd'}}$.

(A.)

Говорю, что тогда два другія уравненія будутъ уже слѣдствіями этого. Такимъ образомъ одно изъ трехъ уравненій (А) заключаетъ въ себѣ два другія. Повѣрить это можно посредствомъ вычисленія. Но гораздо легче воспользоваться для доказательства этого свойства ангармонической функціи геометрическими соображеніями. Помѣстимъ двѣ прямыя, на которыхъ находятся двѣ разсматриваемыя системы точекъ, такимъ образомъ, чтобы двѣ соотвѣтственныя точки $d,\,d'$ слились въ одну точку $D$; проведемъ прямыя $aa',\,bb',\,cc'$; эти три прямыя пройдутъ черезъ одну и ту же точку. Дѣйствительно, положимъ, что $S$, есть точка пересѣченія двухъ первыхъ $aa'$ и $bb'$. Проведемъ $SD$ и $Sc$; положимъ, что $Sc$ встрѣчаетъ прямую $a'b'c'$ въ $\gamma$; на основаніи вышеприведеннаго предложенія Паппа будемъ имѣть

${\frac {ac}{aD}}:{\frac {bc}{bD}}={\frac {a'\gamma }{a'D}}:{\frac {b'\gamma }{b'D}}$;

допустимъ, что имѣетъ мѣсто первое изъ уравненій (A); вставляя въ него $D$ вмѣсто $d$ и сравнивая съ послѣднимъ уравненіемъ, увидимъ, что точка $\gamma$ совпадаетъ съ $c'$. Откуда слѣдуетъ, что три прямыя $aa'$, $bb'$, $cc'$ проходятъ черезъ одну и туже точку $S$.

Разсматривая четыре прямыя $Saa'$, $Sbb'$, $Scc'$ и $SD$, пересѣченныя двумя трансверсалями $abcD$, $a'b'c'D$, мы на основаніи предложенія Паппа заключимъ, что два послѣднія изъ уравненій (A) также справедливы.

Такимъ образомъ каждое изъ уравненій (A) ведетъ за собою два другія.

Поэтому равенство ангармоническихъ отношеній въ двухъ системахъ четырехъ точекъ, соотвѣтствующихъ другъ другу попарно, можетъ быть выражено тремя способами, изъ которыхъ каждый заключаетъ въ себѣ остальные.

На этомъ важномъ свойствѣ ангармонической функціи будетъ основано много полезныхъ приложеній.

Такъ, напримѣръ, изъ него прямо слѣдуетъ, что каждое изъ семи уравненій, выражающихъ инволюціонное соотношеніе между щестью точками, заключаетъ въ себѣ шесть остальныхъ.

Равенство ангармоническихъ отношеній двухъ системъ четырехъ точекъ можетъ быть также выражено посредствомъ трехчленныхъ уравненій, которыя часто бываютъ полезны.

Такъ, кромѣ трехъ уравненій (A), имѣемъ еще слѣдующія:

${\frac {ac}{ad}}:{\frac {bc}{bd}}+{\frac {a'b'}{a'd'}}:{\frac {c'b'}{c'd'}}=1$ ${\frac {ac}{ab}}:{\frac {dc}{db}}+{\frac {a'd'}{a'b'}}:{\frac {c'd'}{c'b'}}=1$ ${\frac {ab}{ad}}:{\frac {cb}{cd}}+{\frac {a'c'}{a'd'}}:{\frac {b'c'}{b'd'}}=1$

(B.)

Каждое изъ этихъ трехъ уравненій, выражая равенство ангармоническихъ отношеній въ двухъ системахъ точекъ, заключаетъ въ себѣ два другія и три прежнія.

Однимъ словомъ, каждое изъ шести уравненій (A) и (B) заключаетъ въ себѣ пять остальныхъ.

Доказать уравненія (B) нетрудно. Первое, напримѣръ, вслѣдствіе третьяго изъ уравненій (A), принимаетъ видъ:

${\frac {ac}{ad}}:{\frac {bc}{bd}}+{\frac {ab}{ad}}:{\frac {cb}{cd}}=1$;

остается доказать это уравненіе. Для этого сдѣлаемъ перспективное проложеніе прямой $abcd$ на другую прямую такимъ образомъ, чтобы перспектива точки $d$ была въ безконечности; пусть $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma$ будутъ перспективы точекъ $a,\,b,\,c$; такъ какъ ангармоническая функція проэктивна, мы будемъ имѣть:

${\frac {ac}{ad}}:{\frac {bc}{bd}}={\frac {\alpha \beta }{\beta \gamma }}$ и ${\frac {ab}{ad}}:{\frac {cb}{cd}}={\frac {\alpha \beta }{\gamma \beta }}$

и наше уравненіе обратится въ

${\frac {\alpha \beta }{\beta \gamma }}+{\frac {\alpha \beta }{\gamma \beta }}$, или $\beta \alpha +\alpha \gamma =\beta \gamma$.

