Страница:Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов (Шаль) 1.djvu/141

Вторая часть извѣстна и, слѣдовательно, уравненіе опредѣляетъ положеніе точки $\delta$ принадлежащей къ искомой линіи.

Это построеніе дѣлается въ высшей степени просто, если сѣкущую проведемъ параллельно одной изъ линій $a,b$, напримѣръ первой; потому что тогда ${\tfrac {\delta \alpha }{\gamma \alpha }}=1$ и уравненіе принимаетъ видъ:

$\delta \beta =n.\gamma \beta$.

Отрѣзокъ $\gamma \beta$ извѣстенъ, a потому извѣстенъ также и отрѣзокъ $\delta \beta$; такимъ образомъ точка $\delta$, a слѣдовательно и линія $d$, опредѣлены. Это общее построеніе какой угодно четвертой часовой линіи помощію трехъ какихъ нибудь данныхъ линій дѣйствительно, какъ мы уже говорили, столь же просто, какъ и построеніе Де-Лагира, въ которомъ считается необходимымъ знать семъ линій, вмѣсто трехъ.

Что касается до количества $n$, которое не дано прямо, но зависитъ отъ угловъ между четырьмя часовыми плоскостями $A,B,C,D$, то величину его легко найти графически, безъ помощи тригонометрическихъ линій, входящихъ въ его выраженіе. Для этого черезъ точку $O$ проведемъ четыре прямыя $OA',OB',OC',OD'$, образующія между собою углы, равные соотвѣтственно угламъ между часовыми плоскостями; проведемъ какую нибудь сѣкущую, которая пересѣчется съ этими прямыми въ точкахъ $\alpha ',\beta ',\gamma ',\delta '$, ангармоническое отношеніе этихъ четырехъ точекъ будетъ равно ангармоническому отношенію четырехъ плоскостей и мы будемъ имѣть:

${\frac {\gamma '\alpha '}{\gamma '\beta '}}:{\frac {\delta '\alpha '}{\delta '\beta '}}=n$.

Такова величина $n$. Выраженіе ея можно упростить, проводя сѣкущую параллельно одной изъ четырехъ прямыхъ $OA',OB',OC',OD'$, напримѣръ первой; тогда ${\tfrac {\gamma '\alpha '}{\delta '\alpha '}}=1$ и мы получимъ:

$n={\frac {\delta '\beta '}{\gamma '\beta '}}$.

23. Трактатъ о коническихъ сѣченіяхъ имѣлъ большой успѣхъ во всей ученой Европѣ и, благодаря ему, на Де-Лагира смотрѣли, какъ на самостоятельнаго писателя объ этомъ предметѣ. Дѣйствительно, его методъ, хотя чисто синтетическій, отличался существенно отъ метода древнихъ. Древніе разсматривали коническія сѣченія на конусѣ, но

Тот же текст в современной орфографии

Вторая часть известна и, следовательно, уравнение определяет положение точки $\delta$ принадлежащей к искомой линии.

Это построение делается в высшей степени просто, если секущую проведем параллельно одной из линий $a,b$, например первой; потому что тогда ${\tfrac {\delta \alpha }{\gamma \alpha }}=1$ и уравнение принимает вид:

$\delta \beta =n.\gamma \beta$.

Отрезок $\gamma \beta$ известен, a потому известен также и отрезок $\delta \beta$; таким образом точка $\delta$, a следовательно и линия $d$, определены. Это общее построение какой угодно четвертой часовой линии помощью трех каких нибудь данных линий действительно, как мы уже говорили, столь же просто, как и построение Де-Лагира, в котором считается необходимым знать сем линий, вместо трех.

Что касается до количества $n$, которое не дано прямо, но зависит от углов между четырьмя часовыми плоскостями $A,B,C,D$, то величину его легко найти графически, без помощи тригонометрических линий, входящих в его выражение. Для этого через точку $O$ проведем четыре прямые $OA',OB',OC',OD'$, образующие между собою углы, равные соответственно углам между часовыми плоскостями; проведем какую нибудь секущую, которая пересечется с этими прямыми в точках $\alpha ',\beta ',\gamma ',\delta '$, ангармоническое отношение этих четырех точек будет равно ангармоническому отношению четырех плоскостей и мы будем иметь:

${\frac {\gamma '\alpha '}{\gamma '\beta '}}:{\frac {\delta '\alpha '}{\delta '\beta '}}=n$.

Такова величина $n$. Выражение её можно упростить, проводя секущую параллельно одной из четырех прямых $OA',OB',OC',OD'$, например первой; тогда ${\tfrac {\gamma '\alpha '}{\delta '\alpha '}}=1$ и мы получим:

$n={\frac {\delta '\beta '}{\gamma '\beta '}}$.

23. Трактат о конических сечениях имел большой успех во всей ученой Европе и, благодаря ему, на Де-Лагира смотрели, как на самостоятельного писателя об этом предмете. Действительно, его метод, хотя чисто синтетический, отличался существенно от метода древних. Древние рассматривали конические сечения на конусе, но