ЭЛ/ДО/Алгебра

Алгебра
Энциклопедическій лексиконъ

Словникъ: А — Алмелофеенъ. Источникъ: т. I: А—Алм, с. 436—443 ( сканъ · индексъ )

Проект «ЭЛ»

АЛГЕБРА. Слово сіе Аравійскаго происхожденія. Полное имя науки, названной въ Европѣ Алгеброю, у Аравитянъ: Илмъ-ал-джебръ ал-мокабала, что, по переводу Вейгеля, значитъ: наука о томъ, какъ изъ разсѣянныхъ частей, посредствомъ сравнительнаго противоположенія, возстановить цѣлое: илмъ — наука ; джебръ — возстановленіе, соединеніе въ цѣлое; мокабала — сравненіе противоположеніемъ. Собственно слово джебръ y Аравитянъ означаетъ леченіе сломанной или вывихнутой ноги, какъ и донынѣ у Испанцевъ костоправъ называется un algebrista.

Изъ слѣдующаго можно будеть усмотрѣть прежнія и нынѣшнее значенія слова Алгебры.

Діофантъ Александрійскій, который жилъ, какъ обыкновенно полагаютъ, въ четвертомъ вѣкѣ по Р. Х., есть древнѣйшій изъ извѣстныхъ намъ писателей объ Алгебрѣ; но нѣтъ достаточныхъ причинъ назвать его изобрѣтателемъ сей науки. Онъ оставилъ сочиненіе, первоначально состоявшее, по собственнымъ словамъ автора въ концѣ введенія, изъ тринадцати книгъ; до насъ дошло только шесть. Это сочиненіе, на которое, по свидѣтельству Абулфараджа^[1], Аравитянинъ Мугаммедъ-ибнъ Мугаммедъ аль-Бузджани написалъ толкованіе, вѣроятно пропавшее, издано было въ первый разъ въ 1575 году въ Латинскомъ переводѣ Вильгельмомъ Ксиландромъ^[2]. Почти 50 лѣтъ спустя вышло того же сочиненія первое Греко-Латинское изданіе Башета-де-Мезиріакъ. За нимъ послѣдовало трудами Сам. Фермата, сына славнаго математика, второе, равными примѣчаніями сего послѣдняго умноженное изданіе. Все прочее, что, кромѣ сего заслуженнаго и посему весьма почитаемаго труда Башета, сдѣлано было въ слѣдующія времена для вящшаго распространенія Діофантова сочиненія, ограничивалось большею частію одними неполными извлеченіями или отрывками. Только въ 1822 г. вышелъ весьма хорошій и многими приімѣчаніями обогащенный Нѣмецкій переводъ Діофанта проф. Оттона Шульца въ Берлинѣ^[3].

Дабы кратчайшимъ образомъ дать нашимъ читателямъ по возможности ясное понятіе о содержаніи и методѣ помянутыхъ шести книгъ Діофанта, извлекаемъ здѣсь одну изъ простѣйшихъ задачъ, въ оныхъ заключающихся, вмѣстѣ съ рѣшеніемъ ея, a именно пятую первой книги:

«Раздѣлить число 100 на два числа такого свойства, чтобы третья часть перваго и пятая часть втораго изъ сихъ чиселъ, вмѣстѣ взятыя, произвели число 30. — Означая пятую часть втораго числа буквою $x$ (вмѣсто сей буквы Діофантъ собственно для неизвѣстныхъ чиселъ вездѣ употребляетъ знакъ ς'), второе число само будетъ $5x$. Тогда третья часть перваго числа будетъ 30 менѣе $x$, a посему самое первое число 90 менѣе $3x$. Но $5x$ и 90 безъ $3x$ составляютъ столько, сколько 90 и $2x$; слѣдственно 90 и $2x$ должны составить 100. Отнимая равныя отъ равныхъ, получится $2x$ равны 10, почему $x$ будетъ 5. Тогда второе искомое число будетъ 5 разъ 5, т. е. 35; слѣдовательно первое искомое число 75. И въ самомъ дѣлѣ третья часть 75, т. е. 25, съ пятою частью 25, т. е. съ 5, производитъ число 30.»^[4]

