| АЛГ | — 442 — | АЛГ |
щемъ уравненіи какой нибудь (-овой) степени: , количество почитать должно результатомъ прямяго, или первоначальнаго дѣйствія, производимаго надъ извѣстными количествами , и проч., по предписанію лѣвой стороны (до знака =) онаго уравненія (въ коемъ впрочемъ знаки +, или частью или всѣ, могуть быть замѣнены минусами), и предложить себѣ тогда вопросъ: какимъ же дѣйствіемъ найти неизвѣствое , полагая данными всѣ прочія количества, входящія въ оное же уравненіе? Но въ семъ и состоитъ то, что называется рѣшеніемъ алгебраическаго уравненія, которое здѣсь неопредѣленной степени , слѣдовательно совершенно общее. Посему рѣшеніе уравненій, составляющее первоначальный и конечно главный предметъ Алгебры, сама можно почесться самостоятельнымъ обратнымъ дѣйствіемъ, и именно сходнымъ съ извлеченіемъ корней. Прежніе математики въ своихъ опытахъ имѣли слѣдовательно въ виду дѣйствіе рѣшенія уравненій сдѣлать зависимымъ отъ вышеизложенныхъ основныхъ дѣйствій, и именно такъ, чтобы нахожденіе неизвѣстнаго количества, , изъ каждаго частнаго или общаго уравненія какой либо степени приводилось къ опредѣленному конечному слѣдствію основныхъ дѣйствій, производимыхъ надъ такъ называемыми коэффиціентами, т. е. извѣстными количествами, на которыя, въ предложенномъ уравненіи, умножаются степени неизвѣстнаго. Но такое приведеніе, для общихъ уравненій, превышающихъ четвертую степень, какъ уже выше упомянуто было, по нынѣшнимъ нашимъ понятіямъ, есть дѣло невозможное. Даже вышеприведенныя, такъ называемыя рѣшенія уравненій третьей и четвертой степеней весьма удалены отъ настоящей цѣли, которую имѣютъ въ виду при рѣшеніи уравненій: истинная величина неизвѣстныхъ представляется въ нихъ подъ формами, скрывающими ее еще болѣе нежели самое уравненіе, предложенное для рѣшенія. Истину сію, чувствованную уже Віетомъ, славный Фурье, въ помянутомъ сочиненіи, довелъ до самой убѣдительнѣйшей ясности. И такъ, принимая рѣшеніе уравненій, вообще, подлинно самостоятельнымъ основнымъ дѣйствіемъ, скажемъ, что Алгебра есть наука объ основныхъ дѣйствіяхъ, производимыхъ надъ величинами, или однократно, или нѣсколько разъ рядомъ, но такъ, чтобы рядъ сей быль конеченъ, и о свойствахъ выраженій, получаемыхъ сими дѣйствіями (см. Анализъ и Функція). Впрочемъ нужно здѣсь замѣтить, что хотя мы, въ обыкновенно принятомъ смыслѣ, не имѣемъ общаго правила для решенія алгебраическихъ уравненій какихъ нибудь степеней , тѣмъ не менѣе рѣшеніе такъ называемыхъ численныхъ уравненій (équations numériques), т. е. тѣхъ, въ коихъ всѣ извѣстныя числа суть опредѣленныя, для всѣхъ опредѣленныхъ степеней вообще, довсдено нынѣ, трудами помянутыхъ вѣше мужей, преимущественно Лагранжа и Фурье, до такой степени совершенства, что въ практическомъ отношеніи сію часть Алгебры почитать можно почти совершенно истощенною.
Наконецъ надлежитъ еще сказать нѣсколько о раздѣленіи задачъ и уравненій на опредѣленныя и неопредѣленныя. Задачу собственно тогда только можно называть опредѣленною, когда для каждой заключающейся въ ней неизвѣствой величины, можно найти только одно опредѣленное число , вполнѣ удовлетворяющее всѣмъ предписаннымъ условіямъ; неопредѣленная задача, напротивъ, есть та, которой удовлетворить можно разными отвѣтами. Не трудно усмотрить, что задача, для того чтобы быть опредѣленною, должна дать столько независимыхъ одно отъ другаго уравненій, сколько она содержитъ неизвѣстныхъ, и что, если число первыхъ меньше числа послѣднихъ, задача будетъ неопредѣленная. Сіе именно и почитается признакомъ опредѣленности или неопредѣленности задачъ, хотя конечно, a именно въ уравненіяхъ, превышающихъ первую степень, и бываютъ такіе случаи, въ которыхъ задача допускаетъ болѣе одного отвѣта, не смотря на то, что въ ней число уравненій равно числу неизвѣствыхъ. Напротивъ, въ собственно такъ называемыхъ неопредѣленныхъ задачахъ, количество удовлетворительныхъ отвѣтовъ часто весьма ограничивается нѣкоторыми посторонними условіями, какъ наприм., такимъ, что всѣ неизвѣстныя должны быть цѣлыя числа, и есть даже случаи, гдѣ сіи постороннія или придаточныя условія совершенно замѣняютъ мѣсто недостаточныхъ уравненій, и чрезъ то задачу превращаютъ въ истинно опредѣленную. Теорія
