тодѣ предѣловъ основать дифференціальное исчисленіе, исключивъ только изъ него несвойственный Анализису элементъ движенія. Эйлеръ между тѣмъ, въ своихъ Institutionis calculi differentialis, безконечно малыя величины считаетъ просто совершенными нулями, находящимися однако же въ извѣстныхъ отношеніяхъ другъ къ другу; какъ, на пр. 2 жды 0, 3 жды 0 все будетъ 0, такъ можно сказать, что 0 къ 0 въ первомъ случаѣ содержится какъ 1 къ 2, а въ послѣднемъ какъ 1 къ 3. Конечно многіе не знали, что должно разумѣть подъ отношеніями величинъ, кончившихъ свое существованіе: это to be and not to be не такъ легко было подвергнуть философскому разбору, какъ Гамлетовъ to be or not to be. Въ 1760 году хотѣлъ Ланденъ обойти употребленіе понятій о безконечно-маломъ и о движеніи; онъ предложилъ методу, въ основаніяхъ своихъ совершенно сходную съ методою предѣловъ. Эта попытка заслуживаетъ особенное вниманіе потому, что Ланденъ можетъ быть единственный изъ числа Англійскихъ математиковъ столь откровенный, что возсталъ противъ предразсудка своего народа, и явно сознался въ недостаткахъ методы флюкціоновъ. Карно въ своихъ съ большимъ стараніемъ и остроуміемъ пояснилъ начала дифференціальнаго исчисленія и различные образы его изложенія. Дифференціальныя уравненія называетъ онъ несовершенными (équations imparfaites), и объявляетъ слѣдующее мнѣніе. Если дифференціалы, находящіеся въ тѣхъ уравненіяхъ, будутъ почитаемы приращеніями перемѣнныхъ величинъ, то уравненія эти могутъ быть только приблизительныя, причемъ остается неопредѣленною степень точности, потому что она зависитъ отъ малости тѣхъ приращеній, а эта малость ничѣмъ не ограничена. Слѣдовательно отъ насъ зависитъ степень истины, которую мы хотимъ придать дифференціальнымъ уравненіямъ. Это совершенно согласно съ идеями Лейбница. Карно показываетъ также, какимъ образомъ тѣ несовершенныя уравненія при концѣ исчисленія дѣлаются въ самомъ строгомъ смыслѣ вѣрными или совершенными, оттого что оттуда тогда исчезаютъ дифференціалы, единственный источникъ несовершенства. Между тѣмъ, какъ еще и нынѣ дѣлаетъ большая часть математиковъ, весь Анализисъ раздѣлили на двѣ, существенно другъ оть друга отличныя части, на Анализись конечнаго, т. е. Общую Арифметику и Алгебру, включая сюда всѣ выведенныя оттуда теоріи, объясняемыя безъ помощи дифференціальнаго или интегральнаго исчисленій, и на Анализисъ безконечнаго. Въ 1772 же году предложилъ Лагранжъ въ Mémoires de l'Academie de Berlin, свое мнѣніе, въ силу котораго хотѣлъ онъ дать дифференціальному исчисленію основаніе совершенно элементарное, и крѣпко и естественно соединить обѣ части Анализиса. Это мнѣніе онъ еще болѣе укрѣпилъ и развилъ со всѣмъ свойственнымъ ему остроуміемъ, большею посдѣдовательностію и ясностію въ своей Théorie des fonctions analytiques и въ Leçons sur le calcul des fonctions. Здѣсь надобно нѣсколько пояснить значеніе слова функція: больше будетъ объ этомъ предметѣ сказано въ особой статьѣ. Первые аналитики употребляли это слово только для означенія различныхъ степеней одной и той же величины. Потомъ значеніе его распространилось на каждую величину, какимъ нибудь простымъ или сложнымъ аналитическимъ дѣйствіемъ образованную изъ другой величины. Теперь оно выражаетъ, что величина по опредѣленному закону зависитъ отъ одной или многихъ перемѣнныхъ величинъ, называемыхъ просто перемѣнными (variables) или аргументами функціи, не смотря на то, извѣстно или нѣтъ, какимъ образомъ должны бытъ соединены перемѣнныя другъ съ другомъ или съ другими неперемѣнными величинами, называемыми постоянными (constantes), для того, чтобы произвести первыя. Такъ напр. неизвѣстное количество алгебраическаго уравненія называется функціею коэффиціентовъ его, все равно, можно-ли разрѣшить уравненіе или нѣтъ. Потому весь Анализисъ есть наука о функціяхъ. Лагранжево изображеніе дифференціальнаго исчисленія, называемаго имъ Calcul des fonctions въ строгомъ смыслѣ, основывается на слѣдующемъ: Когда одинъ или нѣсколько аргументовъ функціи увеличится или уменьшится одною какою нибудь величиною, то выводъ того можно выразить рядомъ членовъ, изъ которыхъ первый будетъ данная функція, а остальные будутъ поступать по степенямъ величинъ, которыми увеличены или уменьшены аргументы. Общее
