Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов/Гюйгенс

Третья эпоха: Гюйгенс.
автор Мишель Шаль, пер. В.Я. Цингер

Оригинал: фр. Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en Géométrie particulièrement de celles qui se rapportent à la Géométrie moderne. — Из цикла «Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов». Перевод созд.: 1829-1835 гг., опубл: 1837, перев. 1870-83 гг. Источник: Сканы, размещённые на Викискладе

Третья эпоха: Гюйгенс.

11. Гюйгенс (Huygens, 1629—1695) знаменит весьма многими трудами и они имеют такое важное значение для геометрии, что мы должны войти здесь в некоторые подробности.

Этот великий геометр основательно знал способ Декарта, пользовался им и усовершенствовал его во многих приложениях. Но по непреодолимой склонности Гюйгенс оставался верен способу древних и здесь сила его гения умела торжествовать над величайшими трудностями.

Чтобы указать место, которое должен занимать Гюйгенс в истории математики, достаточно заметит, что Ньютон называл его великим (Summus Hugenius) и говорил о его открытиях не иначе как с удивлением. «Он считал его самым красноречивым из всех новых математиков и самым лучшим подражателем древних, которых доказательства по изяществу и форме заслуживают удивления»^[1].

Приводим обзор открытий, которыми Гюйгенс обязан геометрии древних и которые обнаруживают, как много способы древних могут доставить тому, кто сумеет постигнуть их сущность и усмотреть свойственные им пути наглядного исследования.

Занимаясь приблизительным определением квадратуры круга и гиперболы, Гюйгенс открыл несколько новых и любопытных соотношений между этими двума кривым.

Он дал распрямление циссоиды; до тех пор известны были только распрямления кубической параболы и циклоиды.

Он определил величину поверхности для параболических и гиперболических коноидов — первый пример подобного определения величины кривых поверхностей.

Ему мы обязаны любопытными теоремами о логарифмике^[2] и образуемых ею телах. Эти теоремы только указаны Гюйгенсом в конце его речи о причине тяжести; они доказаны Гвидо-Гранди по способу древних.

Гюйгенс разрешил

1. задачу о цепной линии; задача эта первоначально представилась Галилею, но не была им правильно решена, потом снова выведена на сцену Яковом Бернулли,
2. задачу о кривой равных расстояний (courbe aux approches égales), предложенную Лейбницем ученикам Декарта, как вызов по поводу спора об измерении живой силы.

Обе эти задачи по мнению знаменитых геометров, их предложивших, необходимо требовали приемов интегрального исчисления; Гюйгенс же съумел разрешить их только помощию способов древней геометрии.

12. Знаменитое сочинение De horologio oscillatorio^[3] должно занимать место в истории великих открытий человеческого ума на ряду с Principia Ньютона; оно служит ему необходимым введением, которое Ньютон необходимо должен бы был создать, если бы не был предупрежден гением Гюйгенса.

Каждая глава этого сочинения возбуждает удивление.

В первой главе описываются часы с маятником, послужившие в первый раз средством для точного измерения времени.

Вторая глава, под заглавием De descensu gravium, пополняла собою великое открытие Галилея об ускорении тел, cвободно падающих или скользящих по наклонной плоскости, от тяжести. Гюйгенс рассматривает их движение по каким нибудь данным кривым. Здесь он доказал то знаменитое свойство циклоиды, что она есть таутохрона в пустом пространстве.

Содержание третьей главы (De evolutione et dimensione linearum curvarum) есть известная теория разверток, — важное приобретение для теории кривых линий, получившее обширное и частое применение во всех частях математики. Это замечательное открытие не осталось в руках Гюйгенса простым геометрическим соображением. Он вывел из него весьма удачные следствия для доказательства множества новых и замечательных предложений, каковы различные теоремы о распрямлении кривых и то свойство циклоиды, что её развертка есть другая равная ей циклоида, которую можно рассматривать как ту же циклоиду, но перемещенную по направлению основания на длину полуокружности образующего круга, a в направлении перпендикулярном к основанию — на длину диаметра этого круга^[4].

В четвертой главе Horologium oscillatorium Гюйгенс разрешает общим и полным образом знаменитую задачу о центре качаний, предложенную Мерсенном и сильно занимавшую Декарта и Роберваля. В решении Гюйгенса встречается в первый раз одно из самых лучших начал механики, сделавшееся впоследствии известным под именем начала сохранения живых сил.

