кую длину, такія, которыя, въ извѣстныхъ предѣлахъ заключали бы наибольшее или наименьшее пространство, или, которыя, оборачиваясь около своихъ осей, образовали бы наибольшую или наименьшую поверхность, наибольшее или наименьшее тѣло, и пр. Особенныя трудности такихъ задачъ, и великая слава относящихся къ тому предмету изслѣдованій братьевъ Бернулли, Тайлора и Эйлера, произвели, что всѣ вообще проблемы изопериметрическими, названы были, въ которыхъ требовалось найти кривыя линіи, хотя не одинакаго периметра, но имѣвшія бы свойства maxima или minima. Для рѣшенія такихъ задачъ постановилъ первое начало Яковъ Бернулли въ сочиненіи, вышедшемъ въ Базелѣ въ 1701 году: Analysis magni problematis isoperimetrici. Тѣмъ началомъ пользовались Тайлоръ въ своей Methdus incrementorum, Іоаннъ Бернулли въ Mém. de l'Académie des Sciences, 1718, и Эйлеръ въ VI и VІІІ томахъ Comm. Acad. Imper. Petropolitanae. Собственно общее и полное рѣшеніе проблемы далъ Эйлеръ въ своемъ сочиненіи 1744 года: Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimique proprietate gaudentes. Сочиненіе это было бы совершенно удовлетворительнымъ въ отношеніи къ разсматриваемому предмету, если бы было основано на Анализисѣ болѣе сообразномъ съ духомъ дифференціальнаго исчисленія. Но сочинитель, разлагая дифференціалы и интегралы на такъ называемые первоначальные элементы, разрушаетъ механизмъ сего исчисленія и лишаетъ его существеннѣйшихъ выгодъ: простоты и общности алгориѳма. Слѣдовательно нужно было еще открыть способъ приспособить дифференціальное исчисленіе къ рѣшенію собственно относящихся къ его кругу проблемъ о помянутыхъ maxima и minima, не уклоняясь впрочемъ отъ простаго и однообразнаго хода исчисленія. И Лагранжъ открылъ для того Варіаціонное исчисленіе (Calcul des variations), обнародованное имъ сперва во второмъ томѣ Mém. de l'Acad. de Turin. Употребленіе и примѣненіе его развилъ потомъ Лагранжъ блистательно въ своей Mécanique analytique.
Мы упомянули уже, въ статьѣ Алгебра, о различіи задачъ опредѣленныхъ и неопредѣленныхъ, и притомъ сказали, что въ слѣдствіе того и алгебраическій Анализисъ обыкновенно раздѣляютъ на опредѣленный и неопредѣленный или Діофантическій. Неопредѣленный Анализисъ занимается рѣшеніемъ задачъ, заключающихъ въ себѣ больше неизвѣстныхъ, нежели сколько можно вывести уравненій изъ условій задачи. Когда этотъ недостатокъ въ уравненіяхъ не пополнится ни какими особенными посторонними условіями, задача имѣетъ безконечное множество рѣшеній, потому что для одного или нѣсколькихъ находящихся въ задачѣ неизвѣстныхъ количествъ могутъ быть приняты произвольныя величины; потомъ, посредствомъ выведенныхъ изъ задачи уравненій, могутъ быть вычислены величины и прочихъ неизвѣстныхъ. То же самое встрѣчаемъ мы въ уравненіи между координатами кривой линіи; тамъ абсциссѣ можемъ мы придать постепенно произвольныя величины, и уравненіемъ получить соотвѣтствующую каждой изъ нихъ ординатную величину: оттого и уравненіе въ состояніи выразить непрерывный рядъ точекъ и тѣмъ весь ходъ кривой линіи. Задачи Діофантова Анализиса бываютъ обыкновенно такого рода, что могутъ быть рѣшены только извѣстными родами чиселъ; напр. когда задача такъ устроена, что зависящее отъ нее уравненіе можно рѣшить какъ цѣлыми, такъ и дробными числами, но практическія смыслъ вывода не позволяетъ иныхъ чиселъ, кромѣ цѣлыхъ. Для того, чтобы объяснить это тѣмъ изъ нашихъ читателей, которые совершенно незнакомы съ Алгеброю, положимъ, что намъ даны для рѣшенія двѣ слѣдующія задачи:
1) На 19 рублей купили товаровъ двухъ родовъ: фунтъ товаровъ перваго сорта стоитъ 2 р., втораго — 3 р. Сколько фунтовъ товаровъ купили каждаго сорта?
2) Нѣсколькимъ работникамъ обоего пола заплатили поденщины 19 руб. Каждая баба получила по 2 р.; каждый мужикъ по 3 рубля. Сколько бабъ и мужиковъ работало?
Обѣ задачи ведутъ насъ къ одному и тому же уравненію. Если будетъ означать въ первой задачѣ число фунтовъ одного сорта, и во второй задачѣ число бабъ; а будеть означать въ первой задачѣ число фунтовъ другаго сорта, и во второй задачѣ число мужиковъ; то въ первой задачѣ всѣ фунты одного сорта стоили руб., и всѣ фунты втораго сорта руб.; равно и во второй задачѣ всѣ бабы получили руб., всѣ мужики руб.
