ЭЛ/ВТ/Анализ

Анализ
Энциклопедический лексикон

Словник: Альмогады — Арам. Источник: т. II: Алм—Ара, с. 184—198 ( скан · индекс )

Проект «ЭЛ»

АНАЛИЗ, АНАЛИЗИС — Analyse — Analysis, Analyse, ἀνάλυσις (от ἀνά и λύω), разрешать, разлагать, возвращаться туда, откуда пришли.

Под этим словом логик разумеет: во-1-х: способ, которым, посредством открытия и точного означения всех частных признаков предмета, стараются совершенно объяснить его; во-2-х: противоположную синтезису методу, которая, полагая действительно истинным или возможным то, что только гипотетически истинно или возможно, отыскивает как ближайшую причину гипотезы, так и сей причины ближайшую причину, и т. д. Постепенно доходя таким образом до предложений всё более и более простых, дойдешь наконец до предложения столь простого, что истина или ложь, возможность или невозможность полагаемого откроется сама собою. Папп Александрийский (de loco resoluto) говорит: «Анализис есть та метода, посредством которой из выведенных следствий искомого, доходят до какого-нибудь данного, что ведет к синтезису.» Подобным образом Александр Афродисейский определяет: «Синтезис есть переход от начал к следствиям, Анализис — возвращение к началам». В первом значении употребляется это слово грамматиком, ботаником, химиком, и пр. Математик же древних времен слово Анализ берет во втором из вышеприведенных значений, и успешно применяет выраженную им методу к геометрическим исследованиям, или к решению арифметических задач (см. Алгебра). В самом деле, со времен Диофанта, для решения алгебраических задач, вообще употребляется способ истинно аналитический, потому что при образовании первоначального уравнения, возможность задачи предполагается гипотетически и всё действие состоит только в том, чтобы найденное предложение постепенно довести до предложений более простых, последнее из которых должно явно доказать возможность или невозможность задачи. При постепенном же распространении Алгебры, этот именно способ постоянно доводил до открытия новых истин. По сим двум причинам вся Математическая Наука, основанная на понятии о числах, была названа математическим Анализисом, или просто Анализисом. Потому и всякое изложение или рассмотрение одной науки, основанное на применении математического Анализиса, теперь обыкновенно называется Аналитическим. Так напр. говорят: Аналитическая Геометрия, Аналитическая Механика, Théorie analytique des probabilités, de la chaleur, etc.

В этой статье мы предложим одни только математические значения слова Анализис, а потому и рассмотрим сперва Геометрический Анализись Древних.

Предмет Анализиса, как методы, может быть двоякий. Или должно доказать истину или ложь какого-нибудь утверждения (теоремы), или нужно удостовериться в возможности или невозможности требования (задачи или проблемы), и вместе с тем найти способ удовлетворить возможному требованию. Оттого некоторые, наприм. Папп, разделяют Анализис на теоретический и на практический, или проблематический. Когда, по приведении надлежащим образом в действие Анализиса, дошли в первом случае до предложения, которого истина признана, или в последнем случае до вывода, которого возможность не подлежит ни какому сомнению, и которое потому должно удовлетворить задаче, тогда получишь способом синтетическим, противоположным аналитическому, в первом случае доказательство теоремы, во втором синтетическое решение вместе с доказательством проблемы. Каждый Анализис теоремы может быть продолжен до тех пор, пока не будет доведен до одного или нескольких определений; ибо одни только определения должны быть почитаемы собственными источниками всех остальных математических предложений. Даже так называемые аксиомы суть, в строгом смысле, одни только следствия определений. Каждое конечное следствие Анализиса геометрической проблемы, когда оно возможно или изображаемо, древние называли Datum. Слово Diorismus означало у них определение, сколько и каких именно родов решения может допустить задача. Следующие примеры объяснят сказанное о тех двух случаях, рассмотрением которых вообще занимается Геометрический Анализис.

Пример I. Утверждается, что два подобные треугольника относятся один к другому как квадраты их сходственных сторон. (Подобные треугольники те, в которых углы одного равны углам другого, и стороны одного пропорциональны сходственным сторонам другого, т. е. сторонам противолежащим равным углам. См. Отношение и Пропорция).

Анализис.

1. Если следовательно $ABC$ и $abc$ подобные треугольники, и $ACDE$ и $acde$ квадраты, построенные на сходственных сторонах $AC$ и $ac$, тогда должно быть: треуг. $ABC$ : треуг. $abc=ACDE$ : $acde$.

2. Но как тр. $ABC$ половина прямоугольника $ACFG$, который имеет одно с ним основание $AC$ и равную высоту $AG$ или $CF$, и также тр. $abc$ половина прямоугольника $acfg$, то должно бы быть $ACFG:acfg=ACDE:acde$.

3. Тогда, по теории пропорций, было бы также $ACFG:ACDE=acfg:acde$.

4. Но поелику у прямоугольников $ACFG$ и $ACDE$ одинакое основание $AC$, и у прямоугольников $acfg$ и $acde$ также одинакое основание $ac$, а, в силу известного предложения, прямоугольники при равных основаниях относятся как их высоты, то должно бы быть: $ACFG:ACDE=CF:CD$ и $acfg:acde=cf:cd$, следовательно, по 3-му пункту, $CF:CD=cf:cd$ или $CF:AC=cf:ac$.

5. Тогда было бы также $CF:cf=AC:ac$, т. е. высоты обоих треугольников должны бы относиться как их основания: это и действительно может быть непосредственно выведено из определения подобных треугольников.

Синтезис.

1. $CF:cf=AC:ac$, потому что треугольники $ABC$ и $abc$ подобны.

2. $CF:CD=cf:cd$, из 1 пункта, по теории пропорций и поелику $AC=CD$ и $ac=cd$.

3. $ACFG:ACDE=CF:CD$ и $acfg:acde=cf:cd$ поелику прямоугольники, при равных основаниях, относятся как их высоты.

4. $ACFG:ACDE=acfg:acde$ и $ACFG:acfg=ACDE:acde$, из 2 и 3 пунктов.

5. Тр. $ABC$:тр. $abc=ACDE:acde$, из 4 пункта и из того, что каждый треугольник есть половина прямоугольника, имеющего равное с ним основание и равную высоту.

Пример II. Требуется провести к двум, на одной плоскости лежащим, неравным кругам, величина и положение которых даны, одну общую касательную, т. е. прямую линию, которая касалась бы каждого из тех кругов только в одной точке.

Рис. 2.

Анализис.

1. Диоризм. Круги неравны; оттого требуемая касательная не может быть параллельна прямой линии, проходящей чрез центры $A$ и $B$. И так она должна эту прямую линию пресечь или между $C$ и $D$, или, потому что круг $BE$ меньше круга $AC$ в продолжении её со стороны $F$. Но известно, что из каждой вне круга лежащей точки можно провести к нему две касательные. Следовательно, задача не только кажется возможною, но и допускающею даже четыре решения.