Таковыя задачи объ искомыхъ числахъ, и еще многія другія, между которыми есть и довольно трудныя, рѣшаются Діофантомъ совершенно подобнымъ изложенному способомъ, въ первыхъ пяти книгахъ его сочиненія; шестая же заключаетъ въ себѣ примѣненіе его способа рѣшенія къ задачамъ геометрическимъ. Если назвать твореніе Діофанта алгебраическимъ, Алгебра должна бы быть наукою, показывающею какимъ образомъ по даннымъ числамъ найти неизвѣстныя, удовлетворяющія нѣкоторымъ условіямъ, и коей общій для сего способъ состоитъ въ томъ, что неизвѣстныя числа сначала изображаются особеннымъ знакомъ ($x$ или ς'), потомъ посредствомъ сего знака и обыкновенныхъ знаковъ, принятыхъ для извѣстныхъ опредѣленныхъ чиселъ, выражаются условія задачи, и наконецъ постепенными заключеніями выводится величина знаковъ, представляющихъ искомыя числа, посредствомъ чего дѣлаются извѣстными сіи послѣднія. И въ самомъ дѣлѣ вся система Діофантова творенія, подвергнувшись нѣкоторымъ измѣненіямъ, подъ именемъ Алгебры была перенесена въ Европу, но не Греками, а Аравитянами, особенно же сочиненіемъ Мугаммеда ибнъ-Музы. Италіянскій купецъ Леонардо Бонакчи де Пиза, по возвращеніи своемъ изъ путешествія по Греціи и Азіи, желая распространить въ своемъ отечествѣ пріобрѣтенныя имъ въ Алгебрѣ познанія, написалъ тамъ первый, около 1750 года, книгу о сей наукѣ. И такъ Италія была первою въ Европѣ страною, гдѣ началось, хотя подъ разными странными и таинственными формами, обработываніе сей науки, и первое изъ печатныхъ сочиненій объ Алгебрѣ было издано Лукою Пачіоло де Бурго (Frater Lucas de Burgo sancti sepulchri), подъ заглавіемъ: L'Arte maggiore, ditta dal vulgo la Regola delia Cosa, over Alghebra e Almucabala, на Италіянскомъ языкѣ, въ Венеціи, въ 1494 году. Названіе Regola или Arte della Cosa произошло отъ того, что первые математики, занимавшіеся тамъ Алгеброю, называли искомое въ задачахъ число: la cosa (вещь), то же что у Діофанта называется ἀριθμός (число) и изображается знакомъ ς'. Названіе это перешло и въ Германію, гдѣ первые занимавшіеся Алгеброю называли сію науку, die Regel Coss, regula rei.

Уже Діофантъ, для чиселъ, получаемыхъ нѣкоторыми образами соединенія другихъ чиселъ, принялъ особенные знаки. Такъ, наприм., означается имъ квадратное число знакомъ δ^υ̃ (δύναμης), кубъ числа κ^υ̃ (κύβος) биквадратное число θθ^υ̃ (δύναμοδύναμις), и т. д. (См. Степень.) Онъ также употребилъ оборотную и испорченную букву ψ (λει̃ψις, недостатокъ), т. е. ᛦ для знака вычитанія, между тѣмъ какъ сложеніе двухъ чиселъ выражалось имъ простымъ соединеніемъ ихъ знаковъ. Общимъ постояннымъ знакомъ для выраженія опредѣленныхъ чиселъ служилъ ему знакъ μ^δ (μονάς, единица). Впрочемъ онъ пользовался, при изложеніи рѣшенія задачъ, употребительнымъ у Грековъ способомъ означать опредѣленныя числа буквами по алфавитному порядку, подобнымъ образомъ какъ числа выражаются въ нашемъ церковномъ письмѣ.

Въ новѣйшія времена нѣсколько разъ былъ предлагаемъ вопросъ о томъ, была-ли нѣкоторая связь между Алгеброю Индѣйцевъ и Грековъ. Но вся вѣроятность таковой связи, основанная на нѣкоторыхъ историческихъ показаніяхъ, совершенно, кажется, исчезла съ тѣхъ поръ, какъ переводы Колебрука^[5] познакомили насъ съ разнымм алгебраическими сочиненіями Индусовъ. Книга, изданная Колебрукомъ, содержитъ въ себѣ, между прочимъ, кромѣ исторіи Алгебры у разныхъ народовъ, двѣ диссертаціи (Lilavati и Vija-Ganita), заключающія въ себѣ разныя математическія изложенія. Баскара, по изслѣдованіямъ Колебрука, писалъ около 1150 года, a Брамегупта въ концѣ шестаго или въ началѣ седьмаго вѣка послѣ Р. Х. Въ нихъ нигдѣ нельзя найти сходства съ знакоположеніемъ и образомъ изложенія Грековъ. Между тѣмъ, какъ Грекъ, даже и въ тѣхъ случаяхъ, гдѣ задача относится ко многимъ неизвѣстнымъ числамъ, весьма искусно умѣетъ ограничиться всегда однимъ только знакомъ ς' и знаками для степеней сего единаго неизвѣстнаго количества, Индѣецъ, называя одно неизвѣстное число yávat-tàvat (tantum quantum), для многихъ неизвѣстныхъ употребляетъ имена разныхъ красокъ; вмѣсто вышепомянутаго знака ψ, надъ знакомъ вычитаемаго числа ставитъ онъ точку; и т. д. Грекъ предлагаетъ каждую задачу простыми, но ясными и точными словами, и обращаетъ все вниманіе на приготовленіе и развитіе приличнаго вступленія въ рѣшеніе задачи; Индѣецъ, напротивъ, превращаетъ всѣ способы рѣшенія въ механическія правила, которыя онъ излагаетъ въ длинныхъ стихахъ, изъясняя потомъ общія правила немногими шутливыми примѣрами. Хотя и нельзя отвергнуть, что Индѣйцы, въ разсужденіи общихъ методъ такъ называемой неопредѣленной Аналитики (см. ниже) превзошли Діофанта, но съ другой стороны сочиненіе сего послѣдняго, по оригинальному и поучительному изложенію, беретъ рѣшительный перевѣсъ.