Но это есть тождественное соотношеніе между тремя точками $\beta ,\,\alpha ,\,\gamma$, если предположимъ, что онѣ расположены въ томъ же порядкѣ, какъ написаны.

Такимъ образомъ уравненія (B) доказаны. Замѣтимъ, что уравненіе, написанное выше, обращается, по уничтоженіи знаменателей, въ

$ab.cd-ac.bd+bc.ad=0$

и представляетъ общее соотношеніе между какими-нибудь четырьмя точками, лежащими на одной прямой.

Соотношеніе это было доказано Эйлеромъ алгебраически и геометрически. Первый способъ доказательства состоитъ въ томъ, что вмѣсто нѣкоторыхъ множителей вставляются ихъ выраженія въ функціи другихъ и такимъ образомъ уравненіе обращается въ тождество. При второмъ доказательствѣ составляется чертежъ, изображающій три прямоугольника, входящіе въ уравненіе, и легко обнаруживается, что одинъ изъ нихъ равенъ суммѣ двухъ другихъ (Петербургскіе Novi Commentarii, томъ I, 1747 и 1748 года. Variae demonstrationes Geometrirae).

Понселе также доказалъ это соотношеніе въ Mémoire sur les centres des moyennes harmoniques. (Journal von Crelle, t. III, p. 269).

По отношенію къ четыремъ прямымъ, исходящимъ изъ одной точки, кругъ имѣетъ свойство, сходное съ тѣмъ, которое принадлежитъ двумъ прямымъ трансверсалямъ и которое выражается уравненіями (A) и (B).

Это свойство состоитъ въ томъ, что

Если четыре прямыя, исходящія изъ одной точки, встрѣчаютъ окружность: первая въ $a,\,a'$, вторая въ $b,\,b'$, третья въ $c,\,c'$ и четвертая въ $d,\,d'$, то получается соотношеніе

${\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}ca}{\sin {\tfrac {1}{2}}cb}}:{\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}da}{\sin {\tfrac {1}{2}}db}}={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}c'a'}{\sin {\tfrac {1}{2}}c'b'}}:{\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}d'a'}{\sin {\tfrac {1}{2}}d'b'}}$

Это уравненіе соотвѣтствуетъ первому изъ уравненій (A). Такимъ же образомъ получимъ уравненія подобныя двумъ другимъ уравненіямъ (A) и три уравненія, подобныя уравненіямъ (B).

Это свойство круга ведетъ ко многимъ новымъ предложеніямъ.

Мы приглашаемъ геометровъ обратить полное вниманіе на понятіе объ ангармоническомъ отношеніи, которое, несмотря на то, что оно весьма элементарно, можетъ быть въ высшей степени полезно при множествѣ геометрическихъ изслѣдованій, гдѣ оно будетъ доставлять легкія и возможно простыя доказательства. Мы воспользуемся имъ въ Примѣчаніи X объ инволюціи шести точекъ и въ Примѣчаніяхъ ХV и XVI для доказательства, можно сказать въ нѣсколькихъ словахъ, самыхъ общихъ свойствъ коническихъ сѣченій.

Не менѣе будетъ полезна эта теорія и въ геометріи трехъ измѣреній.

Для примѣра предложимъ себѣ доказать двоякое образованіе помощію прямой линіи гиперболоида съ одною полостью, что можетъ быть выражено слѣдующими словами:

Поверхность, образуемая движущеюся прямою, опирающеюся на три неподвижныя прямыя, можетъ быть образуема другимъ образомъ, именно движеніемъ прямой, опирающейся на три положенія первой образующей; поверхность эта имѣетъ свойство пересѣкаться со всякою плоскостію по коническому сѣченію.

Первая часть этого предложенія основывается на слѣдующихъ двухъ леммахъ, изъ которыхъ одна есть взаимная другой, и которыя обѣ настолько важны, что ихъ можно разсматривать какъ особыя теоремы.

Теорема I. Если изъ четырехъ прямыхъ каждая опирается на три неподвижныя прямыя, расположенныя какимъ угодно образомъ въ пространствѣ, то ангармоническое отношеніе отрѣзковъ, образуемыхъ ими на одной изъ этихъ трехъ прямыхь, равно ангармоническому отношенію отрѣзковъ, образуемыхъ на каждой изъ двухъ другхъ.