Рис. 3.

2. Если бы сперва точка пресечения касательной с продолженною прямою $AB$ была $G$, и если бы тогда точки прикосновения, над или под $AB$, были $J$ и $H$, то, по известному свойству касательных круга, радиусы $AJ$ и $BH$ должны бы оба стоять перпендикулярно на касательной $JG$, следовательно быть друг другу параллельными. Оттого, по предложению также известному, должно быть: $AJ:BH=AG:BG$.

Рис. 4.

3. То же самое и для других двух случаев, когда $G$ полагается внутри $CD$: и тогда должно быть: $AJ:BH=AG:BG$.

4. Но если, в каждом из четырех рассмотренных случаев, в центрах $A$ и $B$ устроит на $AB$ перпендикулярные радиусы $AK$ и $BL$, то должно быть также $AK:BL=AG:BG$, и потому проходящая чрез концы $K$ и $L$ прямая линия должна пересечь линию $AF$ в той же точке $G$, как и прежде касательная.

5. Для того, чтобы определить из этого искомую точку $G$, должны быть устроены в точках $A$ и $B$ на линии $AB$ перпендикулярные поперечники, и должны быть проведены, или чрез оба верхние, или чрез оба низшие концы их, или чрез один верхний и один низший конец, прямые линии до пересечения с линиею $AB$ или её продолжением. Но так как всё это всегда возможно, и также всегда, как учит Геометрия, из каждой, вне круга лежащей точки, могут быть проведены к нему две касательные, то и самая предложенная задача возможна и действительно допускает четыре решения.

Это последнее предложение содержит следовательно Data задачи, и легко усмотреть, как учиненный нами Анализ может быть обращен в синтетическое решение задачи.

Древнейшими известиями о геометрическом Анализисе Древних обязаны мы Паппу Александрийскому, Греческому математику второй половины четвертого столетия. До нас дошла большая часть его Collectiones mathematicae. В седьмой книге этого сочинения описывает он Анализис Древних, и называет относящиеся до того предмета сочинения в следующем порядке: Эвклидовы Data и Porismata;Апполлония de sectione rationis, de sectione spatii, de sectione determinata; de tactionibus, de inclinationibus, de locis planis и conicorum libri coto; Аристея de lovus solidis; Эвклида de locis ad superficiem, и Эратосфена de mediis proprtionalibus. Папп выписал также некоторые места из означенных сочинений. Из них уцелели только Эвклидовы Data и творения Аполлония о конических сечениях и de sectione rationis. Нььютон весьма уважал последнее из сих сочинений, Арабский перевод которого нашел Борелли. В число аналитиков, поименованных Паппом, должно по всей справедливости вкдючить его самого. Его остальные творения переведены на Латинский язык и истолкованы Коммандином, 1583 и 1660; кроме того есть частные выписки, например в Dictionnary Гуттона. Диоген Лаэрций и Прокл, в своем обширном толковании первой книги Элементов Эвкдида, изобретение Геометрического Анализиса приписывают Платону. Не зная ни одного математического сочинения этого знаменитого философа, нельзя с точностью определить употребленного им способа. Во второй книге Архимеда о шаре и цилиндре есть несколько замечательных применений Геометрического Анализиса. Он сравнивает между собою величины, не различая, даны ли они или неизвестны, и при третьей задаче или пятом предложении, соединением предложений, основанных на свойствах шара и конуса, доходит наконец до пропорции, которая, если будет переведена на алгебраический язык, непосредственно даст уравнение третьей степени, от чего и зависит решение задачи. Утверждают, что древние геометры обыкновенно преподавали свою науку синтетически, и утаивали Анализис, и что Платон сообщал его только избранным ученикам; но это может относиться только до некоторых особенных ухваток, открытых при занятии наукою. Что же касается до общих основных правил, то можно наверное полагать, что всякий, умевший их применить, умел бы также и открыть их. Так называемый теоретический Анализис, о котором упоминает Папп, едва ли может быть употреблен иначе, как при исследовании предложения, которое сочинитель дал или применил, не доказав. Редко случается, предложение геометрическое открыть догадками. А потому этот способ доказательств употребляется только при обороте доказанного предложения, чтобы показать, что противное данному оборотному предложению неверно. Читатель не знал бы, какая дорога довела до данного предложения; он легко узнал бы ее при прямом доказательстве. Для применения древнего Анализиса к решению задач, для так называемого практического Анализиса, нельзя дать руководств столь неизменных, чтобы можно было во всяком случае найти искомое. Для соединения искомых величин с данными всегда необходимо какое нибудь приготовление, открытие и введение вспомогательных величин или средних членов. Надобно иметь в виду определяемое непосредственно данным, для того, чтобы проложить себе дорогу к искомому. Предоставляется изобретательности каждого помочь себе в этом случае, когда и задачи могут быть различных родов, и различные средства могут вести к одной и той же цели. Упражнение здесь лучше правил. Без сомнения, должно притом твердо помнить предложения элементарной Геометрии. Превосходные замечания об этом предмете находятся в Ньютововой Arithmetica universalis.

Когда исчез мрак средних веков, с изучением Геометрии ожил Геометрический Анализ, и весьма естественно, что первые восстановители его были учениками Греков. В XVII столетии тщательно и остроумно обработывали этот предмет Виета, Фермат, Вивиани, Гетельди, Снеллиус, Гюйгенс и несколько других. Особенно занимались отыскиванием и восстановлением растерянных сочинений Древних. В XVIII столетии по этой части отличались Англичане, возбужденные, может быть, жалобою соотечественника Ньютона, на упадок Геометрического Анализиса. Он недоволен был самим собою за излишнее пренебрежение той методы, и усильно просил своих друзей заняться ею. В самом деле, с совершенным пренебрежением ее, мы бы не только лишились одного из важнейших умственных упражнений, но и трудно было бы нам решить некоторые геометрические задачи. Галлей в 1706 году издал в Оксфорде книги de dectione rationis и de sectione spatii; Роберть Симсон издал loca plana, Глазго, 1749; Горслей — книги de inclinationibus, Оксфорд 1770; Лаусон — de lacotionibus, Лондон, 1771, и книги de determinata sectione, там же, 1772; Валлис издал те же книги, Лондон, 1772. Они также восстановлены Р. Симсоном, умножены двумя книгами, и изданы по смерти его, иждивением графа Стенхоупа в Глазго в 1776 году, вместе с сочинением Эвклида Porismata, и некоторыми другими, оставшимися после Симсона, рукописями. Со времени пробуждения наук в Европе, геометры не отступали от начертанного им Древними пути до тех пор, как наконец в XVII столетии Декартово (1596 — 1650) приложение Алгебры к Геометрии дало решительный перевес Алгебраическому Анализису перед Геометрическим; и многие оставили последний способ и предпочли первый, как кратчайший и обильнейший последствиями.— Не должно смешивать Геометрического Анализиса с Аналитическою Геометриею, основатель которой именно Декарт. (См. Геометрия и Координаты. Мы отсылаем читателей к сим статьям: там найдут они всё, что мы должны были предположить известным.) Анализис Древних относится к Геометрии, и оттого пользовался только геометрическими средствами. Одно только творение Диофанта служить исключением. Анализис же новейших времен рассматривает все подлежащие измерению предметы, а потому и геометрическия величины. Он употребляет общую Арифметику, или Алгебру, выражая связь величин уравнениями, которые или разрешаются или рассматриваются нерешенные. В этом именно заключается существенное отличие его от Анализиса Древних. В сем отношении наша нынешняя статья тесно связана с прежней статьей: Алгебра.

