Третья эпоха: Гюйгенсъ.
[114]11. Гюйгенсъ (Huygens, 1629—1695) знаменитъ весьма многими трудами и они имѣютъ такое важное значеніе для геометріи, что мы должны войти здѣсь въ нѣкоторыя подробности.
Этотъ великій геометръ основательно зналъ способъ Декарта, пользовался имъ и усовершенствовалъ его во многихъ приложеніяхъ. Но по непреодолимой склонности Гюйгенсъ
[115]оставался вѣренъ способу древнихъ и здѣсь сила его генія умѣла торжествовать надъ величайшими трудностями.
Чтобы указать мѣсто, которое долженъ занимать Гюйгенсъ въ исторіи математики, достаточно замѣтитъ, что Ньютонъ называлъ его великимъ (Summus Hugenius) и говорилъ о его открытіяхъ не иначе какъ съ удивленіемъ. «Онъ считалъ его самымъ краснорѣчивымъ изъ всѣхъ новыхъ математиковъ и самымъ лучшимъ подражателемъ древнихъ, которыхъ доказательства по изяществу и формѣ заслуживаютъ удивленія»[1].
Приводимъ обзоръ открытій, которыми Гюйгенсъ обязанъ геометріи древнихъ и которыя обнаруживаютъ, какъ много способы древнихъ могутъ доставить тому, кто съумѣетъ постигнуть ихъ сущность и усмотрѣть свойственные имъ пути нагляднаго изслѣдованія.
Занимаясь приблизительнымъ опредѣленіемъ квадратуры круга и гиперболы, Гюйгенсъ открылъ нѣсколько новыхъ и любопытныхъ соотношеній между этими двума кривым.
Онъ далъ распрямленіе циссоиды; до тѣхъ поръ извѣстны были только распрямленія кубической параболы и циклоиды.
Онъ опредѣлилъ величину поверхности для параболическихъ и гиперболическихъ коноидовъ — первый примѣръ подобнаго опредѣленія величины кривыхъ поверхностей.
Ему мы обязаны любопытными теоремами о логариѳмикѣ и образуемыхъ ею тѣлахъ. Эти теоремы только указаны Гюйгенсомъ въ концѣ его рѣчи о причинѣ тяжести; онѣ доказаны Гвидо-Гранди по способу древнихъ.
[116]
Гюйгенсъ разрѣшилъ
- задачу о цѣпной линіи; задача эта первоначально представилась Галилею, но не была имъ правильно рѣшена, потомъ снова выведена на сцену Яковомъ Бернулли,
- задачу о кривой равныхъ разстояній (courbe aux approches égales), предложенную Лейбницемъ ученикамъ Декарта, какъ вызовъ по поводу спора объ измѣреніи живой силы.
Обѣ эти задачи по мнѣнію знаменитыхъ геометровъ, ихъ предложившихъ, необходимо требовали пріемовъ интегральнаго исчисленія; Гюйгенсъ же съумѣлъ разрѣшить ихъ только помощію способовъ древней геометріи.
12. Знаменитое сочиненіе De horologio oscillatorio[2] должно занимать мѣсто въ исторіи великихъ открытій человѣческаго ума на ряду съ Principia Ньютона; оно служитъ ему необходимымъ введеніемъ, которое Ньютонъ необходимо долженъ бы былъ создать, если бы не былъ предупрежденъ геніемъ Гюйгенса.
Каждая глава этого сочиненія возбуждаетъ удивленіе.
Въ первой главѣ описываются часы съ маятникомъ, послужившіе въ первый разъ средствомъ для точнаго измѣренія времени.
Вторая глава, подъ заглавіемъ De descensu gravium, пополняла собою великое открытіе Галилея объ ускореніи тѣлъ, cвободно падающихъ или скользящихъ по наклонной плоскости, отъ тяжести. Гюйгенсъ разсматриваетъ ихъ движеніе по какимъ нибудь даннымъ кривымъ. Здѣсь онъ доказалъ то знаменитое свойство циклоиды, что она есть таутохрона въ пустомъ пространствѣ.
