![{\displaystyle {\frac {ac}{ad}}:{\frac {bc}{bd}}+{\frac {a'b'}{a'd'}}:{\frac {c'b'}{c'd'}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/401041f458e22a566e54cbd6dfc26e1ebb2b0510)
![{\displaystyle {\frac {ac}{ab}}:{\frac {dc}{db}}+{\frac {a'd'}{a'b'}}:{\frac {c'd'}{c'b'}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8e0a3178bec829ac9e978d1e9a8470a2e8e4df9)
![{\displaystyle {\frac {ab}{ad}}:{\frac {cb}{cd}}+{\frac {a'c'}{a'd'}}:{\frac {b'c'}{b'd'}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2344463784873f2ee0678cb420dc9cf633887c3c)
|
(B.)
|
Каждое изъ этихъ трехъ уравненій, выражая равенство ангармоническихъ отношеній въ двухъ системахъ точекъ, заключаетъ въ себѣ два другія и три прежнія.
Однимъ словомъ, каждое изъ шести уравненій (A) и (B) заключаетъ въ себѣ пять остальныхъ.
Доказать уравненія (B) нетрудно. Первое, напримѣръ, вслѣдствіе третьяго изъ уравненій (A), принимаетъ видъ:
;
остается доказать это уравненіе. Для этого сдѣлаемъ перспективное проложеніе прямой
на другую прямую такимъ образомъ, чтобы перспектива точки
была въ безконечности; пусть
будутъ перспективы точекъ
; такъ какъ ангармоническая функція проэктивна, мы будемъ имѣть:
и ![{\displaystyle {\frac {ab}{ad}}:{\frac {cb}{cd}}={\frac {\alpha \beta }{\gamma \beta }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcbb4dbd4964d8a5cedf94120e703349edce838c)
и наше уравненіе обратится въ
, или
.
Но это есть тождественное соотношеніе между тремя точками
, если предположимъ, что онѣ расположены въ томъ же порядкѣ, какъ написаны.
Такимъ образомъ уравненія (B) доказаны.