Виет основал выразительный, удобный и многообъемлющий алгорифм Алгебра. Он умел извлечь из этого сильного вспомогательного средства важнейшие выгоды для теории уравнений и других предметов Алгебраического Анализиса. Сюда особенно принадлежат открытое им важное предложение об отношениях между коэффициентами и корнями алгебраического уравнения, его учение о законе, которому следуют ряды синусов и хорд многократных углов и частей их (doctrine des sections angulaires), и геометрическое строение определенных уравнений. Ему также был уже известен закон образования коэффициентов в развитой степени бинома. Но главной причиной обильных открытий следующих времен неоспоримо было Декартово вышеупомянутое открытие теории координат и доставленные им Алгебре и Геометрии важные выгоды, извлеченные из счастливого соединения обеих тех наук. Из открытий, сообщенных Декартом в своей Геометрии, наибольшее доставило ему, кажется, удовольствие открытие общего правила для определения касательных какой-нибудь кривой линии. «De tous les problèmes,» говорит он, «que je connais en Géométrie, il n'en est aucun qui soit plus utile et plus général, et c'est de tous celui dont j'ai davantage désiré la solution.» Его метода основана на том, что, если круговая линия пересекает другую какую нибудь кривую линию в двух точках, то, при уменьшении радиуса первой линии, сии две точки более и более сближаются, и наконец сойдутся, в таком случае радиус круга будет перпенднкулярен касательной кривой линии (см. выше: II пример). В его Письмах (3 тома in 4to) находится другой еще способ для того, чтобы подобным же образом найти положение касательных сближением точек пересечения прямой и данной кривой линии. В самом деле, проблема касательных весьма важна для совокупной теории кривых линий; она, кроме того, исторически замечательна тем, что служила главным поводом к изобретению дифференциального исчисления. Мы говорим главным поводом, ибо, хотя то самое открытие и принадлежит собственно XVII столетию, но многие задачи, известные уже в начальные времена геометрической науки, пробудили задолго еще перед тем временем первые идеи, собственный зародыш открытия. Древние геометры всегда должны были давать особенное направление своим исследованиям, когда хотели сравнивать криволинейные фигуры или между собою, или с прямолинейными. Первый нам известный опыт такого рода содержит второе предложение XII книги Элементов Эвклида, где доказывается, что для кругов и квадратов их поперечников существует то же самое отношение, которое мы доказали (I пример) для подобных треугольников и квадратов сходственных их сторон, следовательно для одних прямолинейных фигур. Из того предложения о треугольниках можно, путем весьма обыкновенным, вывести, что также подобные многоугольники, произвольного числа сторон, в кругах вписанные, т. е., так что круговые линии проходят чрез вершины всех углов многоугольников, относятся друг к другу, как квадраты поперечников тех кругов. Но чем больше число сторон вписанного в круге многоугольника, тем более приближается он к кругу, а потому круг может быть почитаем пределом, в строгом смысле недостижимым, всех вписанных в нем многоугольников. И так, чтобы распространить предложение, найденное для многоугольников произвольного числа сторон, и на самые описанные около них круги, должен быт непременно переход от конечного к бесконечному. Такой именно переход составляет характеристическую черту вышеупомянутых теорем и задач, относящихся к криволинейным фигурам. Теми же почти средствами, которые употреблял Эвклид для произведения такого перехода, дошел и Архимед до предложений гораздо труднейших, до определения отношения между поверхностями и объемами (толщинами) цилиндра и шара, до квадратуры параболы и до свойств спиралей. (См. относящиеся к тому статьи.) И если без сомнения и здесь, как почти везде, по словам Гердера, аналогия была матерью открытий, то строгость, которой достигли Древние в геометрических доказательствах, не позволяла изложения открытых ими истин основывать на одной только аналогии. Для того выдумали они так называемую методу истощения (methodus exhaustionis), получившую в новейшее время название методы пределов. Она состоит в том, что, во-1-х, пределом непрерывно продолжающегося ряда величин считается величина, с которою члены того ряда так сближаются, что различие между тою величиною и одним из тех членов может сделаться меньше всякой данной величины, как бы мала она не была; и, во-2-х, тогда доказывается, что свойство, принадлежащее вообще членам сего ряда, должно принадлежать и самому пределу. По пробуждении наук, когда сочинения Эвклида и Архимеда были переведены и истолкованы, начали искать нити, которая была в состоянии навести тех великих людей на их изобретения. Но желание, как можно скорее распространить завоеванную Древними область науки, было несообразно с медлительною строгостью сих последних, а потому преемники их старались, отступая от проторенной стези, найти новые пути, которые гораздо скорее могли бы довести их до желаемой цели. Это самое побудило без сомнения Бонавентуру Кавальери из Милана (1598—1647) отказаться от той крайней строгости, и навело его ва методу неделимых (methodus indivisibilium), на основании которой он позволил себе рассматривать линии как бы составленные из точек, поверхности из линий, тела из поверхностей. Сим же путем, незадолго пред тем, пошел во Франции Роберваль (1602—1675). Возбужденный чтением Архимедовых сочинений, он искал общего способа для решения проблем, относящихся к криволинейным фигурам, и открыл методу, которую, в письме к Торичелли, описывает совершенно подобною методе Кавальери; но самолюбивою утайкою лишился он чести первенства в своем открытии. Он изобрел также основанную на теории сложных движений методу проводит касательные к кривым линиям, но, не смотря на остроумие её начала, в применении своем она далеко отстоит от методы Декарта. Уже прежде сего последнего владел соперник его Ферма (1665) методой касательных, превосходящею простотою методу Декарта, но он, подобно Робервалю и по столь же непохвальной причине, объявил ее позже Декарта. Знаменитый Гюйгенс (1629—1695) прежде всех доказал изобретенные Ферма, но изложенные им без доказательств, правила ках для проблемы касательных, так и для сходственного с ней разыскания наибольших и наименьших величин (maxima и minima) координат кривой линии. Правила эти столь близко подходят к дифференциальному исчислению, что некоторые считали Фермата настоящим его изобретателем. Правила для нахождения касательных были упрощены Слюзом (1623—1685). Наконец Барров (1630—1678), учитель Ньютона, открыл свой характеристический треугольник, образованный расстоянием и разностью двух бесконечно близких ординат, и лежащею между ними бесконечно малою дугою кривой линии. Таким образом придал он методе касательных Фермата последнюю степень простоты, которой она только способна. В то время, как геометров занимали означенные две задачи, о касательных и о наибольших и наименьших величинах, многие, особенно Grègore de St. Vincent, Роберваль и Паскаль, рассматривали третью задачу о квадратуре (т. е. о нахождении площади) пространств, ограниченных кривыми и прямыми линиями. Но только в Arythmetica infinitorum Джона Валлиса (1616—1703) видно собственно применение алгебраического исчисления к квадратуре, совершенно основанное на методе неделимых. Валлис принадлежит к числу геометров, весьма много содействовавших успехам Анализиса. Не считая собственных его открытий, его должно почитать виновником всех, основанных на исследовании изобретенных им рядов, т. е. таких сумм, которых члены поступают по известным, от их места зависящим законам, до некоторого предела или бесковечно. Виллиам Броункер, Viscount of Castel-Lyons в Ирландии (1620 — 1684) и Николай Кауффманн из Голштинии, известный под именем Меркатора (в 1660 году приехавший в Англию), распространили открытия Валлиса, и дошли до первых извествых рядов для квадратуры круга и гиперболы.

