Алгебра, вместе с арифметикой, есть наука о числах и через посредство чисел — о величинах вообще. Не занимаясь изучением свойств каких-нибудь определенных, конкретных величин, обе эти науки исследуют свойства отвлеченных величин как таковых, независимо от того, к каким конкретным приложениям они способны. Различие между арифметикой и А. состоят в том, что первая наука исследует свойства данных, определенных величин, между тем как А. занимается изучением общих величин, значение которых может быть произвольное, а следовательно, А. изучает только те свойства величин, которые общи всем величинам независимо от их значений. Таким образом, А. есть обобщенная арифметика. Это подало повод Ньютону назвать свой трактат об А. «Общею арифметикой». Гамильтон, полагая, что, подобно тому, как геометрия изучает свойства пространства, А. изучает свойства времени, назвал А. «Наукою чистого времени» — название, которое Деморган предлагал изменить в «Исчисление последовательности». Однако такие определения не выражают ни существенных свойств А., ни исторического ее развития. А. можно определить как «науку о количественных соотношениях».
В настоящее время отчасти из педагогических соображений, отчасти вследствие исторического развития этой науки, А. делят на низшую и высшую, причем в последнее время под названием новой А. развилось учение о инвариантах преобразований алгебраических форм.
История А. Происхождение самого слова А. не вполне выяснено. По мнению большинства исследователей этого вопроса, слово А. происходит от арабских слов эль-джабер-эль-мокабела, то есть учение о перестановках, отношениях и решениях, но некоторые авторы производят А. от имени математика Гебера, самое существование которого, однако, подвержено сомнению.
Первое дошедшее до нас сочинение, содержащее исследование алгебраических вопросов, есть трактат Диофанта, жившего в середине IV века. В этом трактате мы встречаем, например, правило знаков (минус на минус дает плюс), исследование степеней чисел и решение множества неопределенных вопросов, которые в настоящее время относятся к теории чисел. Из 13 книг, составлявших полное сочинение Диофанта, до нас дошло только 6, в которых решаются уже довольно трудные алгебраические задачи. Нам не известно о каких бы то ни было иных сочинениях об А. в древности, кроме утерянного сочинения знаменитой дочери Теона, Гипатии. В Европе А. снова появляется только в эпоху Возрождения и именно от арабов. Каким образом арабы дошли до тех истин, которые мы находим в их сочинениях, дошедших до нас в большом количестве, — неизвестно. Они могли быть знакомы с трактатами греков или, как думают некоторые, получить свои знания из Индии. Сами арабы приписывали изобретение А. Магоммеду-бен-Муза, жившему около середины IХ-го века, в царствование халифа Аль-Мамуна. Во всяком случае, греческие авторы были известны арабам, которые собирали древние сочинения по всем отраслям наук. Магоммед-Абульвефа перевел и комментировал сочинения Диофанта и других предшествовавших ему математиков (в Х веке). Но ни он, ни другие арабские математики не внесли много нового, своего в А. Они изучали ее, но не совершенствовали. Первым сочинением, появившимся в Европе после продолжительного пробела со времен Диофанта, считается трактат итальянского купца Леонардо, который, путешествуя по своим коммерческим делам на Востоке, ознакомился там с индийскими (ныне называемыми арабскими) цифрами и с арифметикой и А. арабов. По возвращении своем в Италию он написал сочинение, охватывающее одновременно арифметику и А. и отчасти геометрию. Однако сочинение это не имело большого значения в истории науки, ибо осталось малоизвестным и было открыто вновь только в середине прошлого столетия в одной флорентийской библиотеке. Между тем сочинения арабов стали проникать в Европу и переводиться на европейские языки. Известно, например, что старейшее арабское сочинение об А. Магоммеда бен-Музы было переведено на итальянский язык, но перевод этот не сохранился до нашего времени. Первый печатный трактат об А. есть «Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioni et Proportionalita», написанное итальянцем Лукас де Бурго. Первое издание его вышло в 1494 г. и второе в 1523 г. Оно указывает нам, в каком состоянии находилась А. в начале XVI века в Европе. Здесь нельзя видеть больших успехов в сравнении с тем, что уже было известно арабам или Диофанту. Кроме решения отдельных частных вопросов высшей арифметики, только уравнение первой и второй степени решаются автором, и притом вследствие отсутствия символического обозначения все задачи и способы их решения приходится излагать словами, чрезвычайно пространно. Наконец, нет общих решений даже квадратного уравнения, а отдельные случаи рассматриваются отдельно, и для каждого случая выводится особый метод решения, так что самая существенная черта современной А. — общность даваемых ею решений — еще совершенно отсутствует в начале XVI века.