Наконец пятая глава, где Гюйгенс дает другое построение своих часов, оканчивается тринадцатью знаменитыми теоремами о центробежной силе кругового движения.

Приложение этого учения к движению земли вокруг оси и к движению луны около земли, — приложение, зачаток которого находится в 2, 3 и 5 из этих теорем, — привело Ньютона к открытию тяготения между луною и землей. На это же учение можно смотреть, как на дополнение к теории разверток; оно естественным образом вело к познанию центральной силы криволинейного движения, которая есть также одно из величайших открытий Ньютона, доставившее ему доказательство à priori знаменитых законов Кеплера. Но эти выводы ускользнули от ума Гюйгенса, занятого множеством других великих соображений.

13. Сочинение о свете^[5] есть одно из самых прекрасных произведений гения Гюйгенса; с удивительным искусством он умел применить здесь геометрию к своей гениальной теории волн. Особенно замечателен в этом сочинении прекрасный закон явлений двойного лучепреломления, открытый Гюйгенсом в исландском шпате. Здесь встречаем первое, кажется, применение к явлениям природы поверхностей второго порядка. Это великое открытие было пополнено Френелем, который для объяснения явлений поляризации света ввел вместо эллипсоидальных волн Гюйгенса поверхность четвертого порядка^[6]. Френель, похищенный преждевременною смертью у наук математических и физических, в которых он уже был первостепенным деятелем, своими исследованиями придал новую жизнь теории Гюйгенса, которая более ста лет находилась в необъяснимом забвении; он доставил ее на то место, которое она должна занимать в ряду великих истин физического мира.

Следует указать еще на один прекрасный математический вывод, полученный Гюйгенсом из его Теории света: вывод, который в последнее время был вновь получен Кетле и только после этого обратил на себя внимание геометров и принес надлежащие плоды. Гюйгенс, при помощи своей системы волн, нашел следующее предложение: «положим, что падающие лучи, исходящие из неподвижной точки или параллельные между собою, преломляются, встречая кривую линию; представим себе круг описанный из светящей точки, как из центра, или прямую линию перпендикулярную к направлению параллельных лучей; если из каждой точки преломляющей кривой, как из центра, опишем окружность радиусом, длина которого находится в известном постоянном отношении к расстоянию этой точки от круга, или от неподвижной прямой, то огибающая таких новых окружностей будет кривая, к которой нормальны все преломленные лучи».

Кривая эта представляет преломленную волну. Отсюда Гюйгенс вывел закон постоянного отношения синусов углов падения и преломления.

Таким образом Гюйгенс рассматривал кривую нормальную к преломленным лучам, подобно тому, как Чирнгаузен впоследствии^[7] рассматривал огибающую этих лучей. Но только последняя кривая произвела впечатление на умы геометров и изучение её сделалось основанием для их трудов по оптике. Первая же осталась незамеченною, как будто бы она не основывалась, подобно той, на чисто геометрическом построении, независимом от сомнительной в то время системы, послужившей к её открытию.

Между тем, кривая Гюйгенса вообще гораздо проще, чем кривая Чирнгаузена и гораздо удобнее применяется к изучению оптических свойств кривых линий. Достаточно сказать, например, что каустическая Чернгаузена, образуемая при преломлении на круге, не поддалась до сих пор никаким усилиям анализа, который не может даже дать её уравнения, тогда как соответственная кривая Гюйгенса есть просто овал Декарта — кривая четвертого порядка, свойства и уравнение которой получаются посредством некоторых геометрических соображений, или посредством нескольких строк вычисления^[8].

Не смотря на это, кривые Гюйгенcа остались незамеченными и только десять лет тому назад Кетле, стараясь уменьшить затруднения, представляемые анализом в вопросах о преломлении света, задумал заменить в этой теории каустические линии Чернгаузена — их развертывающими; следуя этой счастливой мысли, он пришел, путем чисто геометрических соображений, к построению этих развертывающих, как огибающих перемещающегося круга; таким образом эти кривые соответствуют, как мы видим, преломленным волнам Гюйгенса; Кетле назвал их вторичными каустическими (caustiques secondaires); этот искусный геометр распространил тоже учение на случай, когда падающие лучи перпендикулярны к данной кривой, и также на случай, когда падающие лучи в пространстве нормальны к данной поверхности^[9].