Употребительные нынѣ знаки сложенія и вычитанія, + (плюсъ) и − (минусъ), введены Христофоромъ Рудольфсомъ изъ Яуера, въ древнѣйшемъ изъ всѣхъ алгебраическихъ сочиненій Германіи, напечатанномъ въ 1524 году, и Михаиломъ Штифелемъ изъ Эслингена, трудившимся надъ новымъ изданіемъ его въ 1571 г.^[6], и издавшимъ въ 1544 г. собственное сочиненіе объ Ариѳметикѣ и Алгебрѣ: Arithmetka integra. Norib. Они первые приняли для квадратнаго корня знакъ ${\sqrt {}}$, еще нѣсколько другихъ, вышедшихъ однако изъ употребленія. Знаки, введенные Лукою Пачіоло въ Италіи, были отъ нихъ весьма различны: вмѣсто + писали тамъ р. (piu), a вмѣсто − ставили m. (meno); извѣстное число вообще означалось знакомъ n°., неизвѣстное co. (cosa), квадратъ его знакомъ ce. (censo), кубъ cu. (cubo), биквадратъ ce.ce, и т.д. Равенство двухъ количествъ Рудольфсъ и Штифель выражали одною точкою, такъ что, наприм., равенство, входящее въ рѣшеніе вышеприведенной задачи Діофанта, изображалось ими такъ: 100.90 + 2x. Декартъ употребилъ для сего знакъ $\infty$, а Рекордъ^[7] въ 1567 г. первый ввелъ нынѣ употребительный знакъ равенства: = (100 = 90 + 2x). Такое изображеніе равенства двухъ количествъ назвали уравненіемъ (aequatio); а какъ все рѣшеніе задачи основывалось на томъ только, чтобы, посредствомъ выведенныхъ по условіямъ задачи уравненій, опредѣлить величину неизвѣстныхъ количествъ, то Алгебра была не инымъ чѣмъ, какъ наукою о рѣшеніи уравненій. Самыя же уравненія, смотря на то, соединяется-ли въ нихъ неизвѣстное число съ извѣстными однимъ только сложеніемъ, вычитаніемъ, умноженіемъ или дѣленіемъ, или является въ нихъ и квадратъ, кубъ и пр. неизвѣстнаго, раздѣлялись на уравненія первой степени, второй степени, или квадратныя, третьей степени, или кубическія, и т. д. Дѣйствія, производимыя надъ уравнененіями первой степени, весьма удовлетворотельно изложены были уже Діофантомъ. Аравитяне дали имъ, можеть быть, порядокъ болѣе систематическій, и облегчили ихъ употребленіемъ удобной своей цыфирной системы. Имъ въ особенности должно приписать изобрѣтеніе способа рѣшать сложныя квадратныя уравненія; они занимались уже и кубическими уравненіями. Вскорѣ по появленіи сочиненія Луки Пачіоло, наиболѣе споспѣшествовавшаго изученію и распространенію Алгебры въ Европѣ, Сципіонъ Феррео, профессоръ Математики въ Болоньѣ, нашелъ въ 1505 году правило для рѣшенія одного случая кубическихъ уравненій, и сообщилъ сіе изобрѣтеніе, за тайну, одному изъ своихъ учениковъ, делъ-Фіоре или Флоридо. Сей же пользовался симъ способомъ, дразнить другихъ предложеніемъ задачъ, рѣшеніе коихъ зависѣло отъ того правила. Такимъ образомъ довелъ онъ Венеціянскаго учителя Математики, Тарталеа изъ Бресчіи, до того, что они cогласились, въ видѣ вызова предлагать другъ другу по 30 задач. Тарталеа, въ 1530 г., самъ уже нашелъ два другіе случая кубическихъ уравненій, и, поощренный тѣмъ вызовомъ, открылъ также правило для случая извѣстнаго Флориду, такъ, что онъ былъ въ состояніи рѣшить всѣ задачи, предложенныя ему противникомъ, между тѣмъ какъ сей послѣдній не могъ рѣшить многихъ задачъ. Іерониму Кардану, послѣ настоятельныхъ просьбъ и священнаго увѣренія, не открывать тайны, Тарталеа сообщилъ найденныя имъ правила. Но Карданъ не сдержалъ своего слова, и въ 1545 г., въ своемъ сочиненіи: Artis magna; sive de regulis Algebræ, Liber unus, обнародовалъ ихъ, хотя и снабдилъ собственными доказательствами и показалъ путь къ болѣе общему обработыванію уравненій. Публикованіемъ сего средства, разрѣшать кубическія уравненія, пріобрѣлъ онъ честь, что еще и донынѣ называется оно Кардановымъ правиломъ. Подобное сему случилось съ рѣшеніемъ уравненій четвертой степени или биквадратныхъ. Карданъ ободрилъ Лудовика Феррари изъ Болоньи, молодаго человѣка съ отличнымъ математическимъ талантомъ, сыскать рѣшеніе сихъ уравненій. Феррари нашелъ для того способъ, напечатанный также Карданомъ въ помянутомъ сочиненіи. Это тотъ же самый, который послѣ того изложилъ Рафаилъ Бомбелли въ своей Алгебрѣ, писанной на Италіянскомъ языкѣ въ Болоньѣ въ 1589 г., и который, не смотря на то, что самъ Бомбелли именно приписываетъ его Феррари, получилъ въ послѣдствіи имя Бомбелліева правила.

