Страница:Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов (Шаль) 2.djvu/45

ПРИМѢЧАНІЕ IX.
(Первая эпоха, n° 30)

Объ ангармонической функціи четырехъ точекъ, или четырехъ прямыхъ.

Когда четыре точки $a,\,b,\,c,\,d$ лежатъ на одной прямой, то функцію

${\frac {ac}{ad}}:{\frac {bc}{bd}}$

мы назвали ангармоническимъ отношеніемъ четырехъ точекъ.

129-е предложеніе седьмой книги Паппа означаетъ, что если четыре прямыя выходятъ изъ одной точки, то всякая сѣкущая встрѣчаетъ ихъ въ четырехъ точкахъ, ангармоническое отношеніе которыхъ имѣетъ всегда одну и ту же величину, каково бы ни было положеніе сѣкущей.

Это свойство ангармонической функціи отличаетъ ее отъ всѣхъ другихъ функцій, которыя можно составить изъ отрѣзковъ между четырьмя точками.

Но ангармоническая функція обладаетъ другимъ, еще болѣе важнымъ ствойствомъ, изъ котораго первое можетъ быть выведено, какъ слѣдствіе, именно:

Если изъ произвольной точки проведемъ прямыя къ четыремъ точкамъ, расположеннымь на одной прямой, то ангармоническая функція этихъ четырехъ точекъ будетъ равна результату подстановки въ ту же функцію вмѣсто четырехъ отрѣзковъ, ее составляющихъ, синусовъ угловъ между прямыми заключающими эти отрѣзки.

Мы представили ангармоническое отношеніе четырехъ точекъ $a,\,b,\,c,\,d$ въ видѣ функціи

${\frac {ac}{ad}}:{\frac {bc}{bd}}$;