В таком положении находились Анализис и приложение его к Геометрии, когда в 1674 году Лейбниц (1646—1716), недавно пред тем бывший в Лондоне, и присоединившийся там к Олдембургу, уведомил сего последнего, что он обладает весьма важными предложениями о квадратуре круга посредством рядов, и весьма общими аналитическими методами. Олдембург отвечал ему, что и Яков Грегори (1636—1675) и Ньютон (1642—1727) открыли способы для квадратуры кривых линий, которые могут быть применены также к кругу. В последствие времени Ньютон, в письме к Олдембургу, которое прислано было для сообщения Лейбницу, описал пользу открытого им способа флюкционов для нахождения касательных и квадратуры. Он скрыл сей способ под анаграммою. В июне 1677 года послал Лейбниц письмо Олдембургу с первым очерком методы, долженствовавшей заключать в себе всё то, что обещала исполнить метода Ньютова, и просил сообщить об этом Ньютону. Это было дифференциальное исчисление. Вскоре последовавшая за тем смерть Олдембурга прекратила эту переписку, и Лейбниц обнародовал свое открытие в 1684 году в Лейпцигских Acta eroditorum. Между тем Ньютон уже в 1671 году имел намерение издать свою Methodus fluxionum et serierum infinitarum: в исполнении сего помешал ему пожар, истребивший это сочинение вместе с несколькими другими бумагами; и только в 1687 году объявил он очерк своей методы, в превосходном сочинении: Principia philosophia naturalis. Здесь должно заметить, что Ньютов почти забыл о своих открытиях, ибо только в 1706 году явилось его рассуждение о квадратуре кривых линий, а сочинение о флюкционах вышло только в 1736 году, девять лет после его смерти. Между тем, дифференциальное исчисление и противоположное ему интегральное весьма успевали трудами Лейбница, братьев Якова и Иоанна Бернулли, в 1696 году явилась первая учебная книга об этом предмете, под заглавием: Analyse des Infiniment petits, изданная маркизом де л'Опиталем, принадлежавшим к малому числу геометров, сначала на этом поле трудившихся. Сильные споры приверженцев Ньютова и Лейбница о первенстве открытия нового исчисления, относятся к жизнеописанию участвовавших в них лиц, и не принадлежат к этой статье, посвященной одному только изображению различных постепенных состояний науки. Тоже самое должно сказать об остальных сочинениях и открытиях вышеупомянутых математиков. Мы постараемся дать теперь нашим читателям по возможности ясное понятие об основных идеях и главном предмете великого Лейбницо-Ньютоновского открытия.

Ньютонова метода флюкционов и флюэнтов (metheod of fluxions and fluent) основана на понятиях о движении. Движение тела, которое должны мы здесь представить себе точкою, равномерно, если скорость его одна и та же, т. е. если оно в равные времена проходит равные пространства; — неравномерно или переменно, если скорость переменна, т. е. если оно в равные времена проходит неравные пространства. Неравномерное движение может быть ускорено или замедлено, по мере беспрестанного увеличения или уменьшения скорости. Ньютон рассматривает каждую кривую линию как вывод двух движений: в следствие первого, описывающая кривую линию, точка движется на ординате её, между тем как, в следствие второго движения, ордината, параллельно самой себе, продолжает движение свое на оси абсцисс. Для большей простоты второе движение полагается равномерным; первое же переменное, ускоренное или замедленное, исключая один только тот случай, когда образуемая линия должна быть прямою, а не кривою. Величины, на которые при таком сложном движении изменяются абсциссы $x$ и ординаты $y$, означаются знаками ${\dot {x}}$ и ${\dot {y}}$, и называются fluxions (течения) координат $x$ и $y$, а сии последние в этом же отношении называются fluents (текущия). Флюкционы могут иметь свои флюкционы, и т. д. Они означаются знаками ${\ddot {x}}$ и ${\ddot {y}}$ и т.д., и образуют флюкционы высших разрядов. Прямая метода флюкционов учит, посредством данного уравнения между флюэнтами, находить взаимное отношение их флюкционов. Обратная метода, из данного отношения между флюкциовами, восстановляет уравнение между флюэнтами.

