что оно весьма элементарно, можетъ быть въ высшей степени полезно при множествѣ геометрическихъ изслѣдованій, гдѣ оно будетъ доставлять легкія и возможно простыя доказательства. Мы воспользуемся имъ въ Примѣчаніи X объ инволюціи шести точекъ и въ Примѣчаніяхъ ХV и XVI для доказательства, можно сказать въ нѣсколькихъ словахъ, самыхъ общихъ свойствъ коническихъ сѣченій.
Не менѣе будетъ полезна эта теорія и въ геометріи трехъ измѣреній.
Для примѣра предложимъ себѣ доказать двоякое образованіе помощію прямой линіи гиперболоида съ одною полостью, что можетъ быть выражено слѣдующими словами:
Поверхность, образуемая движущеюся прямою, опирающеюся на три неподвижныя прямыя, можетъ быть образуема другимъ образомъ, именно движеніемъ прямой, опирающейся на три положенія первой образующей; поверхность эта имѣетъ свойство пересѣкаться со всякою плоскостію по коническому сѣченію.
Первая часть этого предложенія основывается на слѣдующихъ двухъ леммахъ, изъ которыхъ одна есть взаимная другой, и которыя обѣ настолько важны, что ихъ можно разсматривать какъ особыя теоремы.
Теорема I. Если изъ четырехъ прямыхъ каждая опирается на три неподвижныя прямыя, расположенныя какимъ угодно образомъ въ пространствѣ, то ангармоническое отношеніе отрѣзковъ, образуемыхъ ими на одной изъ этихъ трехъ прямыхь, равно ангармоническому отношенію отрѣзковъ, образуемыхъ на каждой изъ двухъ другхъ.
Пусть будутъ три данныя линіи въ пространствѣ; — точки пересѣченія прямыхъ съ линіею , и — точки пересѣченія тѣхъ же прямыхъ съ и . Говорю, что ангармоническое отношеніе для точекъ и для точекъ одинаково. Дѣйствительно, какъ то, такъ и другое изъ этихъ ангармоническихъ отношеній равно ангармоническому отношенію четырехъ плоскостей, которыя всѣ пересѣкатся по линіи и проходятъ соотвѣтственно черезъ четыре прямыя . Слѣдовательно оба ангармоническія отношенія одинаковы.