В 1505 году Сципион Феррео впервые решил один частный случай кубического уравнения. Это решение, однако, не было им опубликовано, но было сообщено одному ученику — Флоридо. Последний, находясь в 1535 году в Венеции, вызвал на состязание уже известного в то время математика Тарталья из Брешии и предложил ему несколько вопросов, для разрешения которых нужно было уметь решать уравнение третьей степени. Но Тарталья уже нашел раньше сам решение таких уравнений и, мало того, не только одного того частного случая, который был решен Феррео, но в двух других частных случаев. Тарталья принял вызов и сам предложил Флоридо также свои задачи. Результатом состязания было полное поражение Флоридо. Тарталья решил предложенные ему задачи в продолжение двух часов, между тем как Флоридо не мог решить ни одной задачи, предложенной ему его противником (число предложенных с обеих сторон задач было 30). Тарталья продолжал, подобно Феррео, скрывать свое открытие, которое очень интересовало Кардана, профессора математики и физики в Милане. Последний приготовлял к печати обширное сочинение об арифметике, алгебре и геометрии, в котором он хотел дать также решение уравнений 3-й степени. Но Тарталья отказывался сообщить ему о своем способе. Только когда Кардан поклялся над Евангелием и дал честное слово дворянина, что он не откроет способа Тартальи для решения уравнений и запишет его в виде непонятной анаграммы, Тарталья согласился после долгих колебаний раскрыть свою тайну любопытному математику и показал ему правила решений кубических уравнений, изложенные в стихах, довольно туманно. Остроумный Кардан не только понял эти правила в туманном изложении Тартальи, но и нашел доказательства для них. Невзирая, однако, на данное им обещание, он опубликовал способ Тартальи, и способ этот известен до сих пор под именем «правила Кардана».
Вскоре было открыто и решение уравнений четвертой степени. Один итальянский математик предложил задачу, для решения которой известные до той поры правила были недостаточны, а требовалось умение решать биквадратные уравнения. Большинство математиков считало эту задачу нерешимою. Но Кардан предложил ее своему ученику Луиджи Феррари, который не только решил задачу, но и нашел способ решать уравнения четвертой степени вообще, сводя их к уравнениям третьей степени. В сочинении Тартальи, напечатанном в 1546 году, мы также находим изложение способа решать не только уравнение первой и второй степени, но и кубические уравнения, причем рассказывается инцидент между автором и Карданом, описанный выше. Сочинение Бомбелли, вышедшее в 1572 г., интересно в том отношении, что рассматривает так называемый неприводимый случай кубического уравнения, который приводил в смущение Кардана, не могшего решить его посредством своего правила, а также указывает на связь этого случая с классическою задачей о трисекции угла.
В Германии первое сочинение об А. принадлежит Христиану Рудольфу из Иауера и появилось впервые в 1524 г. а затем вновь издано Стифелем, или Стифелиусом, в 1571 г. Сам Стифель и Шейбль, или Шейбелиус, независимо от итальянских математиков разработали некоторые алгебраические вопросы, и первому принадлежит введение знаков +, — и √ для сокращения письма.
В Англии первый трактат об А. принадлежит Роберту Рекорду, преподавателю математики и медицины в Кембридже. Его сочинение об А. называется «The Whetstone of Wit». Здесь впервые вводится знак равенства (=). Во Франции в 1558 году появилось первое сочинение об А., принадлежащее Пелетариусу; в Голландии Стевин в 1585 г. не только изложил исследования, известные уже до него, но и ввел некоторые усовершенствования в А. Громадные успехи сделала А. после сочинений Виета, который первый рассматривал уравнение всех степеней и показал способы для приблизительного нахождения корней каких бы то ни было алгебраических уравнений. Он же первый означал величины, входящие в уравнение буквами, и тем придал А. ту общность, которая составляет характеристическую особенность алгебраических исследований нового времени. Он же подошел весьма близко к открытию формулы бинома, найденной впоследствии Ньютоном, и, наконец, в его сочинениях можно даже встретить разложение отношения стороны квадрата, вписанного в круг, к дуге круга, выраженное в виде бесконечного произведения. Фламандец Альбер Жирар или Жерар, трактат которого об А. появился в 1629 г., первый ввел понятие мнимых величин в науку. Англичанин Герриот показал, что всякое уравнение может быть рассматриваемо как произведение некоторого числа множителей первого порядка, и ввел в употребление знаки > и <. Его труды были опубликованы в 1631 г. Варнером. После этих сравнительно незначительных успехов А. вдруг движется быстрыми шагами вперед благодаря работам Декарта, Фермата, Валлиса и в особенности Ньютона, не говоря уже о множестве математиков менее знаменитых, но все же подвинувших совокупными усилиями А. в течение сравнительно короткого времени на значительную степень выше их предшественников и придавших ей ту форму, которую она сохранила до настоящего времени. Нет возможности в этом кратком очерке обозреть успехи, которым А. обязана названным математикам. Отдельные моменты этого вопроса могут быть прослежены по специальным параграфам под соответствующими рубриками и в специальных сочинениях, цитированных в конце этой статьи. Мы вкратце только упомянем о главных пунктах дальнейшего быстрого совершенствования А., шедшего шаг за шагом за совершенствованием иных отраслей математики вообще. С этого времени также А. входит в более тесную связь с геометрией после открытия Декартом т. наз. аналитической геометрии, а также с анализом бесконечно малых, изобретенным Ньютоном и Лейбницем. В XVIII столетии классические труды Эйлера и Лагранжа, изложенные в «Novi Commentarii» первого и в «Traité de la résolution des équations» второго, доведя A. до высокой степени совершенства, а в настоящем столетии работы Гаусса, Абеля, Фурье, Галуа, Коши и в новейшее время Кейли, Сильвестера, Кронекера, Эрмита и др. создали новые точки зрения на важнейшие алгебраические вопросы и придали А. высокую степень изящества и простоты. (См. для дополнения статьи Уравнения, Определители, Инварианты, Математика и др.).