Это обобщение также заключалось уже в теории Гюйгенса. Из него, получается прямо следующий прекрасный закон преломления света: «падающие лучи, нормальные к одной и той же поверхности, обладают тем же свойством и после преломления их другою какою нибудь поверхностью; и, следовательно, разделяются после преломления на две группы, образующие два ряда развертывающихся, пересекающих друг друга под прямыми углами». Малюс заметил первый справедливость этой теоремы для пучка лучей, выходящих из одной точки, или параллельных между собою; но он полагал, на основании весьма сложных вычислений, что теорема не может быть распространена на систему лучей, нормальных к какой нибудь поверхности^[10]. Дюпен, путем чисто геометрических соображений, придал в первый раз теореме Малюса всго свойственную ей общность^[11].

Из предыдущих замечаний видно, какие полезные и богатые задатки нашли бы в трактате о свете Гюйгенса геометры, если бы они захотели ранее довериться указаниям этого великого гения. Замечательный пример медленности, с какою подвигаются и совершенствуются наши положительные знания, и суровый урок для гордости человеческого ума.

Может быть это отступление чуждо развитию собственно геометрических методов, но, по крайней мере, оно касается лучших приложений их к наукам физическим; оно, можег быть, привлечет кого нибудь из наших молодых читателей к этому еще новому роду геометрических изысканий, обещающему обильные результаты^[12].

14. Удивительная глубина мысли, обнаруженная Гюйгенсом во всех этих важных вопросах, подвергнутых им геометрическому исследованию, отличает также его изыскания в механике; например в знаменитой задаче об ударе тел, разрешенной им в одно время с Валлисом и Вреном, и также — в его астрономических открытиях, поставивших его имя нераздельно с именами Кеплера, Галилея и Ньютона.

Хотя способ древних был постоянно почти единственным орудием для его суждений и исследований, однако ему были известны все приемы не только Декартовой геометрии, но и нового вычисления Лейбница; это великое открытие он изучил, как только оно появилось, и умел оценить все выгоды его^[13].

Примечания

1. Pemberton, в предисловии к элементам Ньютоновой философии. Можно думать, что это справедливое удивление геометрическому стилю Гюйгенса вызвало в великом Ньютоне некоторого рода соревнование, вследствие которого он предпочед этот же способ изложения в своем бессмертном сочинении Principia, хотя владел уже всеми пособиями нового анализа.
   Говоря это, мы повторлем мнение, высказанное Морисом (baron Maurice) в его превосходной статье: Notice sur la vie et les travaux d'Huygens.
2. [Логарифмика — плоская кривая, заданная уравнением вида $y=a\ln x$, см. статью Кривые в ЭСБЕ.]
3. [Русский перевод К.К. Баумгарта: Маятниковые часы // Х. Гюйгенс. Три мемуара по механике. Изд-во АН СССР, 1951.]
4. При таком расположении, циклоида вместе с своей разверткой образует как бы двух-этажный мост: точки опоры верхнего этажа лежат на высших точках нижнего. Обыкновенно говорят, что развертка циклоиды есть вторая циклоида равная и обратно расположенная (posée dans une position renversée, ou bien posée en sens contraire). (См. Analyse des infiniment petits du marquis de L'Hôpital, p. 92 и Histoire des Mathématiques de Montucla, t. II p. 72, 154). Такой способ выражения ошибочен и потому то мы подробно описали взаимное положение циклоиды и её развертки.
   [Современное изложение предмета см., напр., в Справочнике по высшей математике М.Я. Выгодского, § 514.]
5. [Русский перевод: Гюйгенс Х. Трактат о свете, в котором объяснены причины того, что с ним происходит при отражении и преломлении, в частности при странном преломлении исландского кристалла. М.–Л.: ОНТИ, 1935.]
6. Для этой поверхности четвертого порядка Френель предложил следующее весьма замечательное геометрическое построение, благодаря которому главная роль во всей этой теории остается за поверхностями второго порядка: представим себе эллипсоид (главные полуоси которого пропорциональны квадратным корням из трех главных сил упругости среды, или скоростям света по направлению осей упругости); проведем через центр какую-нибудь секущую и отложим на ней, считая от центра, отрезки, равные главным полуосям эллипса, получаемого от пересечения эллипсоида диаметральною плоскостью, перпендикулярной к направлению секущей: концы отрезков этих будут лежать на поверхности четвертого порядка, о которой мы говорим. (См. Mémoire sur la double réfraction Френеля в VII томе Mémoires de l'Académie; мемуар Ампера: Détermination de la surface courbe des ondes lumineuses dans un milieu dont l'élasticité est différente suivant les trois directions principales, etc. напечатанный в Annales de chimie et de physique 1828 года; и Traité de la lumière de Herschel, traduction de M. M. Verhulst et Quetelet, том II, стр. 190, [а также Оптику Зоммерфельда, М.: ИЛ, 1953, и гл. 4 Истории теории эфира и электричества Э. Уиттекера, Москва-Ижевск, РЖД, 2001]).
   Вследствие этой теоремы из прекрасных законов поляризации, открытых в последнее время знаменитыми физиками, в особенности Био и доктором Брюстером, получаются непосредственно геометрические свойства эллипсоида и вообще поверхностей второго порядка.
   Таким образом оптические явления, уже бросившие яркий свет на внутреннее строение кристаллических тел, могут принести пользу также и в изучении рациональной геометрии.
   Едва ли можно найти более блестящий пример взаимной связи между науками и более очевидное доказательство тому, как необходима всем наукам взаимная помощь для верного и быстрого движения вперед.
   Главным образом из этого сближения можно, кажется, предвидеть, что поверхностям второго порядка суждено играть важную роль при выводе всех самых общих законов природы; поэтому должно спешить открытием и изучением многочисленных свойств этих поверхностей, как в каждой из них отдельно, так и во взаимных отношениях их между собою.
7. Чирнгаузен в 1682 году сообщил Парижской Академии Наук свои первые соображения и первые результаты теории каустических линий: Гюйгенс за три года до этого представил той же Академии свое сочинение Traité de la Lumière. В то время Гюйгенс уже давно имел свою теорию разверток; поэтому ему стоило сделать только небольшой шаг, чтобы дать свое имя знаменитым каустическим кривым, изобретение которых и употребление, как в оптике, так и в геомфтрии при выпрямлении некоторых кривых, составляют славу Чирнгаузена.
8. Не менее заметна разница между кривыми Чирнгаузена и Гюйгенса при преломлении на прямой линии: первая из них есть кривая шестого порядка, требующая продолжительных вычислений; вторая же есть просто эллипс, или гипербола, как это было доказано в первый раз Жергонном. (Annales de Mathématiques, t. XI, p. 229).
   Этот ученый геометр еще прежде высказал предположение, что каустические кривые могут иметь развертывающими — кривые, гораздо более простые, чем они сами (Annales de Math. t. V, p. 289).
9. Nouveaux Mémoires de l’Académie de Bruxelles, t. III, IV et V.
10. Mémoire sur l’optique, n° 22 и 27, в 14-й тетради Journal de l'école Polytechnique.
11. Applications de Géométrie et de Mécanique; Mémoire sur les routes de la lumière, p. 192.
12. Гамильтону, директору Дублинской обсерватории, продолжающему прекрасные исследования Френеля, удалось применить к самым сложным и деликатным явлениямь света новый способ вычисления, который, кажется, должен вести к математическим законам, обнимающим всю эту обширную и важную теорию.
    С особым удовольствием узнали мы от Г. Кетле, что другой ученый геометр, Мак-Куллаг, занят такими же исследованиями, как Гамильтон, но при пособии чисто геометрических приемов.
    Труды Мак-Куллага восстановят, может быть, геометрию в глазах справедливых и беспристрастных людей и возвратят должное уважение к способам Гюйгенса и Ньютона.
13. Лейденский университет обладает многими рукописями, завещанными ему Гюйгенсом; там, кроме сочинений этого великого человека, находится собрание писем, которые он получал от всех ученых своего времени. Кураторы университета несколько лет тому назад думали напечатать часть этого драгоценного наследства. Чем скорее исполнится это похвальное намерение, тем лучше.