Лейбниц, меньше Ньютона, основывал свое исчисление на геометрических рассуждениях, или по крайней мере изложение начал его не зависело от них так много. Он полагал, что есть величины, которые бесконечно малы в отношении к другим величинам, а потому и могут быть опущены без ощутительной погрешности против сих последних величин. Он тем не ограничивается: по его системе есть бесконечно малые величины второго, третьего разрядов в т. д., которые также могут быть опущены или совершенно исчезают против величин бесконечно малых первого, второго разрядов и т. д. Положим, у кривой линии приняты три бесконечно смежные, так сказать, непосредственно одна за другой следующие ординаты; тогда разности между каждыми двумя, одна к другой прилежащими ординатами, будут бесконечно малые величины первого разряда, а разность тех двух разностей будет бесконечно малою величиною второго разряда. Оттого и выражения: дифференциал, а именно первый дифференциал, второй, третий, и т. д., дифференциальное исчисление, исчисление бесконечно малых величин, Анализ бесконечного, Calcul infinitesimal. Разность же, напр. между одною ординатою $y$ и непосредственно за ней следующей другой ординатой, или дифференциал ординаты $y$, означается знаком $dy$, дифференциал сего $dy$ знаком $ddy$ или $d^{2}y$, и т.д. Нам сначала кажутся странными эти положения о бесконечно-малом, но вся странность скрывается в одних только выражениях. Можно доказать, что, излагая таким образом, мы избегаем многословия, и не доходим до заблуждений. Лейбниц, опуская некоторые величины, не вводит тем ничего нового, но делает в этом отношении то же самое, что и до него делали геометры и аналитики. Ибо каждую величину, которая, при известных обстоятельствах, делалась меньше каждой данной величины, как бы мала она ни была, сами Древние, при тех же обстоятельствах, считали исчезающею. Дифференциальное исчисление, сходственное с прямою методой флюкционов, из данного уравнения между двумя переменными величинами, каковы суть напр. координаты кривой линии, учит находит отношение между их дифференциалами. Интегральное же исчисление, соответствующее обратной методе флюкционов, из отношения между дифференциалами восстанавливает уравнение между первоначальными переменными величинами. Потому исчисление флюкционов и Анализис бесконечного, под которым разумеется дифференциальное и интегральное исчисления, отличны друг от друга одним только изложением, знаками и названиями. На материке Европы все вообще следовали изложению Лейбница, и удержали притом его знаки и выражения. В новейшее время и Англичане мало по-малу начинают пользоваться теми же знаками и выражениями. При всем том во Франции и Германии несколько раз пытались дать дифференциальному исчислению другое основание и развитие, считая первое слишком неопределенным и зыбким, а оттого не имеющим истинно математической верности. Уже при методе флюкционов принуждены были, для определения изменяющейся скорости, движущейся на ординате точки, прибегать или к методе истощения Древних, или, как делал большею частью сам Ньютон, к способу первых и последних отношений, т. е. тех, которые должны быть между двумя в одно время образующимися или в одно время исчезающими переменными величинами в самое мгновение образования или исчезания их. Всё это не что иное, как метода пределов. Притом, для нахождения касательных, следовали исчислению Барроу, которое Ньютон только больше распространил. Для избежания Лейбницова разрядного положения бесконечно-малых величин старался д'Аламберт, на той же методе пределов основать дифференциальное исчисление, исключив только из него несвойственный Анализису элемент движения. Эйлер между тем, в своих Institutionis calculi differentialis, бесконечно малые величины считает просто совершенными нулями, находящимися однако же в известных отношениях друг к другу; как, на пр. 2 жды 0, 3 жды 0 всё будет 0, так можно сказать, что 0 к 0 в первом случае содержится как 1 к 2, а в последнем как 1 к 3. Конечно многие не знали, что должно разуметь под отношениями величин, кончивших свое существование: это to be and not to be не так легко было подвергнуть философскому разбору, как Гамлетов to be or not to be. В 1760 году хотел Ланден обойти употребление понятий о бесконечно-малом и о движении; он предложил методу, в основаниях своих совершенно сходную с методой пределов. Эта попытка заслуживает особенное внимание потому, что Ланден может быть единственный из числа Английских математиков столь откровенный, что восстал против предрассудка своего народа, и явно сознался в недостатках методы флюкционов. Карно в своих с большим старанием и остроумием пояснил начала дифференциального исчисления и различные образы его изложения. Дифференциальные уравнения называет он несовершенными (équations imparfaites), и объявляет следующее мнение. Если дифференциалы, находящиеся в тех уравнениях, будут почитаемы приращениями переменных величин, то уравнения эти могут быть только приблизительные, причем остается неопределенною степень точности, потому что она зависит от малости тех приращений, а эта малость ничем не ограничена. Следовательно от нас зависит степень истины, которую мы хотим придать дифференциальным уравнениям. Это совершенно согласно с идеями Лейбница. Карно показывает также, каким образом те несовершенные уравнения при конце исчисления делаются в самом строгом смысле верными или совершенными, оттого что оттуда тогда исчезают дифференциалы, единственный источник несовершенства. Между тем, как еще и ныне делает большая часть математиков, весь Анализис разделили на две, существенно друг оть друга отличные части, на Анализись конечного, т. е. Общую Арифметику и Алгебру, включая сюда все выведенные оттуда теории, объясняемые без помощи дифференциального или интегрального исчислений, и на Анализис бесконечного. В 1772 же году предложил Лагранж в Mémoires de l'Academie de Berlin, свое мнение, в силу которого хотел он дать дифференциальному исчислению основание совершенно элементарное, и крепко и естественно соединить обе части Анализиса. Это мнение он еще более укрепил и развил со всем свойственным ему остроумием, большею посдедовательностию и ясностию в своей Théorie des fonctions analytiques и в Leçons sur le calcul des fonctions. Здесь надобно несколько пояснить значение слова функция: больше будет об этом предмете сказано в особой статье. Первые аналитики употребляли это слово только для означения различных степеней одной и той же величины. Потом значение его распространилось на каждую величину, каким нибудь простым или сложным аналитическим действием образованную из другой величины. Теперь оно выражает, что величина по определенному закону зависит от одной или многих переменных величин, называемых просто переменными (variables) или аргументами функции, не смотря на то, известно или нет, каким образом должны быт соединены переменные друг с другом или с другими непеременными величинами, называемыми постоянными (constantes), для того, чтобы произвести первые. Так напр. неизвестное количество алгебраического уравнения называется функциею коэффициентов его, всё равно, можно ли разрешить уравнение или нет. Потому весь Анализис есть наука о функциях. Лагранжево изображение дифференциального исчисления, называемого им Calcul des fonctions в строгом смысле, основывается на следующем: Когда один или несколько аргументов функции увеличится или уменьшится одною какою нибудь величиною, то вывод того можно выразить рядом членов, из которых первый будет данная функция, а остальные будут поступать по степеням величин, которыми увеличены или уменьшены аргументы. Общее предложение, показывающее способ образования такого ряда, по правилам прямой методы флюкционов или дифференциального исчисления, называется, именем изобретателя, Тайлоровою теоремою. Притом коэффициенты тех степеней суть выражения, совершенно независимые от помянутых величин: они зависят только от особенной формы данной функции. Эти коэффициенты потому составляют ряд функций, для которых Лагранж ввел особенные знаки, и которые называет он производными (fonctions dérivés), именуя данную функцию первоначальною (primitive). Поэтому предмет дифференциального исчисления состоит в том, чтобы найти из первоначальных функций их производные; интегральное же исчисление учит из производных функция восстанавливать первоначальные. Сколь ни прост, систематическ и ясен этот образ изложения в отношении только аналитическом, сколь ни кажется он способным приводить в ближайшее отношение всё, казавшееся нам дотоле совершенно разнородным, столь неудобен и недостаточен он в применениях к Геометрии и Механике. Подобную цель, но и подобные же недостатки имело деривационное исчисление (calcul des dérivations) Арбогаста и другие опыты, довести дифференциальное исчисление до обыкновенных арифметических начахь, и тем присоединить его к элементам. С противной стороны другие, и преимущественно Коши, в своем Cours d'analyse de l'école royale polytechniquue, 1-re parte: Analyse algébrique, 1821, ввел в алгебраический Анализис понятие о бесконечно малом, на основании более строгом, и старались таким образом присоединять уже к элементам основное понятие Лейбницова дифференциального исчисления. Вообще, чтобы привести все мнения к единству и общности, необходимо, по весьма справедливым, кажется, примечаниям Лейпцигского профессора Дробиша^[1], только согласиться на следующие пункты. Почти всеобщее до сих пор разделение Математики на элементарную и высшую не может ни в каком отношении выдержать строгой критики: оно основано на одних только внешних, до науки совершенно не касающихся, отношениях, которые, весьма естественно, потому и дозволяют величайший произвол при разграничении обеих частей. Но странно и неоспоримо было вредно, что большая часть не хотели согласиться на отличие в отдельных математических теориях элементарной части от высшей, между тем как это было бы весьма естественно и удобно для достижения цели, потому что каждая теория имеет свои предложения простые и запутанные. К счастью, этот педантический отдел Математики низшей от высшей не положил ни каких оков на умственную изобретательность. Случись это, и наука, без сомнения, потеряла бы много открытий прекрасных и богатых последствиями. Но кто может исчислить, сколько погибло счастливых соображений математиков второго разряда, достойных впрочем всякого уважения, от господства предрассудков, подобных тому, что в развитие и основание теории алгебраических уравнений не должно мешать дифференциального исчисления! Впрочем нельзя не упомянуть, что уже в течение нескольких десятков лет много было сделано для искоренения подобных предрассудков. Потому остается только признать, без всяких околичностей, что гораздо скорее и легче достигнешь цели, когда за первыми элементами общей Арифметики и Алгебры тотчас последуют начала дифференциального исчисления, в простейшем виде изложения и с общепринятыми для них знаками. В нынешнее время нас решительно к тому принуждают труды Фурье (Analyse des équations déterminées) и прекрасное предложение о числе действительных, положительных и отрицательных корней алгебраических уравнений, за которое еще недавно получил Штурм большую премию Парижской Академии. Эти труды неоспоримо доказали, что главная проблема Алгебры, теория уравнений, может получить окончательное решение одним только дифференциальным исчислением. Вышеозначенное сочинение Фурье сверх того сильно содействовало к искоренению другого, столь же значительного предрассудка мнимых ригористов: мы говорим об отношении чистого Анализиса к Геометрии. В чистом Анализисе, по понятиям математического пуризма, не должно быть ни каких геометрических доказательств или объяснений. Это мнение еще с большим упорством, чем во Франции, старались привести в Германии. Но если принять вообще, что строгий отдел общей Арифметики от геометрических средств изложения, покуда дело относится к аналитическим формам и их превращениям, потребен и возможен, то совершенное изгнание геометрического изображения алгебраических выражений, если предметом исследований будут самые величины (valeurs), и именно непрерывные ряды величин тех форм, доведет до одних только пустых отвлеченностей и бесполезных натяжек. Мы даже утверждаем, что тогда введение соответствующих функциям линий, поверхностей, и т.д. не будет уже произвольным, но непременно нужным, потому именно, что мы никогда действительно не исчисляем непрерывных рядов величин, но всегда можем получить только величины отдельные, как бы близки они друг к другу ни были. Сверх того многие арифметические понятия объясняются и получают надлежащую связь только наглядностью. Как темно и несовершенно показалось бы нам, например, представление о значении того, что дифференциальные частные (происходящие от деления первого или высшего дифференциала одной переменной на дифференциал другой или на степень сего дифференциала) делаются нулем или бесконечно-великими, если бы в кривой линии, соответствующей функции, геометрические изображения не объяснили всех тех обстоятельств изгибами, точками возврата и прочими особенностями следа кривой линии. Но весьма заметно, что сочинителям, решившимся строго воздерживаться от всякого геометрического образа изложения, стоило многих трудов выполнить свой обет: Геометрии запрещен был вход в текст сочинения; она явилась в примечаниях. История теории высших уравнений многократно подтверждает справедливость этих суждений. Кривые линии и поверхности никогда не были вытеснены из той теории, но всегда с пользою к ней были применяемы. Как прежде Стирлинг и де Гюа, так в новейшее время, с успехом более ясным и полным, Фурье, рассматривая кривые линии, открыл отличительный признак действительных и мнимых корней уравнений, и далеко опередил аналитические опыты Лагранжа и Варинга. Хотя и Лагранж открыл для Ньютонова аналитического параллелограмма (способа весьма важного для теории рядов) прекрасное аналитическое доказательство, и освободил его тем от всякой геометрической формы, но Фурье находит более выгодным, при пополнении этого способа, возвратиться к геометрическим средствам.