Содержание А. Низшая А. Сюда включают обыкновенно следующие отделы: теорию простейших арифметических операций над алгебраическими величинами, решение уравнений первой и второй степени, теорию степеней и корней, теорию логарифмов и, наконец, теорию сочетаний.
К высшей А. относят теорию уравнений каких угодно степеней, теорию исключения, теорию симметрических функций корней уравнений, теорию подстановок и, наконец, изложение различных частных способов отделения корней уравнений, определения числа вещественных или мнимых корней данного уравнения с численными коэффициентами и решение по приближению или, когда это возможно, в точности уравнений каких угодно степеней.
Наконец, под названием новой А. известна в особенности в Англии теория инвариантов алгебраических форм.
Литература А. вообще (по отдельным вопросам см. под соответственными рубриками: Уравнения, Инварианты, Определители, и др.):
Древнейшие авторы (до XVIII века): Diophantus, «Arithmeticorum libri sex», около (300); (первое изд. 1575; лучшее 1670); Lucas Paciolus или De Burgo (1494); Rudolff, «Algebra» (1522); Stifelius, «Arithmetica Integra» (1544); Cardanus, «Ars Magna quam vulgo Cossam vocant» (1545); Tartalea (Tartaglia), «Quesiti ed Inventioni, diverse» (1546); Scheubelius, «Algebra Compediosa» (1551); Recorde, «Whetstone of Wit» (1557); Peletarius, «De Occulta parte Numerorum» (1558); Buteo, «De Logistica» (1559); Ramus, «Aritmeticae Libri duo et totidem Algebrae» (1560); Pedro Nuguez (Nonnius), «Libre de Algebra» (1567); Josselin, «De Occulta Parte Mathematicarum» (1576); Bernard Solignac, «Arithmeticae Libri II et Algebrae totidem» (1580); Stevinus, «Arithmetique etc. et aussi l’Algébre» (1585); Vieta, «Opera Mathematica» (1600); Folinus, «Algebra sive liber de Rebus Occultis» (1619); Bachet, «Diophantus cum commentariis» (1621); Albert Girard, «Invention Nouvelle en Algébre» (1629); Ghetaldus, «De Resolutione et Compositione Mathematica» (1630); Harriot, «Artis Analyticae Proxis» (1631); Oaghtreed, «Clavis Mathematica» (1631); Herigonis, «Cursu Mathematicus» (1634); Cavalerius, «Geometria Indivisibilis Continuarum etc.» (1635); Descartes, «Geometria» (1637); Roberval, «De Recognitione Aequationum (1640); De Billy, Nova Geometricae clavis Algebra (1643); Renoldius, Opus Algebraicum» (1644); Wallis, «Arithmetica Infinitarum, Algebra» (1655); Newton (Opera) (1666); Gregory, «Exercitationes Geometrical» (1663); Mercator, «Logarithmotecnia» (1678); Barrow, «Lectiones geometrical» (1669) Prescot, «Nouveaux élements de Mathématique» (1675); Leibniz (Opera) (1677); Fermat (1679); Tschienhausen (1683); Rolle, «Une Méthode etc.» (1690). XVIII и начала XIX века: Abel, Bernoulli, Budan, Clairault, Galois, Gauss, Horer, Lagrange, Landen, Legendre, Lhuillier, Malfatti, De Moivre, Nicole, S’Gravesande, Simpson, Stirling, Vandermonde. Учебники: Bertrand, De Morgan, Serret, Todhunter. На русском языке: «Элементарная алгебра»: Давыдов, Краевич. Высшая А. Сохоцкий (СПб., 1882).