Изъ вышесказаннаго видно, что всѣ задачи, рѣшенныя Діофантомъ, относятся къ опредѣленнымъ числамъ, хотя конечно изъ самаго изложенія, употребленнаго имъ для рѣшенія каждой изъ нихъ, можно заключить, какъ должно дѣйствовать со всякими другими данными числами, дабы найти неизвѣстныя. Такимъ же образомъ поступали Аравитяне и послѣдовавшіе за ними въ Европѣ алгебраическіе писатели, и хотя Карданъ употреблялъ иногда общіе знаки (т. е. такіе, коими представляются какія нибудь числа), особливо для изложенія разныхъ случаевъ уравненій и найденныхъ для нихъ правилъ, кои Лука де Бурго еще выражалъ варварскими Латинскими стихами, однако по истинѣ Франциску Віету (François Viète, род. 1540 въ Фонтене въ Пуату, ум. 1603), одному изъ славнѣйшихъ математиковъ своего вѣка, должно приписать достоинство введенія общихъ знаковъ для соедіняемыхъ между собою въ Алгебрѣ чиселъ или величинъ, чѣмъ только Алгебра достигла той общности методъ и выкладокъ, которыя еще нынѣ предлагаютъ остроумію математиковъ богатѣйшій матеріялъ къ важнѣйшимъ изслѣдованіямъ, и чѣмъ сія наука приняла совершенно новый видъ. Віетъ означалъ количества прописными Латинскими буквами, извѣстныя согласными, неизвѣстныя же гласными, вмѣсто чего позже, для большей удобности, приняли первыя и послѣднія строчныя буквы того же алфавита. Отъ него произошли и многіе изъ употребительныхъ еще понынѣ терминовъ. Онъ подвергалъ уравненія почти всѣмъ вообразимымъ превращеніямъ, дабы дать имъ удобѣйшій къ рѣшенію видъ, и отличился вообще во многихъ отношеніяхъ въ сей главной части Алгебры. Съ тѣхъ поръ начали Алгебру почитать не только наукою, которая учитъ находить неизвѣстныя числа задачи посредствомъ рѣшенія уравненій, но вмѣстѣ съ тѣмъ включили въ составъ ея полную теорію и систематическое развитіе всѣхъ дѣйствій, производимыхъ надъ числами и выраженіями, происходящими отъ соединенія общихъ знаковъ для чиселъ и знаковъ для дѣйствий, почему и Алгебру назвали Общею Ариѳметикою (Arithmetica universalis). Сочиненія Віета, сколько можно ихъ было собрать по смерти его, изданы Шутеномъ (Schooten) въ Лейденѣ, 1656 г., въ одномъ томѣ.

