Страница:Энциклопедический лексикон Плюшара Т. 1.djvu/457

АЛГ

— 441 —

АЛГ

ныя, такъ и извѣстныя, означали буквами, и кромѣ сего, для различныхъ дѣйствій, къ нимъ относящихся, избрали особенный, выразительный и общій символизмъ.

Постараемся изъяснить сіе несвѣдущимъ въ Алгебрѣ читателямъ простымъ изложеніемъ хода, наблюдаемаго при постспенномъ развнтіи основныхъ алгебраическихъ дѣйствій. Означая два соедивяемыя, какимъ бы то ни было дѣйствіемъ, числа буквами $a$ и $b$, a результатъ сего соединенія буквою $c$, и принимая здѣсь, на часъ, произвольно знакъ $\frown$ для общаго означенія дѣйствія, производимаго надъ числами $a$ и $b$: будетъ $a\frown b=c$. Тогда, изъ сего, выраженнаго знакомъ $\frown$, первоначальнаго дѣйствія вообще возможно будетъ вывести два другія дѣйствія, a именно тѣмъ, что весьма естествевно возникаетъ вопросъ: какими дѣйствіями, по даннымъ $c$ и $b$, найти $a$, и, по даннымъ $c$ и $a$, найти $b$. Если же первоначальное дѣйствіе таково, что $a\frown b$ даетъ тотъ же результатъ какъ $b\frown a$, или что вообще $a\frown b=b\frown a$, то тѣ два новыя дѣйствія, которыя называются противоположными первоначальному, конечно сливаются въ одно. Простѣйшее дѣйствіе, производимое надъ двумя числами, какъ извѣстно, сложеніе, означаемое знакомъ +. Полагая же, по прежнему, $a+b=c$, то, такъ какъ здѣсь въ самомъ дѣлѣ всегда $a+b=b+a$, изъ сложенія провзойдетъ только одно противоположное ему дѣйствіе, вычитаніе, и, выражая сіе послѣднее знакомъ $-$, будетъ и $c-b=a$, и $c-a=b$. Но понятіе о сложеніи ведетъ еще другимъ путемъ къ новому дѣйствію, a именно къ умноженію: ибо, для суммы многихъ равныхъ, между собою слагаемыхъ: $a+a+a+\dots$ должно быть возможно составить особенное (произведеніемъ называемое) выраженіе: $a\times b$, вмѣсто чего обыкновенно пишутъ просто $ab$, гдѣ $b$ означаетъ количество равныхъ между собою слагаемыхъ $a$, a $\times$ знакъ умноженія. Почитая теперь умноженіе первоначальнымъ дѣйствіемъ, изъ него, по той причинѣ, что $a\times b=b\times a$, опять раждается одно только ему противоположное дѣйствіе, дѣленіе, коего знакъ :, такъ что, полагая $a\times b$ или $ab=c$, будетъ и $a=c:b$, и $b=c:a$. (Вмѣсто $c:b$ часто пишутъ ${\tfrac {c}{b}}$. Но точно такимъ же образомъ, какъ изъ сложенія произошло умноженіе, изъ сего послѣдняго раждается новое высшее дѣйствіе, возвышеніемъ въ степени именуемое. Ибо произведеніе нѣсколькихъ равныхъ между собою множителей, $aaa\dots$, означить можно выраженіемъ $a^{b}$, степенью называемымъ, гдѣ $b$ изображаетъ количество множителей, коихъ каждый есть $a$. И такъ какъ вообще $a^{b}$ не будетъ равно $b^{a}$, то здѣсь встрѣчается упомянутый въ началѣ случай, что полагая $a^{b}=c$, и почитая возвышеніе вновь за первоначальное или прямое дѣйствіе, изъ него возннкаютъ два различныя, противоположныя ему или обратныя дѣйствія, изъ коихъ одно, извлеченіе корней, выражается тѣмъ, что пишутъ: $a={\sqrt[{b}]{c}}$, a другое, логариѳмическое дѣйствіе, тѣмъ что пишутъ: $b=\log .c$, гдѣ $b$ называется логариѳмомъ числа $c$ для основанія $a$. Изъ возвышенія же, именно потому, что не всегда $a^{b}=b^{a}$, нельзя вывесть высшаго дѣйствія, по крайней мѣрѣ въ томъ простомъ смыслѣ какъ прежде. Посему развитыя нами теперь дѣйствія, три прямыя и четре обратныя, составляютъ семь основныхъ дѣйствій Общей Ариѳметики, или Алгебры. И такъ первая часть сей науки должна имѣть предметомъ изложеніе сихъ основныхъ дѣйствій и всѣхъ для нихъ существующихъ общихъ закововъ, и въ то же время показать примѣненіе ихъ къ опредѣленнымъ числамъ, и практическое ихъ употребленіе. Сіе-то примѣненіе и употребленіе ведетъ еще къ разнымъ понятіямъ особеннаго рода, означаемымъ названіями: коэффиціенты, цѣлыя и дробныя, извлекомыя и неизвлекомыя, положительныя и отприцательныя, дѣйствительныя и мнимыя числа и величины, имѣющимъ самое значительное вліяніе на вящшее расширеніе и усовершенствованіе науки, но которыя здѣсь, гдѣ только надлежало ожидать обозрѣнія сей послѣдней, въ подробности изъяснены быть не могутъ (см. всѣ сіи слова). Придерживаясь постоянно прежней точки зрѣнія, по которой изъ каждаго дѣйствія, производимаго надъ числами, и дающаго право почитать его первоначальнымъ, можно вывести, подобнымъ вышеприведенному образомъ, по крайней мѣрѣ одно противоположное ему дѣйствіе, въ об-