угольниковъ произвольнаго числа сторонъ, и на самые описанные около нихъ круги, долженъ бытъ непремѣнно переходъ отъ конечнаго къ безконечному. Такой именно переходъ составляетъ характеристическую черту вышепомянутыхъ теоремъ и задачъ, относящихся до криволинѣйныхъ фигуръ. Тѣми же почти средствами, которыя употреблялъ Эвклидъ для произведенія такого перехода, дошелъ и Архимедъ до предложеній гораздо труднѣйшихъ, до опредѣленія отношенія между поверхностями и объемами (толщинами) цилиндра и шара, до квадратуры параболы и до свойствъ спиралей. (См. относящіяся къ тому статьи.) И если безъ сомнѣнія и здѣсь, какъ почти вездѣ, по словамъ Гердера, аналогія была матерью открытій, то строгость, которой достигли Древніе въ геометрическихъ доказательствахъ, не позволяла изложенія открытыхъ ими истинъ основывать на одной только аналогіи. Для того выдумали они такъ называемую методу истощенія (methodus exhaustionis), получившую въ новѣйшее время названіе методы предѣловъ. Она состоитъ въ томъ, что, во-1-хъ, предѣломъ непрерывно продолжающагося ряда величинъ считается величина, съ которою члены того ряда такъ сближаются, что различіе между тою величиною и однимъ изъ тѣхъ членовъ можетъ сдѣлаться меньше всякой данной величины, какъ бы мала она не была; и, во-2-хъ, тогда доказывается, что свойство, принадлежащее вообще членамъ сего ряда, должно принадлежать и самому предѣлу. По пробужденіи наукъ, когда сочиненія Эвклида и Архимеда были переведены и истолкованы, начали искать нити, которая была въ состояніи навести тѣхъ великихъ людей на ихъ изобрѣтенія. Но желаніе, какъ можно скорѣе распространить завоеванную Древними область науки, было несообразно съ медлительною строгостію сихъ послѣднихъ, а потому преемники ихъ старались, отступая отъ проторенной стези, найти новые пути, которые гораздо скорѣе могли бы довести ихъ до желаемой цѣли. Это самое побудило безъ сомнѣнія Бонавентуру Каваллери изъ Милана (1598—1647) отказаться отъ той крайней строгости, и навело его ва методу недѣлимыхъ (methodus indivisibilium), на основаніи которой онъ позволилъ себѣ разсматривать линіи какъ бы составленныя изъ точекъ, поверхности изъ линій, тѣла изъ поверхностей. Симъ же путемъ, незадолго предъ тѣмъ, пошелъ во Франціи Роберваль (1602—1675). Возбужденный чтеніемъ Архимедовыхъ сочиненій, онъ искалъ общаго способа для рѣшенія проблемъ, относящихся къ криволинѣйнымъ фигурамъ, и открылъ методу, которую, въ письмѣ къ Торичелли, описываетъ совершенно подобною методѣ Каваллери; но самолюбивою утайкою лишился онъ чести первенства въ своемъ открытіи. Онъ изобрѣлъ также основанную на теоріи сложныхъ движеній методу проводитъ касательныя къ кривымъ линіямъ, но, не смотря на остроуміе ея начала, въ примѣненіи своемъ она далеко отстоитъ отъ методы Декарта. Уже прежде сего послѣдняго владѣлъ соперникъ его Ферматъ (1665) методою касательныхъ, превосходящею простотою методу Декарта, но онъ, подобно Робервалю и по столь же непохвальной причинѣ, объявилъ ее позже Декарта. Знаменитый Гугенсъ (1629—1695) прежде всѣхъ доказалъ изобрѣтенныя Ферматомъ, но изложенныя имъ безъ доказательствъ, правила кахъ для проблемы касательныхъ, такъ и для сходственнаго съ нею разысканія наибольшихъ и наименьшихъ величинъ (maxima и minima) координатъ кривой линіи. Правила эти столь близко подходятъ къ дифференціальному исчисленію, что нѣкоторые считали Фермата настоящимъ его изобрѣтателемъ. Правила для нахожденія касательныхъ были упрощены Слюзомъ (1623—1685). Наконецъ Барровъ (1630—1678), учитель Нютона, открылъ свой характеристическій треугольникъ, образованный разстояніемъ и разностію двухъ безконечно близкихъ ординатъ, и лежащею между ними безконечно малою дугою кривой линіи. Такимъ образомъ придалъ онъ методѣ касательныхъ Фермата послѣднюю степень простоты, которой она только способна. Въ то время, какъ геометровъ занимали означенныя двѣ задачи, о касательныхъ и о наибольшихъ и наименьшихъ величинахъ, многіе, особенно Grègore de St. Vincent, Роберваль и Паскаль, разсматривали третью задачу о квадратурѣ (т. е. о нахожденіи площади) пространствъ, ограниченныхъ кривыми и прямыми линіями. Но только въ Arythmetica infinitorum Джона Валлиса (1616—1703) видно собственно примѣненіе алгебраическаго исчисленія къ квадратурѣ, совершенно осно-