Около того же времени, какъ Алгебра cъ успѣхомъ обработывалась во Франціи Віетомъ, въ Англіи по той же части отличался Ѳома Гарріоть, a за нимъ Оутредъ (Oughtred) и Валлисъ. Однако Гарріотъ, который впрочемъ въ означеніи величинъ былъ счастливѣе Віета, и которымъ именно были введены удобнѣйшія для сего предмета строчныя буквм, часто пользовался трудями Віета, какъ то видно изъ собственныхъ его ссылокъ. Къ сей же эпохѣ нашей науки принадлежатъ еще весьма значительныя и удачныя попытки Голландскаго математика Альберта Жирарда, умершаго въ 1633 году. Онъ написалъ: Invention nouvelle en l'Algèbre, tant pour la solution des équations, que pour recognoistre le nombre des solutions qu'elles reçoivent, avec plusieurs choses qui sont nécessaires à la perfection de ceste divine science. Amsterdam. 1629, маленькое, но весьма примѣчательное и нынѣ очень рѣдкое сочиненіе.

Декартъ, пріобрѣтшій неоспоримую славу своимъ приложеніемъ Алгебры къ Геометріи, сдѣлавшись такимъ образомъ творцемъ Аналитической Геометріи, занимался также съ успѣхомъ теоріею уравненій. Его Геометрія, вышедшая сперва въ 1637 году на Французскомъ языкѣ, не большое, но по заключающимся въ ней новымъ способомъ весьма богатое сочиненіе. Въ третьемъ отдѣленіи сей книги показываетъ Декартъ, какимъ образомъ могутъ рѣшаться геометрическимъ черченіемъ уравненія, превышающія вторую степень. Для сего онъ излагаетъ предварительно, весьма кратко и ясно, важнѣйшія алгебраическія предложенія и методы, не говоря однако при томъ, принадлежатъ ли всѣ онѣ собственно ему самому или другимъ. Между сими предложеніями особеннаго вниманія достойно такъ называемое правило о знакахъ, la règle des signes, (т. е. о знакахъ + и $-$, соединяющихъ члены алгебраическаго уравненія), изобрѣтеніе коего старался Валлисъ упорнымъ, но несправедливымъ и тщетнымъ образомъ присвоить своему соотечественнику Гарріоту. Тамъ же находится названная именемъ Декарта метода рѣшать уравненія четвертой степени. Много превосходныхъ примѣчаній объ общихъ свойствахъ алгебраическихъ уравненій заключаются также въ Arithmetica universalis Нютона (твореніи, приносящемъ остроумію сочинителя своего столько же чести, сколько и великія открытія его въ Механикѣ и Оптикѣ) ; равномѣрно и въ разныхъ, содержащихся въ Philosophical Transactions и въ Mém. de l'Acad. de Paris, сочиненіяхъ Маклорена, Муавра, Брукъ-Тайлора, де Гюа, и пр. Около того же времени, т. е. около конца XVII и начала XVIII столѣтій, отличались также Чирнгаузенъ, де Ланги, Лейбницъ и др. трудами, относящимися къ теоріи уравненій. Но особеннаго вниманія по сему предмету достойны писатели, явившіеся около средины ХVIII столѣтія, Даніилъ Бернулли и Эйлеръ (Mém. de l'Acad. de Berlin и Comment. и Acta Acad. Petrop.) и Лагранжъ (Mém. des Acad. de Berlin et de Turin, и особливо Théorie de la résolution des équ. numériques de tous les degrés). Здѣсь нельзя не упомянуть о Безу: Théorie générale des équ. algébr. Paris, 1769. Въ новѣйшія времена на семъ же поприщѣ блестятъ имена Гаусса (Comm. Soc. Gotting.), Коши (Exercices de Mathém.), Фурье (Analyse des équ. déterminées, сочиненіе, по смерти автора изданное Г. Навье, 1831 г.), и разные другіе. О невозможности общаго рѣшенія уравненій, превышающихъ четвертую степень, что уже старался доказать Павелъ Руффини (въ Memorie della societa italiana, 1803, и въ особенномъ сочиненіи), помѣщено въ Математическомъ Журналѣ, издаваемомъ Г. Крелле въ Берлинѣ, превосходное сочиненіе Норвежскаго математика Абеля, слишкомъ рано смертью у наукъ похищеннаго (см. слово Абель.)

Изъ всего изложеннаго явствуетъ, что въ прежнія времена подъ Алгеброю разумѣли сводъ тогдашнихъ свѣдѣній о рѣшеніи задачъ посредствомъ уравненій. Но какъ удовлетворительное обработываніе и изложеніе теоріи уравненій, особливо при вящшемъ развитіи сей науки, требуетъ основательнаго познанія различныхь дѣйствій, производимыхъ надъ величинами, то сіе принудило съ одной стороны къ приготовительному систематическому изслѣдованію тѣхъ дѣйствій и существующихъ для нихъ общихъ законовъ, а съ другой къ принятію знаковъ, удобныхъ и доставляющихъ сколько можно ясное обозрѣніе соединяемыхъ понятій и открываемыхъ о нихъ истинъ. Сего послѣдняго достигли тѣмъ, что неопредѣленныя числа или, посредствомъ измѣренія, числами выраженныя величины, какъ неизвѣстныя, такъ и извѣстныя, означали буквами, и кромѣ сего, для различныхъ дѣйствій, къ нимъ относящихся, избрали особенный, выразительный и общій символизмъ.

