Къ этому перечню мы должны прибавить еще Traité de Gnomionique, 1682 — сочиненіе для того времени совершенно новое, гдѣ всѣ вопросы рѣшены Де-Лагиромъ графически, даже безъ прямолинейной тригонометріи, при помощи только циркуля, линейки и отвѣса.
Прибавленіе. Изъ новыхъ практическихъ вопросовъ, находящихся въ Гномоникѣ Де-Лагира, намъ слѣдуетъ упомянуть объ одномъ, потому что онъ основывается на геометрическихъ соображеніяхъ, относящихся къ ученіямъ новой геометріи.
Дѣло идетъ о построеніи часовыхъ линій, пользуясь для этого нѣкоторыми изъ нихъ, уже начерченными. Де-Лагиръ рѣшаетъ три слѣдующія задачи:
Въ первой предполагаются извѣстными семь послѣдовательныхъ часовыхъ линій.
Во второй — четыре послѣдовательныя и равноденственная линіи.
Въ третьей — три послѣдовательныя, равноденственная и горизонтальная линіи.
По этимъ даннымъ опредѣляются всѣ прочія линіи.
Положимъ, что въ первомъ случаѣ намъ даны семь послѣдовательныхъ часовыхъ линіи: X, XI, XII, I, II, III, и IV. Вотъ построеніе, которое даетъ авторъ для опредѣленія пяти остальныхъ.
Черезъ точку линіи IV проведемъ сѣкущую, параллельную линіи X; она встрѣтится съ линіями III, II, I, XII и XI въ точкахъ ; отложимъ на сѣкущей по другую сторону отъ отрѣзки , соотвѣтственно равные ; точки будутъ принадлежать пяти искомымъ часовымъ линіямъ.
Дѣйствительно, двѣ часовыя плоскости X и ІV взаимно перпендикулярны; часовыя плоскости III и V одинаково наклонены къ плоскости IV и слѣдовательно онѣ гармонически сопряжены относительно первыхъ двухъ плоскостей X и IV.
Изъ этого слѣдуетъ, что двѣ часовыя линіи III и V гармонически сопряжены относительно часовыхъ линій X и IV; поэтому всякая сѣкущая встрѣчаетъ эти четыре линіи въ четырехъ гармоническихъ точкахъ и, слѣдовательно, если сѣкущая параллельна линіи X, то двѣ точки встрѣчи ея съ линіями III и V будутъ на равныхъ разстояніяхъ отъ точки встрѣчи ея съ линіею IV. Это и нужно было доказать[1].
- ↑ Это геометрическое доказательство, заимствованное нами изъ сочиненія Де-Лагира, столь же строго, какъ и кратко; однако Деламбръ не считаетъ его вполнѣ удовлетворительнымъ; и такъ какъ разсматриваемый вопросъ кажется ему полезнымъ и любопытнымъ и потому заслуживающимъ доказательства во всей формѣ, то онъ предлагаетъ свое доказательство, которое считаетъ самымъ общимъ и строгимъ (Histoire de l'astronomie au moyen âge, p. 634). Ho мы должны сказать, что доказательство Деламбра состоитъ почти изъ двухъ страницъ вычисленій и во всякомъ случаѣ не точнѣе краткаго разсужденія Де-Лагира.
Мы дѣлаемъ это замѣчаніе вовсе не съ намѣреніемъ критиковать; мы питаемъ уваженіе и удивленіе къ имени и трудамъ Деламбра, къ его преданности наукѣ и къ тѣмъ важнымъ и труднымъ изысканіямъ, которыя ему были необходимы, чтобы написать исторію астрономіи. Замѣчаніе это естественно проистекаетъ изъ главной идеи, лежащей въ основаніи нашего труда; оно показываетъ съ одной стороны ясный примѣръ тѣхъ преимуществъ, которыя иногда представляетъ путь геометрическій, или путь прямаго разсужденія, передъ вычисленіемъ; съ другой стороны, оно обнаруживаетъ направленіе, принятое математическими науками, — направленіе, при которомъ ясныхъ и убѣдительныхъ доказательствъ для истинъ геометрическихъ, доказательствъ по формѣ, ищутъ только въ повѣркѣ путемъ алгебраическаго исчисленія. Это направленіе противно всему, что дѣлалось до сихъ поръ: у Грековъ, гдѣ геометрія прославилась строгостію своихъ доказательствъ; у Индусовъ и Арабовъ, которые истолковывали результаты алгебры доказательствами геометрическими; у новыхъ геометровъ до послѣдняго вѣка, между которыми Ньютонъ и Маклоренъ употребляли анализъ весьма неохотно и только тамъ, гдѣ онъ неизбѣженъ.