Содержаніе третьей главы (De evolutione et dimensione linearum curvarum) есть извѣстная теорія развертокъ, — важное пріобрѣтеніе для теоріи кривыхъ линій, получившее обширное и частое примѣненіе во всѣхъ частяхъ математики. Это замѣчательное открытіе не осталось въ рукахъ Гюйгенса простымъ геометрическимъ соображеніемъ. Онъ вывелъ изъ него весьма удачныя слѣдствія для доказательства множества новыхъ и замѣчательныхъ предложеній, каковы различныя
[117]теоремы о распрямленіи кривыхъ и то свойство циклоиды, что ея развертка есть другая равная ей циклоида, которую можно разсматривать какъ ту же циклоиду, но перемѣщенную по направленію основанія на длину полуокружности образующаго круга, a въ направленіи перпендикулярномъ къ основанію — на длину діаметра этого круга[3].
Въ четвертой главѣ Horologium oscillatorium Гюйгенсъ разрѣшаетъ общимъ и полнымъ образомъ знаменитую задачу о центрѣ качаній, предложенную Мерсенномъ и сильно занимавшую Декарта и Роберваля. Въ рѣшеніи Гюйгенса встрѣчается въ первый разъ одно изъ самыхъ лучшихъ началъ механики, сдѣлавшееся впослѣдствіи извѣстнымъ подъ именемъ начала сохраненія живыхъ силъ.
Наконецъ пятая глава, гдѣ Гюйгенсъ даетъ другое построеніе своихъ часовъ, оканчивается тринадцатью знаменитыми теоремами о центробѣжной силѣ круговаго движенія.
Приложеніе этого ученія къ движенію земли вокругъ оси и къ движенію луны около земли, — приложеніе, зачатокъ котораго находится въ 2, 3 и 5 изъ этихъ теоремъ, — привело Ньютона къ открытію тяготѣнія между луною и землей. На это же ученіе можно смотрѣть, какъ на дополненіе къ теоріи развертокъ; оно естественнымъ образомъ вело къ познанію центральной силы криволинейнаго движенія, которая есть также одно изъ величайшихъ открытій Ньютона, доставившее ему доказательство à priori знаменитыхъ законовъ Кеплера. Но эти выводы ускользнули отъ ума Гюйгенса, занятаго множествомъ другихъ великихъ соображеній.
[118]
13. Сочиненіе о свѣтѣ[4] есть одно изъ самыхъ прекрасныхъ произведеній генія Гюйгенса; съ удивительнымъ искуствомъ онъ умѣлъ примѣнить здѣсь геометрію къ своей геніальной теоріи волнъ. Особенно замѣчателенъ въ этомъ сочиненіи прекрасный законъ явленій двойнаго лучепреломленія, открытый Гюйгенсомъ въ исландскомъ шпатѣ. Здѣсь встрѣчаемъ первое, кажется, примѣненіе къ явленіямъ природы поверхностей втораго порядка. Это великое открытіе было пополнено Френелемъ, который для объясненія явленій поляризаціи свѣта ввелъ вмѣсто эллипсоидальныхъ волнъ Гюйгенса поверхность четвертаго порядка[5]. Френель, похищенный
[119]преждевременною смертью у наукъ математическихъ и физическихъ, въ которыхъ онъ уже былъ первостепеннымъ дѣятелемъ, своими изслѣдованіями придалъ новую жизнь теоріи Гюйгенса, которая болѣе ста лѣтъ находилась въ необъяснимомъ забвеніи; онъ доставилъ ее на то мѣсто, которое она должна занимать въ ряду великихъ истинъ физическаго міра.
Слѣдуетъ указать еще на одинъ прекрасный математическій выводъ, полученный Гюйгенсомъ изъ его Теоріи свѣта: выводъ, который въ послѣднее время былъ вновь полученъ Кетле и только послѣ этого обратилъ на себя вниманіе геометровъ и принесъ надлежащіе плоды. Гюйгенсъ, при помощи своей системы волнъ, нашелъ слѣдующее предложеніе: «положимъ, что падающіе лучи, исходящіе изъ неподвижной точки или параллельные между собою, преломляются, встрѣчая кривую линію; представимъ себѣ кругъ описанный изъ свѣтящей точки, какъ изъ центра, или прямую линію перпендикулярную къ направленію параллельныхъ лучей; если изъ каждой точки преломляющей кривой, какъ изъ центра, опишемъ окружность радіусомъ, длина котораго находится въ извѣстномъ постоянномъ отношеніи къ разстоянію этой точки отъ круга, или отъ неподвижной прямой, то огибающая такихъ новыхъ окружностей будетъ кривая, къ которой нормальны всѣ преломленные лучи».
