Страница:Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов (Шаль) 1.djvu/157

Такимъ образомъ построеніе Ле-Пуавра прилагается къ образованію коническихъ сѣченій какъ въ плоскости, такъ и въ пространствѣ. Въ случаѣ плоскости это построеніе, какъ мы видимъ, одинаково съ построеніемъ Де-Лагира. Точка $S$ есть полюсъ, слѣдъ сѣкущей плоскости — образующая, a линія, параллельная ему —направляющая.

32. Вообще въ геометріи есть два способа примѣнять къ дѣлу рѣшенія, полученныя теоретическимъ путемъ. Первый способъ состоитъ въ томъ, что искомыя точки строятся посредствомъ пересѣченія линій; второй — въ томъ, что эти точки опредѣляются помощію формулъ, которыя путемъ вычисленія приводятъ къ числовымъ результатамъ. Всегда полезно искать рѣшеніе въ этихъ обоихъ видахъ, потому что каждый изъ нихъ знакомитъ съ свойствами фигуръ, которыя не указываются другимъ; вопросъ только тогда рѣшенъ окончательно, когда онъ изслѣдованъ со всѣхъ сторонъ, когда открыты и обнаружены всѣ, какъ графическія, такъ и метрическія свойства, выраженныя указанными вами двумя видами рѣшенія.

Изложенное нами построеніе коническаго сѣченія въ пространствѣ или на плоскости, принадлежитъ къ первому роду рѣшеній. Чтобы превратить его въ числовую форму, сравнимъ два подобные треугольника, имѣющіе общую вершину въ $S$; отсюда получимъ пропорцію между сторонами ихъ, прилежащими къ этой вершинѣ. Изъ этой пропорціи найдется разстояніе точки $M'$ коническаго сѣченія отъ соотвѣтствующей точки круга; это и будетъ искомая формула^[1].

1. За неизвѣстное лучше принять разстояніе точки $M'$ отъ $S$; въ этомъ случаѣ формула естественнымъ образомъ ведетъ къ различнымъ свойствамъ коническихъ сѣченій, между прочимъ къ свойствамъ фокусовъ, о которыхъ авторъ не говоритъ ничего. Для этого достаточно помѣстить точку $S$ въ центръ образующаго круга.
   Послѣднее замѣчаніе касательно положенія точки $S$ относится также и къ Трактату Де-Лагира, въ которомъ онъ доказываетъ свойства фокусовъ, но не приходитъ къ этимъ точкамъ путемъ открытія, a предполагаетъ ихъ извѣстными a priori, такъ какже и Аполлоній въ «коническихъ сѣченіяхъ». Помѣщая полюсъ въ центрѣ круга, но при какомъ угодно положеніи образующей и направляющей (лишь бы онѣ были параллельны между собою), мы получаемъ коническое сѣченіе, для котораго полюсъ служитъ фокусомъ: при этомъ различныя свойства круга непосредственно приводятъ къ свойствамъ фокусовъ коническаго сѣченія.

Тот же текст в современной орфографии

Таким образом построение Ле-Пуавра прилагается к образованию конических сечений как в плоскости, так и в пространстве. В случае плоскости это построение, как мы видим, одинаково с построением Де-Лагира. Точка $S$ есть полюс, след секущей плоскости — образующая, a линия, параллельная ему —направляющая.

32. Вообще в геометрии есть два способа применять к делу решения, полученные теоретическим путем. Первый способ состоит в том, что искомые точки строятся посредством пересечения линий; второй — в том, что эти точки определяются помощью формул, которые путем вычисления приводят к числовым результатам. Всегда полезно искать решение в этих обоих видах, потому что каждый из них знакомит с свойствами фигур, которые не указываются другим; вопрос только тогда решен окончательно, когда он исследован со всех сторон, когда открыты и обнаружены все, как графические, так и метрические свойства, выраженные указанными вами двумя видами решения.

Изложенное нами построение конического сечения в пространстве или на плоскости, принадлежит к первому роду решений. Чтобы превратить его в числовую форму, сравним два подобные треугольника, имеющие общую вершину в $S$; отсюда получим пропорцию между сторонами их, прилежащими к этой вершине. Из этой пропорции найдется расстояние точки $M'$ конического сечения от соответствующей точки круга; это и будет искомая формула^[1].

1. За неизвестное лучше принять расстояние точки $M'$ от $S$; в этом случае формула естественным образом ведет к различным свойствам конических сечений, между прочим к свойствам фокусов, о которых автор не говорит ничего. Для этого достаточно поместить точку $S$ в центр образующего круга.
   Последнее замечание касательно положения точки $S$ относится также и к Трактату Де-Лагира, в котором он доказывает свойства фокусов, но не приходит к этим точкам путем открытия, a предполагает их известными a priori, так как же и Аполлоний в «конических сечениях». Помещая полюс в центре круга, но при каком угодно положении образующей и направляющей (лишь бы они были параллельны между собой), мы получаем коническое сечение, для которого полюс служит фокусом: при этом различные свойства круга непосредственно приводят к свойствам фокусов конического сечения.