ЭСБЕ/Определитель

Определитель
Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона

Словник: Опека — Оутсайдер. Источник: т. XXII (1897): Опека — Оутсайдер, с. 44 ( скан ) • Даты российских событий указаны по юлианскому календарю.

Определитель (Determinant). — Решая два уравнения первой степени с двумя неизвестными:

$a_{1}x+b_{1}y=c_{1}$,

$a_{2}x+b_{2}y=c_{2}$,

получаем следующие выражения для x и у:

$x={\frac {c_{1}b_{2}-c_{2}b_{1}}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}}$,

$y={\frac {a_{1}c_{2}-a_{2}c_{1}}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}}$.

Подобным же образом, решая три уравнения первой степени с тремя неизвестными, получим выражение последних в виде отношений многочленов, составленных из постоянных, входящих в уравнения. Например, многочлен, стоящий в знаменателях, будет:

$a_{1}b_{2}c_{3}-a_{1}b_{3}c_{2}+a_{2}b_{3}c_{1}-a_{2}b_{1}c_{3}+a_{3}b_{1}c_{2}-a_{3}b_{2}c_{1}$.

Многочлены такого вида называются определителями и обозначаются особыми символами; так:

$a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}={\begin{vmatrix}a_{1},a_{2}\\b_{1},b_{2}\end{vmatrix}}$

$a_{1}b_{2}c_{3}-a_{1}b_{3}c_{2}+...-a_{3}b_{2}c_{1}={\begin{vmatrix}a_{1},a_{2},a_{3}\\b_{1},b_{2},b_{3}\\c_{1},c_{2},c_{3}\end{vmatrix}}$

Свойства О. и действия над ними рассматриваются в алгебраическом анализе. Многие сложные вычисления значительно упрощаются при пользовании О. В высшем анализе приходится пользоваться так называемыми функциональными О., составленными из производных от функций, зависящих от нескольких переменных; таков, напр., функциональный определитель:

${\begin{vmatrix}\displaystyle {\frac {d\phi _{1}}{dx_{1}}},{\frac {d\phi _{1}}{dx_{2}}},{\frac {d\phi _{1}}{dx_{3}}}\\\displaystyle {\frac {d\phi _{2}}{dx_{1}}},{\frac {d\phi _{2}}{dx_{2}}},{\frac {d\phi _{2}}{dx_{3}}}\\\displaystyle {\frac {d\phi _{3}}{dx_{1}}},{\frac {d\phi _{3}}{dx_{2}}},{\frac {d\phi _{3}}{dx_{3}}}\end{vmatrix}}$

трех функций φ₁, φ₂, φ₃ от трех переменных х₁, x₂, x₃. Есть на всех языках сочинения, заключающие теорию О. См. Ващенко-Захарченко, «Теория определителей»; Baltzer, «Théorie et application des déterminants».

Д. Б.