Пусть $L,\,L',\,L''$ будутъ три данныя линіи въ пространствѣ; $a,\,b,\,c,\,d$ — точки пересѣченія прямыхъ $A,\,B,\,C,\,D$ съ линіею $L$, $a',\,b',\,c',\,d'$ и $a'',\,b'',\,c'',\,d''$ — точки пересѣченія тѣхъ же прямыхъ съ $L'$ и $L''$. Говорю, что ангармоническое отношеніе для точекъ $a,\,b,\,c,\,d$ и для точекъ $a,\,b,\,c,\,d$ одинаково. Дѣйствительно, какъ то, такъ и другое изъ этихъ ангармоническихъ отношеній равно ангармоническому отношенію четырехъ плоскостей, которыя всѣ пересѣкатся по линіи $L''$ и проходятъ соотвѣтственно черезъ четыре прямыя $A,\,B,\,C,\,D$. Слѣдовательно оба ангармоническія отношенія одинаковы. Теорема II. Обратно: Если четыре прямыя пересѣкаются съ двумя неподвижными прямыми въ пространствѣ такъ, что ангармоническія отношенія отрѣзковъ, образуемыхъ на этихъ двухъ прямыхъ, одинаковы, то всякая прямая, опирающаяся на три изъ этихъ четырехъ прямыхъ, необходимо пересѣчется четвертою.

Пусть $L,\,L'$ будутъ двѣ неподвижныя прямыя въ пространствѣ и пусть прямыя $A,\,B,\,C,\,D$ пересѣкаютъ первую въ точкахъ $a,\,b,\,c,\,d$, а вторую въ $a',\,b',\,c',\,d'$ такъ, что при этомъ:

${\frac {ca}{cb}}:{\frac {da}{db}}={\frac {c'a'}{c'b'}}:{\frac {d'a'}{d'b'}}$;

надобно доказать, что эти четыре прямыя таковы, что всякая прямая $L''$, опирающаяся на три изъ нихъ $A,\,B,\,C$, необходимо встрѣтится съ четвертою $D$.

Для этого черезъ точку $d$ прямой $L$ проведемъ прямую $D'$, опирающуюся на прямыя $L'$ и $L''$, пусть $\delta '$, $\delta ''$ будутъ точки пересѣченія ея съ $L'$, $L''$. Такъ какъ четыре прямыя $A,\,B,\,C,\,D'$ опираются на три прямыя $L,\,L',\,L''$, то на основаніи теоремы I имѣемъ:

${\frac {ca}{cb}}:{\frac {da}{db}}={\frac {c'a'}{c'b'}}:{\frac {\delta 'a'}{\delta 'b'}}$.

Сравнивая это уравненіе съ предыдущимъ, видимъ, что точка $d'$ совпадаетъ съ $d'$ . Слѣдовательно прямая $D'$, проведенная черезъ точку $d$ и опирающаяся на $L'$ и $L''$, есть ничто иное, какъ прямая $D$. Поэтому прямая $L''$, опирающаяся на $A,\,B,\,C$, пересѣкается съ $D$. Такимъ оброзомъ теорема доказана.

Представимъ себѣ теперь три прямыя $L,\,L',\,L''$ въ пространствѣ и пусть $A,\,B,\,C,\,D$ и т. д. будутъ различныя положенія движущейся прямой, опирающеися на эти три прямыя: говорю, что всякая прямая $M$, опирающаяся на $A,\,B,\,C$, необходимо пересѣчется съ $D$. Дѣйствительно, прямыя $A,\,B,\,C,\,D$, на основаніи теоремы I, образуютъ на $L,\,L'$ отрѣзки, ангармоническія отношенія которыхъ равны, и потому, вслѣдствіе теоремы II, всякая прямая, опирающаяся на три изъ этихъ прямыхъ, необходимо пересѣчется съ четвертою. Итакъ: когда движущаяся прямая опирается на три неподвижныя прямыя, то всякая прямая, опирающаяся на три положенія движущейся прямой, пересѣчется со всѣми другими положеніями ея.

Въ этомъ состіоитъ первая часть предложенной теоремы.