Постараемся изъяснить сіе несвѣдущимъ въ Алгебрѣ читателямъ простымъ изложеніемъ хода, наблюдаемаго при постспенномъ развнтіи основныхъ алгебраическихъ дѣйствій. Означая два соедивяемыя, какимъ бы то ни было дѣйствіемъ, числа буквами $a$ и $b$, a результатъ сего соединенія буквою $c$, и принимая здѣсь, на часъ, произвольно знакъ $\frown$ для общаго означенія дѣйствія, производимаго надъ числами $a$ и $b$: будетъ $a\frown b=c$. Тогда, изъ сего, выраженнаго знакомъ $\frown$, первоначальнаго дѣйствія вообще возможно будетъ вывести два другія дѣйствія, a именно тѣмъ, что весьма естествевно возникаетъ вопросъ: какими дѣйствіями, по даннымъ $c$ и $b$, найти $a$, и, по даннымъ $c$ и $a$, найти $b$. Если же первоначальное дѣйствіе таково, что $a\frown b$ даетъ тотъ же результатъ какъ $b\frown a$, или что вообще $a\frown b=b\frown a$, то тѣ два новыя дѣйствія, которыя называются противоположными первоначальному, конечно сливаются въ одно. Простѣйшее дѣйствіе, производимое надъ двумя числами, какъ извѣстно, сложеніе, означаемое знакомъ +. Полагая же, по прежнему, $a+b=c$, то, такъ какъ здѣсь въ самомъ дѣлѣ всегда $a+b=b+a$, изъ сложенія провзойдетъ только одно противоположное ему дѣйствіе, вычитаніе, и, выражая сіе послѣднее знакомъ $-$, будетъ и $c-b=a$, и $c-a=b$. Но понятіе о сложеніи ведетъ еще другимъ путемъ къ новому дѣйствію, a именно къ умноженію: ибо, для суммы многихъ равныхъ, между собою слагаемыхъ: $a+a+a+\dots$ должно быть возможно составить особенное (произведеніемъ называемое) выраженіе: $a\times b$, вмѣсто чего обыкновенно пишутъ просто $ab$, гдѣ $b$ означаетъ количество равныхъ между собою слагаемыхъ $a$, a $\times$ знакъ умноженія. Почитая теперь умноженіе первоначальнымъ дѣйствіемъ, изъ него, по той причинѣ, что $a\times b=b\times a$, опять раждается одно только ему противоположное дѣйствіе, дѣленіе, коего знакъ :, такъ что, полагая $a\times b$ или $ab=c$, будетъ и $a=c:b$, и $b=c:a$. (Вмѣсто $c:b$ часто пишутъ ${\tfrac {c}{b}}$. Но точно такимъ же образомъ, какъ изъ сложенія произошло умноженіе, изъ сего послѣдняго раждается новое высшее дѣйствіе, возвышеніемъ въ степени именуемое. Ибо произведеніе нѣсколькихъ равныхъ между собою множителей, $aaa\dots$, означить можно выраженіемъ $a^{b}$, степенью называемымъ, гдѣ $b$ изображаетъ количество множителей, коихъ каждый есть $a$. И такъ какъ вообще $a^{b}$ не будетъ равно $b^{a}$, то здѣсь встрѣчается упомянутый въ началѣ случай, что полагая $a^{b}=c$, и почитая возвышеніе вновь за первоначальное или прямое дѣйствіе, изъ него возннкаютъ два различныя, противоположныя ему или обратныя дѣйствія, изъ коихъ одно, извлеченіе корней, выражается тѣмъ, что пишутъ: $a={\sqrt[{b}]{c}}$, a другое, логариѳмическое дѣйствіе, тѣмъ что пишутъ: $b=\log .c$, гдѣ $b$ называется логариѳмомъ числа $c$ для основанія $a$. Изъ возвышенія же, именно потому, что не всегда $a^{b}=b^{a}$, нельзя вывесть высшаго дѣйствія, по крайней мѣрѣ въ томъ простомъ смыслѣ какъ прежде. Посему развитыя нами теперь дѣйствія, три прямыя и четре обратныя, составляютъ семь основныхъ дѣйствій Общей Ариѳметики, или Алгебры. И такъ первая часть сей науки должна имѣть предметомъ изложеніе сихъ основныхъ дѣйствій и всѣхъ для нихъ существующихъ общихъ закововъ, и въ то же время показать примѣненіе ихъ къ опредѣленнымъ числамъ, и практическое ихъ употребленіе. Сіе-то примѣненіе и употребленіе ведетъ еще къ разнымъ понятіямъ особеннаго рода, означаемымъ названіями: коэффиціенты, цѣлыя и дробныя, извлекомыя и неизвлекомыя, положительныя и отприцательныя, дѣйствительныя и мнимыя числа и величины, имѣющимъ самое значительное вліяніе на вящшее расширеніе и усовершенствованіе науки, но которыя здѣсь, гдѣ только надлежало ожидать обозрѣнія сей послѣдней, въ подробности изъяснены быть не могутъ (см. всѣ сіи слова). Придерживаясь постоянно прежней точки зрѣнія, по которой изъ каждаго дѣйствія, производимаго надъ числами, и дающаго право почитать его первоначальнымъ, можно вывести, подобнымъ вышеприведенному образомъ, по крайней мѣрѣ одно противоположное ему дѣйствіе, въ общемъ уравненіи какой нибудь ($n$-овой) степени: $ax^{n}+bx^{n-1}+cx^{n-2}+\dots =p$, количество $p$ почитать должно результатомъ прямяго, или первоначальнаго дѣйствія, производимаго надъ извѣстными количествами $x,n,a,b,c$, и проч., по предписанію лѣвой стороны (до знака =) онаго уравненія (въ коемъ впрочемъ знаки +, или частью или всѣ, могуть быть замѣнены минусами), и предложить себѣ тогда вопросъ: какимъ же дѣйствіемъ найти неизвѣствое $x$, полагая данными всѣ прочія количества, входящія въ оное же уравненіе? Но въ семъ и состоитъ то, что называется рѣшеніемъ алгебраическаго уравненія, которое здѣсь неопредѣленной степени $n$, слѣдовательно совершенно общее. Посему рѣшеніе уравненій, составляющее первоначальный и конечно главный предметъ Алгебры, сама можно почесться самостоятельнымъ обратнымъ дѣйствіемъ, и именно сходнымъ съ извлеченіемъ корней. Прежніе математики въ своихъ опытахъ имѣли слѣдовательно въ виду дѣйствіе рѣшенія уравненій сдѣлать зависимымъ отъ вышеизложенныхъ основныхъ дѣйствій, и именно такъ, чтобы нахожденіе неизвѣстнаго количества, $x$, изъ каждаго частнаго или общаго уравненія какой либо степени приводилось къ опредѣленному конечному слѣдствію основныхъ дѣйствій, производимыхъ надъ такъ называемыми коэффиціентами, т. е. извѣстными количествами, на которыя, въ предложенномъ уравненіи, умножаются степени неизвѣстнаго. Но такое приведеніе, для общихъ уравненій, превышающихъ четвертую степень, какъ уже выше упомянуто было, по нынѣшнимъ нашимъ понятіямъ, есть дѣло невозможное. Даже вышеприведенныя, такъ называемыя рѣшенія уравненій третьей и четвертой степеней весьма удалены отъ настоящей цѣли, которую имѣютъ въ виду при рѣшеніи уравненій: истинная величина неизвѣстныхъ представляется въ нихъ подъ формами, скрывающими ее еще болѣе нежели самое уравненіе, предложенное для рѣшенія. Истину сію, чувствованную уже Віетомъ, славный Фурье, въ помянутомъ сочиненіи, довелъ до самой убѣдительнѣйшей ясности. И такъ, принимая рѣшеніе уравненій, вообще, подлинно самостоятельнымъ основнымъ дѣйствіемъ, скажемъ, что Алгебра есть наука объ основныхъ дѣйствіяхъ, производимыхъ надъ величинами, или однократно, или нѣсколько разъ рядомъ, но такъ, чтобы рядъ сей быль конеченъ, и о свойствахъ выраженій, получаемыхъ сими дѣйствіями (см. Анализъ и Функція). Впрочемъ нужно здѣсь замѣтить, что хотя мы, въ обыкновенно принятомъ смыслѣ, не имѣемъ общаго правила для решенія алгебраическихъ уравненій какихъ нибудь степеней , тѣмъ не менѣе рѣшеніе такъ называемыхъ численныхъ уравненій (équations numériques), т. е. тѣхъ, въ коихъ всѣ извѣстныя числа суть опредѣленныя, для всѣхъ опредѣленныхъ степеней вообще, довсдено нынѣ, трудами помянутыхъ вѣше мужей, преимущественно Лагранжа и Фурье, до такой степени совершенства, что въ практическомъ отношеніи сію часть Алгебры почитать можно почти совершенно истощенною.

