Страница:Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов (Шаль) 2.djvu/51

Теорема II. Обратно: Если четыре прямыя пересѣкаются съ двумя неподвижными прямыми въ пространствѣ такъ, что ангармоническія отношенія отрѣзковъ, образуемыхъ на этихъ двухъ прямыхъ, одинаковы, то всякая прямая, опирающаяся на три изъ этихъ четырехъ прямыхъ, необходимо пересѣчется четвертою.

Пусть $L,\,L'$ будутъ двѣ неподвижныя прямыя въ пространствѣ и пусть прямыя $A,\,B,\,C,\,D$ пересѣкаютъ первую въ точкахъ $a,\,b,\,c,\,d$, а вторую въ $a',\,b',\,c',\,d'$ такъ, что при этомъ:

${\frac {ca}{cb}}:{\frac {da}{db}}={\frac {c'a'}{c'b'}}:{\frac {d'a'}{d'b'}}$;

надобно доказать, что эти четыре прямыя таковы, что всякая прямая $L''$, опирающаяся на три изъ нихъ $A,\,B,\,C$, необходимо встрѣтится съ четвертою $D$.

Для этого черезъ точку $d$ прямой $L$ проведемъ прямую $D'$, опирающуюся на прямыя $L'$ и $L''$, пусть $\delta '$, $\delta ''$ будутъ точки пересѣченія ея съ $L'$, $L''$. Такъ какъ четыре прямыя $A,\,B,\,C,\,D'$ опираются на три прямыя $L,\,L',\,L''$, то на основаніи теоремы I имѣемъ:

${\frac {ca}{cb}}:{\frac {da}{db}}={\frac {c'a'}{c'b'}}:{\frac {\delta 'a'}{\delta 'b'}}$.

Сравнивая это уравненіе съ предыдущимъ, видимъ, что точка $d'$ совпадаетъ съ $d'$ . Слѣдовательно прямая $D'$, проведенная черезъ точку $d$ и опирающаяся на $L'$ и $L''$, есть ничто иное, какъ прямая $D$. Поэтому прямая $L''$, опирающаяся на $A,\,B,\,C$, пересѣкается съ $D$. Такимъ оброзомъ теорема доказана.

Представимъ себѣ теперь три прямыя $L,\,L',\,L''$ въ пространствѣ и пусть $A,\,B,\,C,\,D$ и т. д. будутъ различныя положенія движущейся прямой, опирающеися на эти три прямыя: говорю, что всякая прямая $M$, опирающаяся на $A,\,B,\,C$, необходимо пересѣчется съ $D$. Дѣйствительно, прямыя $A,\,B,\,C,\,D$, на основаніи теоремы I, образуютъ на $L,\,L'$ отрѣзки, ангармоническія отношенія которыхъ равны, и потому, вслѣдствіе теоремы II, всякая прямая, опирающаяся на три изъ этихъ прямыхъ, необходимо пересѣчется съ четвертою.