Кривая эта представляетъ преломленную волну. Отсюда Гюйгенсъ вывелъ законъ постояннаго отношенія синусовъ угловъ паденія и преломленія.
Такимъ образомъ Гюйгенсъ разсматривалъ кривую нормальную къ преломленнымъ лучамъ, подобно тому, какъ Чирнгаузенъ
[120]впослѣдствіи[6] разсматривалъ огибающую этихъ лучей. Но только послѣдняя кривая произвела впечатлѣніе на умы геометровъ и изученіе ея сдѣлалось основаніемъ для ихъ трудовъ по оптикѣ. Первая же осталась незамѣченною, какъ будто бы она не основывалась, подобно той, на чисто геометрическомъ построеніи, независимомъ отъ сомнительной въ то время системы, послужившей къ ея открытію.
Между тѣмъ, кривая Гюйгенса вообще гораздо проще, чѣмъ кривая Чирнгаузена и гораздо удобнѣе примѣняется къ изученію оптическихъ свойствъ кривыхъ линій. Достаточно сказать, напримѣръ, что каустическая Чернгаузена, образуемая при преломленіи на кругѣ, не поддалась до сихъ поръ никакимъ усиліямъ анализа, который не можетъ даже дать ея уравненія, тогда какъ соотвѣтственная кривая Гюйгенса есть просто овалъ Декарта — кривая четвертаго порядка, свойства и уравненіе которой получаются посредствомъ нѣкоторыхъ геометрическихъ соображеній, или посредствомъ нѣсколькихъ строкъ вычисленія[7].
Не смотря на это, кривыя Гюйгенcа остались незамѣченными и только десять лѣтъ тому назадъ Кетле, стараясь
[121]уменьшить затрудненія, представляемыя анализомъ въ вопросахъ о преломленіи свѣта, задумалъ замѣнить въ этой теоріи каустическія линіи Чернгаузена — ихъ развертывающими; слѣдуя этой счастливой мысли, онъ пришелъ, путемъ чисто геометрическихъ соображеній, къ построенію этихъ развертывающихъ, какъ огибающихъ перемѣщающагося круга; такимъ образомъ эти кривыя соотвѣтствуютъ, какъ мы видимъ, преломленнымъ волнамъ Гюйгенса; Кетле назвалъ ихъ вторичными каустическими (caustiques secondaires); этотъ искусный геометръ распространилъ тоже ученіе на случай, когда падающіе лучи перпендикулярны къ данной кривой, и также на случай, когда падающіе лучи въ пространствѣ нормальны къ данной поверхности[8].
Это обобщеніе также заключалось уже въ теоріи Гюйгенса. Изъ него, получается прямо слѣдующій прекрасный законъ преломленія свѣта: «падающіе лучи, нормальные къ одной и той же поверхности, обладаютъ тѣмъ же свойствомъ и послѣ преломленія ихъ другою какою нибудь поверхностью; и, слѣдовательно, раздѣляются послѣ преломленія на двѣ группы, образующія два ряда развертывающихся, пересѣкающихъ другъ друга подъ прямыми углами». Малюсъ замѣтилъ первый справедливость этой теоремы для пучка лучей, выходящихъ изъ одной точки, или параллельныхъ между собою; но онъ полагалъ, на основаніи весьма сложныхъ вычисленій, что теорема не можетъ быть распространена на систему лучей, нормальныхъ къ какой нибудь поверхности[9]. Дюпенъ, путемъ чисто геометрическихъ соображеній, придалъ въ первый разъ теоремѣ Малюса всго свойственную ей общность[10].
Изъ предыдущихъ замѣчаній видно, какіе полезные и богатые задатки нашли бы въ трактатѣ о свѣтѣ Гюйгенса геометры, если бы они захотѣли ранѣе довѣриться указаніямъ
[122]этого великаго генія. Замѣчательный примѣръ медленности, съ какою подвигаются и совершенствуются наши положительныя знанія, и суровый урокъ для гордости человѣческаго ума.
