Помѣстимъ двѣ прямыя, на которыхъ находятся двѣ разсматриваемыя системы точекъ, такимъ образомъ, чтобы двѣ соотвѣтственныя точки слились въ одну точку ; проведемъ прямыя ; эти три прямыя пройдутъ черезъ одну и ту же точку. Дѣйствительно, положимъ, что , есть точка пересѣченія двухъ первыхъ и . Проведемъ и ; положимъ, что встрѣчаетъ прямую въ ; на основаніи вышеприведеннаго предложенія Паппа будемъ имѣть
- ;
допустимъ, что имѣетъ мѣсто первое изъ уравненій (A); вставляя въ него вмѣсто и сравнивая съ послѣднимъ уравненіемъ, увидимъ, что точка совпадаетъ съ . Откуда слѣдуетъ, что три прямыя , , проходятъ черезъ одну и туже точку .
Разсматривая четыре прямыя , , и , пересѣченныя двумя трансверсалями , , мы на основаніи предложенія Паппа заключимъ, что два послѣднія изъ уравненій (A) также справедливы.
Такимъ образомъ каждое изъ уравненій (A) ведетъ за собою два другія.
Поэтому равенство ангармоническихъ отношеній въ двухъ системахъ четырехъ точекъ, соотвѣтствующихъ другъ другу попарно, можетъ быть выражено тремя способами, изъ которыхъ каждый заключаетъ въ себѣ остальные.
На этомъ важномъ свойствѣ ангармонической функціи будетъ основано много полезныхъ приложеній.
Такъ, напримѣръ, изъ него прямо слѣдуетъ, что каждое изъ семи уравненій, выражающихъ инволюціонное соотношеніе между щестью точками, заключаетъ въ себѣ шесть остальныхъ.
Равенство ангармоническихъ отношеній двухъ системъ четырехъ точекъ можетъ быть также выражено посредствомъ трехчленныхъ уравненій, которыя часто бываютъ полезны.
Такъ, кромѣ трехъ уравненій (A), имѣемъ еще слѣдующія:
