Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов/Барроу и Чирнгаузен/ДО

Третья эпоха: Барровъ. — Чирнгаузенъ.
авторъ Мишель Шаль, пер. В.Я. Цингеръ

Оригинал: фр. Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en Géométrie particulièrement de celles qui se rapportent à la Géométrie moderne. — Изъ цикла «Историческій обзоръ происхожденія и развитія геометрическихъ методовъ». Перевод созд.: 1829-1835 гг., опубл: 1837, перев. 1870-83 гг. Источникъ: Индекс в Викитеке

Третья эпоха: Барровъ. — Чирнгаузенъ.

15. Барровъ (1630—1677). Между современниками Валлиса и Гюйгенса, наиболѣе способствовавшими успѣхамъ геометріи, мы должны упомянуть о Барровѣ, профессорѣ Ньютона въ Глазговскомъ университелѣ. Въ 1669 году онъ издалъ свое сочиненіе Lectiones Geometricae, въ которомъ заключается много глубокихъ изысканій о свойствахъ кривыхъ линій и, преимущественно, о ихъ размѣрахъ. Особенно замѣчательна вторая лекція о способѣ касательныхъ; у Баррова этотъ способъ въ сущности мало отличается отъ способа Фермата, но въ немъ разсматривается малый дифференціальный треугольникъ и въ вычисленія вмѣсто одного вводится два безконечно малыя количества; это составляетъ еще шагъ къ ученію и символическому обозначенію Лейбница.

Познанія въ греческомъ и арабскомъ языкахъ дали Баррову возможность принести пользу наукѣ хорошими переводами на латинскій языкъ элементовъ и данныхъ Евклида, четырехъ первыхъ книгъ Аполлонія, сочиненій Архимеда и, сферики Ѳеодосія. Во всѣхъ этихъ переводахъ доказательства большею частію передѣланы и значительно упрощены.

Въ 1684 году были изданы подъ заглавіемъ Lectiones mathematicae лекціи, читанныя Барровомъ въ 1664, 1665 и 1666 годахъ въ Кембриджскомъ университетѣ о математической философіи, и еще четыре лекціи, неизвѣстнаго времени, имѣющія предметомъ разъясненіе способа, служившаго Архимеду для его важнѣйшихъ открытій, и указаніе на значительное различіе этого способа отъ современнаго анализа^[1]. Послѣдній предметъ изложенъ у Баррова со всевозможною точностію и ясностію; къ сожалѣнію другія его математическія лекціи усѣяны греческими цитатами, затрудняющими чтеніе.

Наконецъ, въ Lectiones opticae, Барровъ съ большимъ искуствомъ прилагалъ геометрію ко многимъ вопросамъ объ отраженіи и преломленіи свѣта на кривыхъ поверхностяхъ. Онъ строилъ точки, въ которыхъ пересѣкаются безконечно-близкіе лучи; но, не смотря на его любовь и привычку къ геометрическимъ соображеніямъ, ему не пришло на мысль разсматривать кривую, происходящую отъ послѣдовательности такихъ точекъ, т.-е. огибающую этихъ лучей; подобно Гюйгенсу онъ былъ близокъ къ открытію этой кривой, но оставилъ честь этого открытія Чирнгаузену.

16. Теперь именно мѣсто говорить о геометрѣ, котораго мы только что назвали.

Чирнгаузенъ (1651—1708) получилъ большую извѣстность своими знаменитыми каустическими кривыми. Дѣйствительно, это открытіе тотчасъ же сдѣлалось основаніемъ многихъ физико-математическихъ теорій. Какъ открытіе чисто геометрическое, оно представляло двойную выгоду; оно являлось, съ одной стороны, послѣ развертокъ Гюйгенса вторымъ примѣромъ образованія кривыхъ линій чрезъ огибаніе движущейся прямой; и, съ другой стороны, приводило ко множеству распрямляемыхъ кривыхъ.

Каустическія кривыя, также какъ и развертки, являлись въ нѣкоторомъ смыслѣ практическимъ примѣненіемъ идеи Де-Бона: — опредѣлять кривыя линіи какимъ нибудь общимъ свойствомъ ихъ касательныхъ.

Но не это отвлеченное сужденіе привело Гюйгенса и Чирнгаузена къ открытію кривыхъ, носящихъ ихъ имена; дальнѣйшее развитіе мысли Де-Бона было дано Лейбницемъ, который даже обобщилъ ее, изслѣдуя огибающую безконечнаго множества прямыхъ или опредѣленныхъ кривыхъ линій, связаннихъ между собою какимъ нибудь общимъ свойствомъ^[2].

17. Чирнгаузенъ, человѣкъ съ высокими способностями и одинъ изъ самыхъ страстныхъ любителей избранной имъ

науки, занимаетъ по многимъ причинамъ, не говоря объ открытіи каустическихъ линій, почетное мѣсто въ исторіи геометріи.

Въ сочиненіи своемъ Medicina mentis, 1686^[3], предметъ котораго заключался въ указаніи правилъ для руководства при изысканіи истины, Чирнгаузенъ, основываясь на той мысли, что предметы, изучаемые въ математикѣ, образуются при движеніи относительно чего нибудь неподвижнаго, предложилъ новое и всеобщее образованіе кривыхъ линій. Онъ представлялъ себѣ, что онѣ описываются остріемъ, натягивающимъ нить, которая, будучи концами укрѣплена въ двухъ неподвижныхъ точкахъ, скользитъ по нѣсколькимъ другимъ точкамъ, или навертывается на нѣкоторыя извѣстныя кривыя. Это, какъ мы видимъ, есть обобщеніе способа черченія коническихъ сѣченій помощію фокусовъ, — обобщеніе, которое еще Декартъ имѣлъ мысль примѣнить къ черченію своихъ оваловъ^[4].

Чирнгаузенъ дѣлилъ кривыя линіи на нѣсколько родовъ, смотря по большему или меньшему числу ихъ фокусовъ и смотря по свойствамъ неподвижныхъ кривыхъ. Онъ показалъ способъ проводить касательныя къ описаннымъ такимъ образомъ кривымъ и это послужило началомъ задачи касательной къ кривой, выраженной уравненіемъ между разстояніями какой нибудь ея точки отъ нѣсколькихъ неподвижныхъ точекъ.

18. Эта задача имѣла нѣкоторую извѣстность и была рѣшена посредствомъ различныхъ оригинальныхъ пріемовъ первыми математиками того времени: прежде всего геометромъ

Fatio de Duiller, который обнаружилъ ошибку, вкравшуюся у Чирнгаузена и предложилъ рѣшеніе, основанное на простыхъ геометрическихъ соображеніяхъ и представляющее по нашему мнѣнію одинъ изъ лучшихъ и въ настоящее время весьма рѣдкихъ примѣровъ приложенія способа древнихъ къ построенію касательныхъ^[5]; потомъ — маркизомъ Лопиталемъ, который на основавіи безконечно-малыхъ и безъ всякаго вычисленія нашелъ изящное и совершенно общее рѣшеніе этой задачи^[6]; и наконецъ въ то же самое время — Лейбницемъ, рѣшеніе котораго, «имѣющее ту выгоду, что оно все совершается въ умѣ безъ вычисленія и чертежа», основывалось на прекрасной теоремѣ механики, найденной Лейбницемъ именно по этому случаю^[7]. Черезъ нѣсколько лѣтъ послѣ этого Германъ еще пополнилъ эту теорію, показавъ для тѣхъ же кривыхъ Чирнгаузена очень простое построеніе радіуса кривизны, опредѣляемаго прямо, путемъ чистой

геометріи, безъ помощи вспомогательныхъ коордииатъ Декарта^[8].

Пуансо распростравилъ тотъ же способъ образованія на кривыя поверхности и на построеніе ихъ нормалей и пользовался имъ съ успѣхомъ въ своемъ превосходномъ мемуарѣ по механикѣ^[9].

19. Возвратимся къ Чирнгаузену. Въ 1701 году этотъ геометръ представилъ Академіи наукъ новый общій способъ, который, по его словамъ, могъ замѣнить собою исчисленіе безконечно малыхъ во множествѣ вопросовъ высшей геомеріи, напримѣръ при построеніи касательныхъ и радіусовъ кривизны^[10]. Но этотъ способъ, основывавшійся на анализѣ Декарта, оказался подражаніемъ двумъ способамъ проведенія касательныхъ, предложеннымъ Декартомъ и заключавшимся въ томъ, что двѣ точки кривой разсматриваются сначала на конечномъ разстояніи и потомъ предполагаются слившимися.

Большое впечатлѣніе произвело въ то время заглавіе, подъ которымъ Чирнгаузенъ представилъ одно изъ своихъ открытій, именно: Essai d'une méthode pour trouver les touchantes des courbes mécaniques, sans supposer aucune grandeur indéfiniment petite^[11]; дѣйствительно, оно должно было живо затронуть любопытство геометровъ и упрочило бы за авторомъ, уже безъ того извѣстнымъ, безсмертную славу, если бы обѣщаніе было выполнено имъ совершенно. Но предложенный способъ далеко не распространялся на всѣ механическія кривыя и относился только къ одному роду линій, въ которыхъ абсциссами служатъ дуги геометрической кривой,

къ которой умѣемъ проводить касательныя, a ординатами — линіи, параллельныя постоянной прямой; самое вычисленіе у Чирнгаузена ничѣмъ не отличалось отъ обыкновеннаго случая абсциссъ, считаемыхъ по прямой, a не по кривой линіи. Впрочемъ способъ этотъ все таки имѣетъ нѣкоторое значеніе, какъ расширеніе способовъ Декарта, который, какъ мы знаемъ, исключилъ изъ своей геометріи, для большей послѣдовательности и удовлетворительности, механическія кривыя, разумѣя подъ этимъ именемъ всѣ кривыя, которыя не могутъ опредѣляться посредствомъ точной и извѣстной мѣры. Съ 1682 года Чирнгаузенъ излагалъ въ Лейпцигскихъ Актахъ свой способъ касательныхъ къ геометрическимъ кривымъ подъ заглавіемъ Nova methodus tangentes curvarum expedite determinandi и обѣщалъ приложить его впослѣдствіи къ механическимъ кривымъ.

20. Размышленія о методахъ въ геометріи. Постоянная цѣль Чирнгаузена при всѣхъ этихъ геометрическихъ изслѣдованіяхъ заключалась въ томъ, чтобы упростить геометрію, и основывалась на убѣжденіи, что настоящіе, истинные методы должны быть просты, что самые остроумные изъ нихъ не могутъ быть истинными, если они очень сложны, и что необходимо существуетъ возможность найти что нибудь болѣе простое.

Мы съ намѣреніемъ указываемъ на эту мысль Чирнгаузена, въ полномъ убѣжденіи, что всѣ геометрическія истины имѣютъ дѣйствительно этотъ характеръ и что всѣ онѣ одинаково способны къ простымъ, и очень часто очевиднымъ, доказательствамъ. И дѣйствительно, извѣстны весьма многіе примѣры такихъ истинъ, которыя сначала представляли величайшія затрудненія и не уступали никакимъ усиліямъ всѣхъ извѣстныхъ методовъ, но впослѣдствіи дѣлались самыми простыми и очевидными. Это потому, что первоначально онѣ зависѣли отъ невполнѣ сложившихся и недостаточно обобщенныхъ теорій и основывались не на истинныхъ, свойственныхъ имъ, началахъ.

Скажемъ здѣсь мимоходомъ, что, по нашему мнѣнію, именно въ этомъ заключается главное преимущество современнаго анализа предъ геометріей. Первый изъ этихъ способовъ изслѣдованія имѣетъ необыкновенно выгодное право пренебрегать всѣми промежуточными предложеніями, тогда какъ для втораго способа они всегда необходимы и онъ долженъ ихъ изобрѣтать для всякаго новаго вопроса. Но это прекрасное и драгоцѣнное преимущество анализа имѣетъ, какъ и всѣ человѣческія сужденія, свою слабую сторону: этотъ быстрый и проницательный путь не всегда бываетъ достаточно ясенъ для нашего ума; онъ скрываетъ истины, связывающія найденное предложеніе съ точкою отправленія, тогда какъ все это вмѣстѣ должно бы составлять одно полное цѣлое, одну истинную теорію. Развѣ при глубокомъ и философскомъ изученіи науки достаточно знать, что такое-то положеніе справедливо, ни зная, какъ и почему оно справедливо, не зная, какое мѣсто занимаетъ найденная истина въ ряду другихъ съ нею однородныхъ?

Чтобы при настоящемъ состояніи геометріи достигнуть цѣли Чирнгаузена, т.-е. безпредѣльнаго усовершенствованія этой науки, надобно, какъ намъ кажется, соблюдать при всѣхъ изслѣдованіяхъ два слѣдующія правила:

1. Обобщать болѣе и болѣе частныя предложенія, чтобы такимъ образовъ дойти мало по малу до самаго общаго предложенія, которое всегда будетъ въ то же время самымъ простымъ, самымъ естественнымъ и самымъ понятнымъ.
2. Не довольствоваться при доказательствѣ теоремы, или при рѣшеніи задачи, первымъ результатомъ, который могъ бы быть достаточнымъ для частнаго изслѣдованія, независимаго отъ общей системы всего отдѣла науки; напротивъ, удовлетворяться доказательствомъ, или рѣшеніемъ, только тогда, когда простота рѣшенія, или очевидный выводъ его изъ какой нибудь уже извѣстной теоріи, покажутъ, что мы привели изслѣдуемый вопросъ къ такому ученію, отъ котораго онъ естественно зависитъ.

Длѣ убѣжденія въ томъ, что, прилагая эти правила, мы достигли желаемой цѣли, т.-е. нашли надлежащій путь къ окончательной истинѣ и дошли до ея начала, можно намъ кажется руководствоваться мыслію, что во всякой теоріи должна существовать и быть извѣстна одна основная истина, изъ которой всѣ другія должны выводиться легко, какъ ея видоизмѣненія или слѣдсівія, и что только выполненіе этого требованія можетъ служить признакомъ дѣйствительнаго совершенства науки. Прибавимъ вмѣстѣ съ однимъ изъ новыхъ геометровъ, много размышлявшимъ о философіи математическихъ наукъ: «нельзя думать, что мы знаемъ уже послѣднее слово какой нибудь теоріи, пока мы не въ состояніи объяснить ее въ немногихъ словахъ первому встрѣчному»^[12]. И въ самомъ дѣлѣ, великія и первоначальныя истины, изъ которыхъ истекаютъ всѣ остальныя, — истины, составляющія настоящія основанія науки, — всегда имѣютъ характеристическимъ признакомъ своимъ — простоту и очевидность^[13].

21. Раздѣленіе геометріи на три отрасли. Изъ предложеннаго краткаго разбора громадныхъ успѣховъ, сдѣланныхъ геометріею въ теченіе какихъ нибудь тридцати лѣтъ, можно было видѣть, что эти успѣхи имѣли источникомъ два великія

открытія, именно: ученіе о недѣлимыхъ Кавальери и приложеніе анализа къ кривымъ линіямъ Декарта.

Первое изъ нихъ удобно примѣнялось къ обычнымъ формамъ и пріемамъ древней геометріи; поэтому на открытія, вызванныя способомъ Кавальери, смотрѣли, какъ на успѣхи въ области чистой геометріи древнихъ. Второе открытіе, представляя исключительно аналитическое орудіе, сдѣлало изъ геометріи совершенно новую науку, которая возбудила бы удивленіе Архимеда и Аполлонія, которые не оставили намъ никакого зародыша ея; ее стали называть смѣшанною геометріею (mixte), аналитическою геометріею, или геометріею Декарта.

Но въ то время, какъ устанавливалось это дѣленіе геометрическихъ методовъ, возникалъ еще третій способъ изслѣдовавія, такъ сказать третій видъ геометріи. Это тотъ способъ, который, какъ мы уже говорили, былъ употребляемъ Паскалемъ и Дезаргомъ и первые зачатки котораго находились въ поризмахъ Евклида и были сохранены намъ въ Математическомъ Собраніи Паппа.

Мы видимъ такимъ образомъ, что геометрія раздѣлилась на три отрасли.

Во первыхъ, на геометрію древнихъ, вспомоществуемую ученіями о недѣлимыхъ и о составныхъ движеніяхъ.

Во вторыхъ, на анализъ Декарта, усиленный пріемами исчисленія безконечныхъ, заключавшимися въ способѣ de maximis et minimis Фермата.

Въ третьихъ, на чистую геометрію, которая существенно отличается характеромъ отвлеченности и общности; первые примѣры ея находятся въ сочиненіяхъ о коническихъ сѣченіяхъ Паскаля и Дезарга и ниже мы увидимъ, что Монжъ и Карно въ началѣ нынѣшняго столѣтія утвердили ее на широкихъ и плодотворныхъ началахъ.

Эта третья отрасль, которая теперь составляетъ то, что называется новою геометріею (récente), свободна отъ алгебраическихъ исчисленій; хотя она пользуется съ одинаковымъ

успѣхомъ метрическими соотношеніями фигуръ, также какъ и начертательными ихъ свойствами, зависящими только отъ положенія, но въ ней разсматриваются только извѣстнаго рода отношенія между прямолинейными разстояніями, не требующія ни символическихъ обозначеній алгебры, ни ея дѣйствій.

Геометрія эта составляетъ продолженіе геометрическаго анализа древнихъ, отъ котораго она нисколько не отличается по цѣли и сущности своихъ изслѣдованій; но она представляетъ передъ анализомъ древнихъ неизмѣримыя преимущества по общности, единству и отвлеченности сужденій, по своимъ методамъ, замѣнившимъ частныя, неполныя и безсвязныя предложенія, составлявшія всю науку и единственное орудіе древнихъ, и, наконецъ, преимущественно по полезному въ высшей степени употребленію фигуръ трехъ измѣреній въ вопросахъ геометріи на плоскости.

Въ этой общей геометріи относятся, вмѣстѣ съ своими приложеніями, тѣ теоріи, которыя въ новѣйшее время получили названіе Géométrie de la régie и Géométrie de situation, смотря по тому, употребляются ли въ нихъ для открытія начертательныхъ свойствъ фигуръ пересѣченія только прямыхъ линій, или также пересѣченія кривыхъ и поверхностей въ пространствѣ.

Изъ трехъ указанныхъ нами существенно различныхъ отраслей геометріи, вторая, т.-е, анализъ Декарта, представляла столько привлекательности и столько громадныхъ выгодъ, что ею съ замѣтнымъ предпочтеніемъ стали заниматься великіе геометры, названные нами въ третьей эпохѣ.

При этомъ не слѣдуетъ забывать, что геометрія Декарта не принадлежитъ къ разряду частныхъ соображеній, но представляетъ всеобщее орудіе, примѣнимое ко всѣмъ геометрическимъ соображеніямъ, какъ древнимъ, такъ и новымъ.

Примѣчанія.

1. Quo planius appareat qualem ille subtilissimus vir (Archimedes) analysin usurparit, et quam hodienae nostrae parum dissimilem.
2. Acta Erud. Lips. an. 1692 et 1694, и Oeuvres de Leihnitz, t. III, p. 284 et 296.
3. Medicina mentis, sive tentamen getiuinae logicae, in qua disseritur de methodo detegendi incognitas veritates. In—4°, Amst.
   Въ III томѣ Bibliothèque universelle et historique (1686 г.) находится весьма подробный разборъ этого замѣчательнаго сочиненія Чирнгаузена.
4. Géométrie de Descartes, liv. 2. Кривыя эти, изобрѣтенныя Декартомъ, играли важную роль особенно въ его Діоптрикѣ. Мы будемъ говорить о нихъ въ четвертой эпохѣ, гдѣ встрѣтимъ ихъ воспроизведенными въ 1-й книгѣ Principia Ньютона.
5. Reflexions de M. Fatio de Duiller sur une méthode de trouver les tangentes de certaines lignes courbes; въ Bibliothèque universelle et historique, t. V, an. 1688.
   Чирнтаузенъ отвѣчалъ на эти размышленія Fatio и призналъ свою ошибку въ X томѣ того же сборника за тотъ же годъ.
6. Analyse des infinimens petits, section 2-e; prop. 10. [Русский перевод Н.В. Леви: Лопиталь. Анализ бесконечно малых. М.-Л., 1935.]
7. Лейбницъ изслѣдовалъ задачу въ такой формѣ: «провести касательную къ кривой линіи, описываемой натянутыми нитями». Построеніе его основывается на общемъ правилѣ составленія движеній; вводя вмѣсто понятія о движеніи понятіе о силѣ, какъ сдѣлалъ это Лангранжъ въ Mécanique analytique при изложеніи условія равновѣсія, проистекающаго изъ правила Лейбница, мы можемъ выразить это правило такимъ образомъ: «Если силы, дѣйствующія въ какомъ угодно числѣ на точку, изобразимъ по величинѣ и направленію прямыми линіями, то равнодѣйствующая ихъ пройдетъ черезъ центръ тяжести концовъ этихъ линій и по величинѣ будетъ равна разстоянію этого центра тяжести отъ точки приложенія, умноженному на число всѣхъ силъ». (Journal des Savans, sept. 1693, и Oeuvres de Leibnitz, t. III, p. 283).
   Теорема эта можетъ быть распространена на случай силъ, приложенныхъ къ различнымъ точкамъ свободнаго твердаго тѣла въ пространствѣ. (Correspondance mathématique de Bruxelles, t. V, p. 106).
8. Methodus inveniendi radios osculi in curvis ex focis descriptis, Acta Eruditorum, an. 1702; p. 501.
9. Théorie générale de l'équilibre et du mouvement des systèmes; 13-я тетрадь Journal de l'école polytechnique. Мемуаръ этотъ переиечатанъ въ 6-мъ издавіи Statique Пуансо.
10. Histoire et Mémoires de l'Académie des Sciences, an 1701.
11. Mémoires de l'Académie des Sciences, an. 1702.
12. Мнѣніе Жергона, которое онъ высказалъ по поводу своей новой теоріи каустическихъ линій Кетле. (Nouveaux Mémoires de l’Académie de Bruxelles, t. IV, p. 88).
13. Это мнѣніе, принятое въ положительныхъ наукахъ, есть опытный выводъ изъ исторіи развитія каждой изъ нихъ. Но его можно также подтвердить a priori. Дѣйствительно, самые общіе принципы, т.-е. тѣ, которые обнимаютъ наибольшее число частныхъ случаевъ, должны быть свободны отъ тѣхъ разнообразныхъ обстоятельствъ, которыя придаютъ различный и отличительный характеръ всѣмъ частнымъ фактамъ, пока эти послѣдніе разсматриваются отдѣльно и пока неизвѣстна ихъ взаимная связь и общее происхожденіе; потому что, еслибы общіе принципы были осложнены всѣми частными обстоятельствами и свойствами, то это же отразилось бы и на всѣхъ ихъ слѣдствіяхъ и они могли бы вообще вести только къ истинамъ въ высшей степени затруднительнымъ и сложнымъ. Слѣдовательно, самые общіе принципы необходимо должны быть по самому существу своему наиболѣе простыми.