Из всего, что было сказано вообще, и в особенности в новейшие времена, о естественнейшем и удобнейшем разделении всего Анализиса, кажется нам, заслуживает особенного уважения взгляд, недавно сообщенный здешней Академии Наук одним из её членов, которым в праве гордиться Россия. Интегральное исчисление, говорит он в своем Рассуждении о том предмете, есть отличнейшая, важнейшая, труднейшая и наименее обработанная отрасль математического Анализиса. Нам известны только отдельные методы, не ручающиеся за успех интегрирования. Лейбниц и Ньютон смотрели на теорию интегрального исчисления с ложной точки зрения: их последователи были в сем отношении простыми подражателями. И Эйлер интегральное исчисление считает методой для определения самой функции из отношения, данного между нею и производными её функциями. В следствие этого общего взгляда на интегральное исчисление, оно стало подчинено дифференциальному, без которого поэтому не может быть интегрирования. Это несправедливо. Дифференциальное исчисление не должно считать отдельной теорией: она принадлежит частью Алгебре, частью интегральному исчислению. Математический Анализис распадается только на две главные части: на Алгебру, или учение об алгебраических функциях, и на Интегральное исчисление, или науку о трансцендентных функциях. Алгебраические функции суть выводы алгебраических действий, совершенных в конечном количестве. Трансцендентные же функции происходят из бесконечного повторения алгебраических действий. Одно из них, самое простое, сложение, повторенное до бесконечности, ведет к тому, что математики, рассматривая этот предмет с другой точки зрения, назвали интегрированием функции одной переменной. Это самая простая из теорий интегрального исчисления; она столь же мало сделала успехов, как и прочие. Первая проблема, представляющаяся при интеграции функции об одной переменной, должна найти, в каких случаях может быть приведена к алгебраической функции известная под именем интеграла и составленная бесконечным множеством сложений трансцендентная функция. Математики всегда причисляли функции логарифмические и круговые к трансцендентным: они в самом деле туда относятся; ибо можно доказать, что они не в состоянии удовлетворить ни одному алгебраическому уравнению. Интеграция функций об одной переменной, продолжает наш Академик, зависит от решения двух различных проблем. Первая из них есть вышеупомянутая проблема о приведении интегралов к алгебраическим функциям, или к другим более простым интегралам. Вторая проблема занимается сравнением интегралов или трансцендентных функций другь с другом, и получила удовлетворительное решение в предложении знаменитого Норвежского математика Абеля. До сих пор не обращали большего внимания на его Анализ. Наш Академик, в новейшей записке, исследовал применение общей методы разрешения первой из тех проблем к интеграции рациональных дробей^[2], почитаемой истощенною со времен Лейбница и Иоанна Бернулли. Он доказывает, что во всех случаях, когда интеграл такой будет алгебраическим, то его можно найти, не разрешив какого нибудь уравнения. Общее решение той проблемы не только довело бы до окончания интегрирование функций одной переменной, но и освободило бы всю науку от шатких действий (tâtonnement), свойственных еще нынешнему интегральному исчислению столь же, сколько наблюдательным наукам. Мы сочли долгом несколько распространиться о занимательных мнениях нашего земляка: они питают в нас надежду, что выводы их будут содействовать большему возвышению ученой славы России.

