Страница:Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов (Шаль) 2.djvu/52

Эта страница была вычитана

Итакъ: когда движущаяся прямая опирается на три неподвижныя прямыя, то всякая прямая, опирающаяся на три положенія движущейся прямой, пересѣчется со всѣми другими положеніями ея.

Въ этомъ состіоитъ первая часть предложенной теоремы.

Для доказательства второй части разсмотримъ какую нибудь сѣкущую плоскость, встрѣчающуйся съ прямыми въ точкахъ и съ прямыми въ точкахъ . Эти шесть точекъ лежатъ на кривой пересѣченія поверхности съ плоскостію. Надобно доказать, что онѣ находятся на коническомъ сѣченіи. Для этого достаточно обнаружить, согласно съ общимъ свойствомъ коническихъ сѣченій, которое будетъ доказано въ Примѣчаніи XV, что ангармоническое отношеніе четырехъ прямыхъ, соединяющихъ съ точкою , равно ангармоническому отношенію четырехъ прямыхъ, соединяющихъ тѣ же точки съ . Но ангармоническое отношеніе четырехъ прямыхъ принадлежитъ также четыремъ плоскостямъ, проведеннымъ черезъ и пересѣкающимся съ cекущею плоскостью по этимъ прямымъ; ангармоническое отношеніе плоскостей въ свою очередь принадлежитъ четыремъ точкамъ, въ которыхъ прямыя лежащія въ этихъ плоскостяхъ, встрѣчаются съ прямою . Подобнымъ же образомъ ангармоническое отношеніе четырехъ прямыхъ равно ангармоническому отношенію четырехъ точекъ пересѣченія прямыхь съ прямою . Но эти два ангармоническія отношенія точекъ встрѣчи прямыхъ съ и равны между собою (теорема I): слѣдовательно четыре прямыя и четыре прямыя имѣютъ равныя ангармоническія отношенія. Поэтому шесть точекъ лежатъ на коническомъ сѣченій, Отсюда заключаемъ, что сѣченіе поверхности всякою плоскостію есть коническое сѣченіе. Что и слѣдовало дотазать.

Такимъ образомъ теорема о двоякомъ образованіи гиперболоида съ одною полостію движеніемъ прямой линіи доказана вполнѣ и притомъ помощію совершенно элементарныхъ геометрическихъ соображеній.

Въ анализѣ доказываютъ, что прямыя, проведенныя черезъ какую-нибудь точку пространства параллельно образующимъ гиперболоида,