Можетъ быть это отступленіе чуждо развитію собственно геометрическихъ методовъ, но, по крайней мѣрѣ, оно касается лучшихъ приложеній ихъ къ наукамъ физическимъ; оно, можегъ быть, привлечетъ кого нибудь изъ нашихъ молодыхъ читателей къ этому еще новому роду геометрическихъ изысканій, обѣщающему обильные результаты[11].
14. Удивительная глубина мысли, обнаруженная Гюйгенсомъ во всѣхъ этихъ важныхъ вопросахъ, подвергнутыхъ имъ геометрическому изслѣдованію, отличаетъ также его изысканія въ механикѣ; напримѣръ въ знаменитой задачѣ объ ударѣ тѣлъ, разрѣшенной имъ въ одно время съ Валлисомъ и Вреномъ, и также — въ его астрономическихъ открытіяхъ, поставившихъ его имя нераздѣльно съ именами Кеплера, Галилея и Ньютона.
Хотя способъ древнихъ былъ постоянно почти единственнымъ орудіемъ для его сужденій и изслѣдованій, однако ему были извѣстны всѣ пріемы не только Декартовой геометріи, но и новаго вычисленія Лейбница; это великое открытіе онъ изучилъ, какъ только оно появилось, и умѣлъ оцѣнить всѣ выгоды его[12].
Примѣчанія.
- ↑ Pemberton, въ предисловіи къ элементамъ Ньютоновой философіи. Можно думать, что это справедливое удивленіе геометрическому стилю Гюйгенса вызвало въ великомъ Ньютонѣ нѣкотораго рода соревнованіе, вслѣдствіе котораго онъ предпочедъ этотъ же способъ изложенія въ своемъ безсмертномъ сочиненіи Principia, хотя владѣлъ уже всѣми пособіями новаго анализа.
Говоря это, мы повторлемъ мнѣніе, высказанное Морисомъ (baron Maurice) въ его превосходной статьѣ: Notice sur la vie et les travaux d'Huygens.
- ↑ [Русский перевод К.К. Баумгарта: Маятниковые часы // Х. Гюйгенс. Три мемуара по механике. Изд-во АН СССР, 1951.]
- ↑ При такомъ расположеніи, циклоида вмѣстѣ съ своей разверткой образуетъ какъ бы двухъ-этажный мостъ: точки опоры верхняго этажа лежатъ на высшихъ точкахъ нижняго.
Обыкновенно говорятъ, что развертка циклоиды есть вторая циклоида равная и обратно расположенная (posée dans une position renversée, ou bien posée en sens contraire). (См. Analyse des infiniment petits du marquis de L'Hôpital, p. 92 и Histoire des Mathématiques de Montucla, t. II p. 72, 154). Такой способъ выраженія ошибоченъ и потому то мы подробно описали взаимное положеніе циклоиды и ея развертки.
- ↑ [Русский перевод: Гюйгенс Х. Трактат о свете, в котором объяснены причины того, что с ним происходит при отражении и преломлении, в частности при странном преломлении исландского кристалла. М.–Л.: ОНТИ, 1935.]
- ↑ Для этой поверхности четвертаго порядка Френель предложилъ слѣдующее весьма замѣчательное геометрическое построеніе, благодаря которому главная роль во всей этой теоріи остается за поверхностями втораго порядка: представимъ себѣ эллипсоидъ (главныя полуоси котораго пропорціональны квадратнымъ корнямъ изъ трехъ главныхъ силъ упругости среды, или скоростямъ свѣта по направленію осей упругости); проведемъ черезъ центръ какую-нибудь сѣкущую и отложимъ на ней, считая отъ центра, отрѣзки, равные главнымъ полуосямъ эллипса, получаемаго отъ пересѣченія эллипсоида діаметральною плоскостію, перпендикулярною къ направленію сѣкущей: концы отрѣзковъ этихъ будутъ лежать на поверхности четвертаго порядка, о которой мы говоримъ. (См. Mémoire sur la double réfraction Френеля въ VІІ томѣ Mémoires de l'Académie; мемуаръ Ампера: Détermination de la surface courbe des ondes lumineuses dans un milieu dont l'élasticité est différente suivant les trois directions principales, etc. напечатанный въ Annales de chimie et de physique 1828 года; и Traité de la lumière de Herschel, traduction de M. M. Verhulst et Quetelet, томъ II, стр. 190).
