Страница:Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов (Шаль) 2.djvu/53

образуютъ конусъ втораго порядка. Теорія ангармоническаго отношенія даетъ чрезвычайно простое доказательство и для этого предложенія. Достаточно для этого примѣнить къ сѣченію конуса плоскостію тѣ же разсужденія, которыя мы только что употребили для плоскаго сѣченія гиперболоида; легко обнаружится, что это сѣченіе есть также кривая втораго порядка.

Слѣдствіе. Теорема I, разсматриваемая по отношенію къ гиперболоиду, выражаетъ слѣдующее свойство этой поверхности:

Въ гиперболоидѣ съ одною полостію четыре образующія одного рода опредѣляютъ на какой нибудъ образующей втораго роди четыре отрѣзка, ангармоническое отношеніе которыхъ сохраняетъ одинаковую величину, каково бы ни было положеніе этой образующей втораго рода.

Если, напримѣръ, $a,\,b,\,c,\,d$ будутъ точки, въ которыхъ четыре образующія перваго рода $A,\,B,\,C,\,D$ встрѣчаютъ образующую втораго рода $L$ и $a',\,b',\,c',\,d'$ точки встрѣчи тѣхъ же образующихъ перваго рода съ другою образующею втораго рода $L'$, то

${\frac {ca}{cb}}:{\frac {da}{db}}={\frac {c'a'}{c'b'}}:{\frac {d'a'}{d'b'}}$.

Это уравненіе можно написать въ такомъ видѣ:

${\frac {ca}{cb}}={\frac {c'a'}{c'b'}}\left({\frac {da}{db}}:{\frac {d'a'}{d'b'}}\right)$ или ${\frac {ca}{cb}}={\frac {c'a'}{c'b'}}{\mbox{Const.}}$

Это можно выразить такъ: если имѣемъ четыреугольникъ $abb'a'$ и раздѣлимъ противоположныя стороны его $ab,\,a'b'$ въ точкахъ $c,\,c'$ такъ, чтобы

${\frac {ca}{cb}}={\frac {c'a'}{c'b'}}{\mbox{Const.}}$,

то прямая $cc'$ образуетъ гиперболоидъ съ одною полостью.

Мы еще прежде доказали другимъ способомъ это свойство гиперболоида, служившее до сихъ поръ для доказательства двоякаго образованія этой поверхности (Correspondance sur l'école polytechnique, t. II, p. 446).