Наконецъ надлежитъ еще сказать нѣсколько о раздѣленіи задачъ и уравненій на опредѣленныя и неопредѣленныя. Задачу собственно тогда только можно называть опредѣленною, когда для каждой заключающейся въ ней неизвѣствой величины, можно найти только одно опредѣленное число , вполнѣ удовлетворяющее всѣмъ предписаннымъ условіямъ; неопредѣленная задача, напротивъ, есть та, которой удовлетворить можно разными отвѣтами. Не трудно усмотрить, что задача, для того чтобы быть опредѣленною, должна дать столько независимыхъ одно отъ другаго уравненій, сколько она содержитъ неизвѣстныхъ, и что, если число первыхъ меньше числа послѣднихъ, задача будетъ неопредѣленная. Сіе именно и почитается признакомъ опредѣленности или неопредѣленности задачъ, хотя конечно, a именно въ уравненіяхъ, превышающихъ первую степень, и бываютъ такіе случаи, въ которыхъ задача допускаетъ болѣе одного отвѣта, не смотря на то, что въ ней число уравненій равно числу неизвѣствыхъ. Напротивъ, въ собственно такъ называемыхъ неопредѣленныхъ задачахъ, количество удовлетворительныхъ отвѣтовъ часто весьма ограничивается нѣкоторыми посторонними условіями, какъ наприм., такимъ, что всѣ неизвѣстныя должны быть цѣлыя числа, и есть даже случаи, гдѣ сіи постороннія или придаточныя условія совершенно замѣняютъ мѣсто недостаточныхъ уравненій, и чрезъ то задачу превращаютъ въ истинно опредѣленную. Теорія неопредѣленныхъ задачъ и уравненій преимущественно приспособляется къ открытію разныхъ примѣчательныхъ свойствъ чиселъ, и составляетъ посему особенную часть Алгебры подъ названіемъ Неопредѣленной Аналитики. О семъ предметѣ будетъ болѣе сказано въ статьѣ Анализъ. Здѣсъ только замѣтимъ еще то, что самая большая часть рѣшенныхъ Діофантомъ, въ вышеприведенномъ его сочиненіи, задачъ суть неопредѣленныя, и что онъ при рѣшеніи сихъ послѣднихъ особливо обнаруживалъ свое остроуміе и искусство. По симъ причинамъ Неопредѣленная Аналитика и именуется часто Діофантовою.