Гдѣ причина такого исключительнаго направленія математическихъ знаній? И каково будетъ вліяніе его на характеръ и успѣхи науки?
Мы не будемъ пытаться отвѣчать на эти вопросы, такъ какъ многіе, вѣроятно, едва ли согласились бы съ нами. Но, каковы бы ни были мнѣнія объ этомъ предметѣ, нельзя по крайней мѣрѣ не согласиться съ тѣмъ, что было бы очень полезно поддерживать и разрабатывать на ряду съ новыми способами также и способъ древнихъ, которому математики продолжали слѣдовать до послѣдняго столѣтія.
К этому перечню мы должны прибавить еще Traité de Gnomionique, 1682 — сочинение для того времени совершенно новое, где все вопросы решены Де-Лагиром графически, даже без прямолинейной тригонометрии, при помощи только циркуля, линейки и отвеса.
Прибавление. Из новых практических вопросов, находящихся в Гномонике Де-Лагира, нам следует упомянуть об одном, потому что он основывается на геометрических соображениях, относящихся к учениям новой геометрии.
Дело идет о построении часовых линий, пользуясь для этого некоторыми из них, уже начерченными. Де-Лагир решает три следующие задачи:
В первой предполагаются известными семь последовательных часовых линий.
Во второй — четыре последовательные и равноденственная линии.
В третьей — три последовательные, равноденственная и горизонтальная линии.
По этим данным определяются все прочие линии.
Положим, что в первом случае нам даны семь последовательных часовых линии: X, XI, XII, I, II, III, и IV. Вот построение, которое дает автор для определения пяти остальных.
Через точку линии IV проведем секущую, параллельную линии X; она встретится с линиями III, II, I, XII и XI в точках ; отложим на секущей по другую сторону от отрезки , соответственно равные ; точки будут принадлежать пяти искомым часовым линиям.
Действительно, две часовые плоскости X и ИV взаимно перпендикулярны; часовые плоскости III и V одинаково наклонены к плоскости IV и следовательно они гармонически сопряжены относительно первых двух плоскостей X и IV.
Из этого следует, что две часовые линии III и V гармонически сопряжены относительно часовых линий X и IV; поэтому всякая секущая встречает эти четыре линии в четырех гармонических точках и, следовательно, если секущая параллельна линии X, то две точки встречи её с линиями III и V будут на равных расстояниях от точки встречи её с линиею IV. Это и нужно было доказать[1].
- ↑ Это геометрическое доказательство, заимствованное нами из сочинения Де-Лагира, столь же строго, как и кратко; однако Деламбр не считает его вполне удовлетворительным; и так как рассматриваемый вопрос кажется ему полезным и любопытным и потому заслуживающим доказательства во всей форме, то он предлагает свое доказательство, которое считает самым общим и строгим (Histoire de l'astronomie au moyen âge, p. 634). Ho мы должны сказать, что доказательство Деламбра состоит почти из двух страниц вычислений и во всяком случае не точнее краткого рассуждения Де-Лагира.
Мы делаем это замечание вовсе не с намерением критиковать; мы питаем уважение и удивление к имени и трудам Деламбра, к его преданности науке и к тем важным и трудным изысканиям, которые ему были необходимы, чтобы написать историю астрономии. Замечание это естественно проистекает из главной идеи, лежащей в основании нашего труда; оно показывает с одной стороны ясный пример тех преимуществ, которые иногда представляет путь геометрический, или путь прямого рассуждения, перед вычислением; с другой стороны, оно обнаруживает направление, принятое математическими науками, — направление, при котором ясных и убедительных доказательств для истин геометрических, доказательств по форме, ищут только в поверке путем алгебраического исчисления. Это направление противно всему, что делалось до сих пор: у Греков, где геометрия прославилась строгостью своих доказательств; у Индусов и Арабов, которые истолковывали результаты алгебры доказательствами геометрическими; у новых геометров до последнего века, между которыми Ньютон и Маклорен употребляли анализ весьма неохотно и только там, где он неизбежен.
Где причина такого исключительного направления математических знаний? И каково будет влияние его на характер и успехи науки?
Мы не будем пытаться отвечать на эти вопросы, так как многие, вероятно, едва ли согласились бы с нами. Но, каковы бы ни были мнения об этом предмете, нельзя по крайней мере не согласиться с тем, что было бы очень полезно поддерживать и разрабатывать на ряду с новыми способами также и способ древних, которому математики продолжали следовать до последнего столетия.
