Страница:Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов (Шаль) 2.djvu/48

${\frac {ac}{ad}}:{\frac {bc}{bd}}+{\frac {a'b'}{a'd'}}:{\frac {c'b'}{c'd'}}=1$ ${\frac {ac}{ab}}:{\frac {dc}{db}}+{\frac {a'd'}{a'b'}}:{\frac {c'd'}{c'b'}}=1$ ${\frac {ab}{ad}}:{\frac {cb}{cd}}+{\frac {a'c'}{a'd'}}:{\frac {b'c'}{b'd'}}=1$

(B.)

Каждое изъ этихъ трехъ уравненій, выражая равенство ангармоническихъ отношеній въ двухъ системахъ точекъ, заключаетъ въ себѣ два другія и три прежнія.

Однимъ словомъ, каждое изъ шести уравненій (A) и (B) заключаетъ въ себѣ пять остальныхъ.

Доказать уравненія (B) нетрудно. Первое, напримѣръ, вслѣдствіе третьяго изъ уравненій (A), принимаетъ видъ:

${\frac {ac}{ad}}:{\frac {bc}{bd}}+{\frac {ab}{ad}}:{\frac {cb}{cd}}=1$;

остается доказать это уравненіе. Для этого сдѣлаемъ перспективное проложеніе прямой $abcd$ на другую прямую такимъ образомъ, чтобы перспектива точки $d$ была въ безконечности; пусть $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma$ будутъ перспективы точекъ $a,\,b,\,c$; такъ какъ ангармоническая функція проэктивна, мы будемъ имѣть:

${\frac {ac}{ad}}:{\frac {bc}{bd}}={\frac {\alpha \beta }{\beta \gamma }}$ и ${\frac {ab}{ad}}:{\frac {cb}{cd}}={\frac {\alpha \beta }{\gamma \beta }}$

и наше уравненіе обратится въ

${\frac {\alpha \beta }{\beta \gamma }}+{\frac {\alpha \beta }{\gamma \beta }}$, или $\beta \alpha +\alpha \gamma =\beta \gamma$.

Но это есть тождественное соотношеніе между тремя точками $\beta ,\,\alpha ,\,\gamma$, если предположимъ, что онѣ расположены въ томъ же порядкѣ, какъ написаны.

Такимъ образомъ уравненія (B) доказаны.