Вслѣдствіе этой теоремы изъ прекрасныхъ законовъ поляризаціи, открытыхъ въ послѣднее время знаменитыми физиками, въ особенности Біо и докторомъ Брюстеромъ, получаются непосредственно геометрическія свойства эллипсоида и вообще поверхностей втораго порядка.
Такимъ образомъ оптическія явленія, уже бросившія яркій свѣтъ на внутреннее строеніе кристаллическихъ тѣлъ, могутъ принести пользу также и въ изученіи раціональной геометріи.
Едвали можно найти болѣе блестящій примѣръ взаимной связи между науками и болѣе очевидное доказательство тому, какъ необходима всѣмъ наукамъ взаимная помощь для вѣрнаго и быстраго движенія впередъ.
Главнымъ образомъ изъ этого сближенія можно, кажется, предвидѣть, что поверхностямъ втораго порядка суждено играть важную роль при выводѣ всѣхъ самыхъ общихъ законовъ природы; поэтому должно спѣшить открытіемъ и изученіемъ многочисленныхъ свойствъ этихъ поверхностей, какъ въ каждой изъ нихъ отдѣльно, такъ и во взаимныхъ отношеніяхъ ихъ между собою.
- ↑ Чирнгаузенъ въ 1682 году сообщилъ Парижской Академіи Наукъ свои первыя соображенія и первые результаты теоріи каустическихъ линій: Гюйгенсъ за три года до этого представилъ той же Академіи свое сочиненіе Traité de la Lumière. Въ то время Гюйгенсъ уже давно имѣлъ свою теорію развертокъ; поэтому ему стоило сдѣлать только небольшой шагъ, чтобы дать свое имя знаменитымъ каустическимъ кривымъ, изобрѣтеніе которыхъ и употребленіе, какъ въ оптикѣ, такъ и въ геомѳтріи при выпрямленіи нѣкоторыхъ кривыхъ, составляютъ славу Чирнгаузена.
- ↑ Не менѣе замѣтна разница между кривыми Чирнгаузена и Гюйгенса при преломленіи на прямой линіи: первая изъ нихъ есть кривая шестаго порядка, требующая продолжительныхъ вычисленій; вторая же есть просто эллипсъ, или гипербола, какъ это было доказано въ первый разъ Жергонномъ. (Annales de Mathématiques, t. XI, p. 229).
Этотъ ученый геометръ еще прежде высказалъ предположеніе, что каустическія кривыя могутъ имѣть развертывающими — кривыя, гораздо болѣе простыя, чѣмъ онѣ сами (Annales de Math. t. V, p. 289).
- ↑ Nouveaux Mémoires de l’Académie de Bruxelles, t. III, IV et V.
- ↑ Mémoire sur l’optique, n° 22 и 27, въ 14-й тетради Journal de l'école Polytechnique.
- ↑ Applications de Géométrie et de Mécanique; Mémoire sur les routes de la lumière, p. 192.
- ↑ Гамильтону, директору Дублинской обсерваторіи, продолжающему прекрасныя изслѣдованія Френеля, удалось примѣнить къ самымъ сложнымъ и деликатнымъ явленіямь свѣта новый способъ вычисленія, который, кажется, долженъ вести къ математическимъ законамъ, обнимающимъ всю эту обширную и важную теорію.
Съ особымъ удовольствіемъ узнали мы отъ Г. Кетле, что другой ученый геометръ, Макъ-Куллагъ, занятъ такими же изслѣдованіями, какъ Гамильтонъ, но при пособіи чисто геометрическихъ пріемовъ.
Труды Макъ-Куллага возстановятъ, можетъ быть, геометрію въ глазахъ справедливыхъ и безпристрастныхъ людей и возвратятъ должное уваженіе къ способамъ Гюйгенса и Ньютона.
- ↑ Лейденскій университетъ обладаетъ многими рукописями, завѣщанными ему Гюйгенсомъ; тамъ, кромѣ сочиненій этого великаго человѣка, находится собраніе писемъ, которыя онъ получалъ отъ всѣхъ ученыхъ своего времени. Кураторы университета нѣсколько лѣтъ тому назадъ думали напечатать часть этого драгоцѣннаго наслѣдства. Чѣмъ скорѣе исполнится это похвальное намѣреніе, тѣмъ лучше.
|
Индекс в Викитеке