В новейшие времена Лежандр прежде всех обратил внимание геометров на особенный замечательный род трансцендентных функций — эллиптические функции. Они довели до важных открытий его, Абеля и кенигсбергского профессора Якоби. План и пределы Энциклопедического Лексикона позволяют только слегка коснуться сего предмета. Потому же мы мало скажем нашим читателям о знаменитой Изопериметрической проблеме, в течение почти целого столетия занимавшей умы математиков и содействовавшей открытию новой ветви дифференциального исчисления. Мы уже заметили, что Ферма, прежде всех, дал прямую методу для решения проблемы о наибольших и наименьших величинах. Она после того упрощена и обобщена дифференциальным исчислением. Та метода относилась однако до одних наибольших или наименьших величин координат данных кривых линий и поверхностей. Но скоро возвысились до задач совершенно новых и более трудных. Надобно было найти кривые линии, в которых известные величины, зависящие от всего протяжения тех линий, и заключающиеся в данных пределах, были бы maxima или minima в отношении ко всем прочим кривым линиям. Надобно, напр., найти ту кривую линию, которая, оборачиваясь около своей оси, заключила бы, в данных пределах, наивозможно большее пространство. Первые подобные проблемы предложила Механика. Ньютон прежде всех искал такой кривой линии, что оборотившись около оси, произвела бы тело, которое, будучи движимо в жидкости по направлению оси, претерпевало бы наивозможно меньшее сопротивление (solide de la moindre résistance). Он предложил, однако же без доказательства, пропорцию, достаточную для строения кривой линии чрез её касательные. Открытию аналитической методы, собственно принадлежащей к тому роду задач, подала первый повод предложенная в 1693 году Иоганном Бернулли, знаменитая проблема о Брахистохроне, линии наискорейшего ската, т. е. той линии, по которой тело доходит в кратчайшее время от одной данной до другой, также данной точки, не находящейся с первою ни в горизонтальной, ни в вертикальной линии. За этою проблемою следовали проблемы собственно изопериметрические, которые требуют найти из всех кривых линий, имеющих равный периметр, т. е. одинаковую длину, такие, которые, в известных пределах заключали бы наибольшее или наименьшее пространство, или, которые, оборачиваясь около своих осей, образовали бы наибольшую или наименьшую поверхность, наибольшее или наименьшее тело, и пр. Особенные трудности таких задач, и великая слава относящихся к тому предмету исследований братьев Бернулли, Тайлора и Эйлера, произвели, что все вообще проблемы изопериметрическими, названы были, в которых требовалось найти кривые линии, хотя не одинакового периметра, но имевшие бы свойства maxima или minima. Для решения таких задач постановил первое начало Яков Бернулли в сочинении, вышедшем в Базеле в 1701 году: Analysis magni problematis isoperimetrici. Тем началом пользовались Тайлор в своей Methdus incrementorum, Иоанн Бернулли в Mém. de l'Académie des Sciences, 1718, и Эйлер в VI и VИИИ томах Comm. Acad. Imper. Petropolitanae. Собственно общее и полное решение проблемы дал Эйлер в своем сочинении 1744 года: Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimique proprietate gaudentes. Сочинение это было бы совершенно удовлетворительным в отношении к рассматриваемому предмету, если бы было основано на Анализисе более сообразном с духом дифференциального исчисления. Но сочинитель, разлагая дифференциалы и интегралы на так называемые первоначальные элементы, разрушает механизм сего исчисления и лишает его существеннейших выгод: простоты и общности алгорифма. Следовательно нужно было еще открыть способ приспособить дифференциальное исчисление к решению собственно относящихся к его кругу проблем о помянутых maxima и minima, не уклоняясь впрочем от простого и однообразного хода исчисления. И Лагранж открыл для того Вариационное исчисление (Calcul des variations), обнародованное им сперва во втором томе Mém. de l'Acad. de Turin. Употребление и применение его развил потом Лагранж блистательно в своей Mécanique analytique.

Мы упомянули уже, в статье Алгебра, о различии задач определенных и неопределенных, и притом сказали, что в следствие того и алгебраический Анализис обыкновенно разделяют на определенный и неопределенный или Диофантический. Неопределенный Анализис занимается решением задач, заключающих в себе больше неизвестных, нежели сколько можно вывести уравнений из условий задачи. Когда этот недостаток в уравнениях не пополнится ни какими особенными посторонними условиями, задача имеет бесконечное множество решений, потому что для одного или нескольких находящихся в задаче неизвестных количеств могут быть приняты произвольные величины; потом, посредством выведенных из задачи уравнений, могут быть вычислены величины и прочих неизвестных. То же самое встречаем мы в уравнении между координатами кривой линии; там абсциссе $x$ можем мы придать постепенно произвольные величины, и уравнением получить соответствующую каждой из них ординатную величину: оттого и уравнение в состоянии выразить непрерывный ряд точек и тем весь ход кривой линии. Задачи Диофантова Анализиса бывают обыкновенно такого рода, что могут быть решены только известными родами чисел; напр. когда задача так устроена, что зависящее от нее уравнение можно решить как целыми, так и дробными числами, но практический смысл вывода не позволяет иных чисел, кроме целых. Для того, чтобы объяснить это тем из наших читателей, которые совершенно незнакомы с Алгеброю, положим, что нам даны для решения две следующие задачи:

1) На 19 рублей купили товаров двух родов: фунт товаров первого сорта стоит 2 р., второго — 3 р. Сколько фунтов товаров купили каждого сорта?

