Страница:Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов (Шаль) 2.djvu/46

но можно взять также двѣ другія функціи

${\frac {ac}{ab}}:{\frac {dc}{db}}$, ${\frac {ab}{ad}}:{\frac {cb}{cd}}$.

Для четырехъ точекъ $a,\,b,\,c,\,d$ нельзя составить четвертой подобной же функціи. Слѣдовательно, ангармоническое отношеніе четырехъ точекъ можетъ выражаться въ трехъ видахъ.

Если одна изъ точекъ находится въ безконечности, то ангармоническое отношеніе упрощается и содержитъ только два отрѣзка. Если, напримѣръ, точка $d$ удалена въ безконечность, то ангармоническое отношеніе четырехъ точекъ $a,\,b,\,c$ и точки безконечно удаленной выразится слѣдующимн тремя способами:

${\frac {ac}{cb}}$, ${\frac {ca}{ab}}$, ${\frac {ba}{bc}}$.

Пусть $a,\,b,\,c,\,d$ будутъ четыре точки на одной прямой и $a',\,b',\,c',\,d'$ четыре соотвѣтствующія имъ точки на другой прямой; положимъ, что ангармоническое отношеніе однѣхъ равно ангармоническому отношенію другихъ, т. е имѣетъ мѣсто одно изъ трехъ слѣдующихъ уравненій:

${\frac {ac}{ad}}:{\frac {bc}{bd}}={\frac {a'c'}{a'd'}}:{\frac {b'c'}{b'd'}}$, ${\frac {ac}{ab}}:{\frac {dc}{db}}={\frac {a'c'}{a'b'}}:{\frac {d'c'}{b'b'}}$, ${\frac {ab}{ad}}:{\frac {cb}{cd}}={\frac {a'b'}{a'd'}}:{\frac {c'b'}{c'd'}}$.

(A.)

Говорю, что тогда два другія уравненія будутъ уже слѣдствіями этого. Такимъ образомъ одно изъ трехъ уравненій (А) заключаетъ въ себѣ два другія. Повѣрить это можно посредствомъ вычисленія. Но гораздо легче воспользоваться для доказательства этого свойства ангармонической функціи геометрическими соображеніями.