Желающимъ болѣе познакомиться съ подробностями Исторіи Алгебры, предлагаются, кромѣ приведенныхъ уже сочиненій, еще слѣдующія: Montucla: Hist. des mathématiques, 1-e édit. Paris, 1758, 2 vol. in-4; 2-e édit., Paris, 1799—1802, 4 vol. in-4.; Bossut: Essai sur l'histoire des mathématiques, Paris, 2 vol. in-8.; Ch. Hutton: Mathematical and philosophical Dictionary, London, 1796. Klügel: Mathematisches Wörterbuch, fortgesetzt von Mollweide und Grunert, Leipzig, 1803—1833. Ersch und Gruber: Allgemeine Enzyklopädie der Wissenschaften und Künste. Leipzig. Th. III. 1819. (На стр. 107, въ примѣчаніи, знаменитымъ оріенталистомъ, Г. Гаммеромъ, сообщено краткое обозрѣніе Аравійской Литературы Алгебры). Э. Д. К.

---

1. Hist. Dynast. стр. 141 Аравійскаго текста, или 89 Латинскаго перевода Эдуарда Покока. Оксфордъ, 1663.
2. Diophanti Alexandrini Rerum arithmeticarum libri sex. Basileæ, 1575 fol. 152.
3. Изданіе сіе посвящено «Domino Joanni Baptistæ Colberto», знаменитому Французскому Министру.
4. Diophantus Alexandria, Arithmetische Aufgaben, nebst dessen Schrift über die Polygon-Zahlen. Aus dem Griech. übersetz und mit Anmerck. begleitet von Schultz, Prof. am Berlinisch-Cöllnischen Gymnasium zum grauen Kloster. Berlin. 1822. 8. LIII и 647 V.
5. Algebra, with Arithmetic and Mensuration, from the Sanscrit of Brahmegupta and Bháscara. Translated by Henry Thomas Colebrooke. Esq. London 1817.
6. Die Coss Christoph Rudolphs mit schönen Exampeln der Coss, durch Michael Stifel gebessert und sehr vermehrt. 1571, 491 Bl. in 4.
7. The Whetstone of Witte, which is the seconde parte of Arithmetike, by Robert Recorde. 1557.