2) Нескольким работникам обоего пола заплатили поденщины 19 руб. Каждая баба получила по 2 р.; каждый мужик по 3 рубля. Сколько баб и мужиков работало?

Обе задачи ведут нас к одному и тому же уравнению. Если $x$ будет означать в первой задаче число фунтов одного сорта, и во второй задаче число баб; а $y$ будеть означать в первой задаче число фунтов другого сорта, и во второй задаче число мужиков; то в первой задаче все фунты одного сорта стоили $2x$ руб., и все фунты второго сорта $3y$ руб.; равно и во второй задаче все бабы получили $2x$ руб., все мужики $3y$ руб. В обеих задачах должны следовательно $2x$ руб. с $3y$ руб. составлять 19 руб., или $2x+3y$ должны быть $=19$. Каждая из сих задач дает следовательно для определения двух неизвествых только одно уравнение, а потому они не определены. Не смотря на то, обе задачи сильно отличаются друг от друга степенью их неопределенности; ибо сущность второй задачи непременно требует для $x$ и $y$ только целых чисел, между тем как первая допускает и дроби. Потому я могу в первом случае для одного из двух неизвестных, напр. для $y$ принять произвольное целое или дробное число, только такое, которое взятое 3 раза было бы меньше 19; и из того определить $x$. Я возьму на пр. $y=2{\tfrac {1}{2}}$; то $3y=3$ жды $2{\tfrac {1}{2}}$, или $7{\tfrac {1}{2}}$: и так $2x$ должны быть $=19$ менее $7{\tfrac {1}{2}}$, т. е. $11{\tfrac {1}{2}}$, следовательно $x$ будет тогда половиною $11{\tfrac {1}{2}}$ или $5{\tfrac {3}{4}}$, и я могу отвечать: $5{\tfrac {3}{4}}$ ф. первого и $2{\tfrac {1}{2}}$ ф. второго сорта. Вторая задача гораздо труднее; ее ограничивает условие, что искомые числа должны непременно быть целыми, и она для того допускает гораздо меньше первой ответов. В самом деле, эта задача имеет только три дельные ответа, именно: 8 баб и 1 мужик, или 5 баб и 3 мужика, или 9 бабы и 5 мужиков.

Для всегдашнего удовлетворения таких ограничивающих условий потребны совершенно особенные средства; для того и привели всё к тому относящееся к одной системе правил и метод, и назвали неопределенным Анализисом или неопределенною Аналитикой (см. Аналитика). Такую систему оставил нам Эйлер во второй части вышедшей его здесь в С. Петербурге Алгебры. Лагранж одарил ту часть многими занимательными примечаниями и прибавками. Неопределенный Анализис находит свое главное примечание в весьма важных исследованиях о свойстве чисел. Таким образом, под именем Теории чисел, образовалась совершенно особенная ветвь математического Анализиса. В XVII столетии по этой части особенно отличался Фермат. Его именем еще и доныне обыкновенно называют несколько весьма примечательных теорем той теория, оставленных им без доказательств, или, может быть, только угаданных. В новейшее время систематическим обрабатыванием теории чисел, после того как Эйлер проложил к тому путь многими рассуждениями, помещенными в сочинениях здешней Академия, особенно занимались Гаусс (Disquisitiones arithmeticae, 1801) и Лежандр (Essai sur la théorie des nombres, 2ème éd. 1808). Эта теория довела до весьма занимательных открытий; из числа которых мы упомянем о способе Гаусса для строения правильного семнадцатиугольника.

Въ заключение должны мы здесь сказать несколько о так называемом Анализисе соединений (Combinatorische Analysis, analyse combinatoire), существование которого вероятно одолжено некоторым идеям Лейбница. В конце прошлого столетия Лейпцигский профессор Гинденбург старался привести сию теорию в наукообразную систему. Под Анализисом соединений разумеют науку, рассматривающую величины и символы их только в отношении к их взаимному месту, и исследующую, как часто многие, одна подле другой находящиеся, вещи могут переменить свои места, как часто могут они быть соединены по две; по три, и т. д. Сколь ни остроумны способы изложения, методы и правила, изобретенные в этом отношении Гинденбургом, старшим Пфаффом, Роте, и многими другими отличными математиками Германии, сколь ни многообразную пользу, именно своими самыми простейшими предложениями, приносит эта теория некоторым частям и применениям Математики, к числу последних именно относится исчисление вероятностей, — несмотря на всё это, она кажется переоценена в Германии, и нельзя многого ожидать от неё в будущем. Без успеха также остались новейшие опыты профессоров Геттингенского Тибо, Гейдельбергского Швейнса, и других, поставить, в общей теории величин, Анализис соединений наряду с собственно так называемым математическим Анализисом. В 1820 году впервые систематически обработанная Эрлангенским профессором Роте, Теория комбинаторических интегралов или аггрегатов значительно полезна тем, что все относящиеся к конечным или бесконечным рядам действия приводятся ею к одному простому исчислению с общими членами рядов, т. е. с общими выражениями, изображающими закон, которому следуют все члены рядов. Та теория, хотя и находится в тесной связи с Анализисом соединений, но, как для своего основания, так и для применения, требует одних весьма простых начал той науки.

Что касается до многочисленных трудов и открытий математиков XVIII и нынешнего столетий, не упомянутых в предстоящем обозрении, то повторяем вышесказанное: читатели найдут всё принадлежащее к тому в биографических статьях. Это преимущественно относится к величайшему аналитику нашего времени, славному Лапласу, обогатившему науку с столь блистательным успехом, и оставившему нам, в двух главных своих сочинениях: Mécanique céleste и Théorie analytique des probabilités, неистощимое сокровище самых важных предложений и изобильнейших метод.

Сверх сочинений, поименованных в конце статьи Алгебра, при изложении настоящей статьи были еще употреблены следующие:

Lacroix. Traité du calcul différentiel et du calcul intégral, 2ème édit. Paris, 1810 (Том I. Предисловие.)

Lagrange. Leçons sur le calcul des fonctions, Paris, 1806. (Уроки I, XVIII, XXI и XXII.)

Э. Д. К.

Примечания

1. В предисловии к сочинению: Grundzüge der Lehre von den höhern nummerischen Gleichungen nach ihren analytischen und geometrischen Eigenschaften: ein Supplement zu den Lehrbüchern der Algebra und der Differentialrechnung. Leipzig, 1834.
2. [Вероятно, речь идет о Mémorie sur l'intégration des fractions rationnelles М. В. Остроградского, опубликованном в Mémoires de l'Academie impériale des sciences de St. Pétersbourg за 1833 г.] — Прим. ред. Викитеки.