Для доказательства второй части разсмотримъ какую нибудь сѣкущую плоскость, встрѣчающуйся съ прямыми $L,\,L'$ въ точкахъ $\lambda ,\,\lambda '$ и съ прямыми $A,\,B,\,C,\,D$ въ точкахъ $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma ,\,\delta$. Эти шесть точекъ лежатъ на кривой пересѣченія поверхности съ плоскостію. Надобно доказать, что онѣ находятся на коническомъ сѣченіи. Для этого достаточно обнаружить, согласно съ общимъ свойствомъ коническихъ сѣченій, которое будетъ доказано въ Примѣчаніи XV, что ангармоническое отношеніе четырехъ прямыхъ, соединяющихъ $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma ,\,\delta$ съ точкою $\lambda$, равно ангармоническому отношенію четырехъ прямыхъ, соединяющихъ тѣ же точки съ $\lambda$. Но ангармоническое отношеніе четырехъ прямыхъ $\lambda \alpha ,\,\lambda \beta ,\,\lambda \gamma ,\,\lambda \delta$ принадлежитъ также четыремъ плоскостямъ, проведеннымъ черезъ $L$ и пересѣкающимся съ cекущею плоскостью по этимъ прямымъ; ангармоническое отношеніе плоскостей въ свою очередь принадлежитъ четыремъ точкамъ, въ которыхъ прямыя $A,\,B,\,C,\,D$ лежащія въ этихъ плоскостяхъ, встрѣчаются съ прямою $L'$. Подобнымъ же образомъ ангармоническое отношеніе четырехъ прямыхъ $\lambda '\alpha ,\,\lambda '\beta ,\,\lambda '\gamma ,\,\lambda '\delta$ равно ангармоническому отношенію четырехъ точекъ пересѣченія прямыхь $A,\,B,\,C,\,D$ съ прямою $L$. Но эти два ангармоническія отношенія точекъ встрѣчи прямыхъ $A,\,B,\,C,\,D$ съ $L$ и $L'$ равны между собою (теорема I): слѣдовательно четыре прямыя $\lambda \alpha ,\,\lambda \beta ,\,\lambda \gamma ,\,\lambda \delta$ и четыре прямыя $\lambda '\alpha ,\,\lambda '\beta ,\,\lambda '\gamma ,\,\lambda '\delta$ имѣютъ равныя ангармоническія отношенія. Поэтому шесть точекъ $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma ,\,\delta ,\,\lambda ,\,\lambda '$ лежатъ на коническомъ сѣченій, Отсюда заключаемъ, что сѣченіе поверхности всякою плоскостію есть коническое сѣченіе. Что и слѣдовало дотазать.

Такимъ образомъ теорема о двоякомъ образованіи гиперболоида съ одною полостію движеніемъ прямой линіи доказана вполнѣ и притомъ помощію совершенно элементарныхъ геометрическихъ соображеній.

Въ анализѣ доказываютъ, что прямыя, проведенныя черезъ какую-нибудь точку пространства параллельно образующимъ гиперболоида, образуютъ конусъ втораго порядка. Теорія ангармоническаго отношенія даетъ чрезвычайно простое доказательство и для этого предложенія. Достаточно для этого примѣнить къ сѣченію конуса плоскостію тѣ же разсужденія, которыя мы только что употребили для плоскаго сѣченія гиперболоида; легко обнаружится, что это сѣченіе есть также кривая втораго порядка.

Слѣдствіе. Теорема I, разсматриваемая по отношенію къ гиперболоиду, выражаетъ слѣдующее свойство этой поверхности:

Въ гиперболоидѣ съ одною полостію четыре образующія одного рода опредѣляютъ на какой нибудъ образующей втораго роди четыре отрѣзка, ангармоническое отношеніе которыхъ сохраняетъ одинаковую величину, каково бы ни было положеніе этой образующей втораго рода.

Если, напримѣръ, $a,\,b,\,c,\,d$ будутъ точки, въ которыхъ четыре образующія перваго рода $A,\,B,\,C,\,D$ встрѣчаютъ образующую втораго рода $L$ и $a',\,b',\,c',\,d'$ точки встрѣчи тѣхъ же образующихъ перваго рода съ другою образующею втораго рода $L'$, то

${\frac {ca}{cb}}:{\frac {da}{db}}={\frac {c'a'}{c'b'}}:{\frac {d'a'}{d'b'}}$.

Это уравненіе можно написать въ такомъ видѣ:

${\frac {ca}{cb}}={\frac {c'a'}{c'b'}}\left({\frac {da}{db}}:{\frac {d'a'}{d'b'}}\right)$ или ${\frac {ca}{cb}}={\frac {c'a'}{c'b'}}{\mbox{Const.}}$

Это можно выразить такъ: если имѣемъ четыреугольникъ $abb'a'$ и раздѣлимъ противоположныя стороны его $ab,\,a'b'$ въ точкахъ $c,\,c'$ такъ, чтобы

${\frac {ca}{cb}}={\frac {c'a'}{c'b'}}{\mbox{Const.}}$,

то прямая $cc'$ образуетъ гиперболоидъ съ одною полостью.

Мы еще прежде доказали другимъ способомъ это свойство гиперболоида, служившее до сихъ поръ для доказательства двоякаго образованія этой поверхности (Correspondance sur l'école polytechnique, t. II, p. 446).

---